Styczny kąt - Tangential angle

Kąt styczny

φ

dla dowolnej krzywej

P

.

W geometrii The styczna kąt krzywej w kartezjańskim płaszczyźnie w określonym punkcie, jest kątem pomiędzy linią styczną do krzywej w określonym momencie, a $x$ -osiowy. (Należy zauważyć, że niektórzy autorzy określenie kąta jako odchylenie od strony krzywej na pewnym ustalonym punkcie wyjścia. Jest to równoważne z definicją podaną tu przez dodanie stałego do kąta lub przez obrócenie krzywej).

równania

Jeżeli krzywa podaje parametrycznie przez $(x (t), y (t))$ , a następnie styczna kąt $φ$ w $t$ określa się (do wielokrotności $2n$ ) przez

{\ Displaystyle {\ Frac {{\ duże (} X '(t) \ y' (t) {\ duża)}} {{\ duże |} X '(t) \ y' (t) {\ duża. |}}} = (\ cos \ varphi \ \ sin \ varphi)}

W tym przypadku symbol prim oznacza pochodną względem $t$ . Tak więc, kąt stycznej określa kierunek prędkości wektora $(x (t), y (t))$ , podczas gdy prędkość określa jego wielkości. wektor

{\ Displaystyle {\ Frac {{\ duże (} X '(t) \ y' (t) {\ duża)}} {{\ duże |} X '(t) \ y' (t) {\ duże |}}}}

nazywa się urządzenie styczna wektora , tak równoważny definicja jest styczna Kąt $t$ oznacza kąt $φ$ takie, że $(cos φ sin cp)$ jest jednostką styczna wektora w $t$ .

Jeżeli krzywa jest parametryzowane przez łukiem długości $s$ , więc $| x "(s) R " (e) | = 1$ , wtedy uproszczone do definicji

{\ Displaystyle {\ duże (} X '(S) \ y' (i) {\ duża)} = (\ bo \ varphi \ \ \ sin varphi).}

W tym przypadku, krzywizna $κ$ jest przez $φ "(s)$ , gdzie $κ$ przyjmuje się jako dodatni, jeżeli krzywizna w lewo, ujemna krzywizna w prawo.

Jeżeli krzywa jest przez $y = f (x)$ , to możemy brać $(x, f (x))$ jako parametryzacji, i może przyjąć $φ$ wynosi $- gatunku / 2$ i $gatunku / 2$ . To daje wyraźną ekspresję

{\ Displaystyle \ varphi = \ arctg F '(x).}

Polar kąt styczny

W układzie współrzędnych biegunowych , polarny kąt styczny jest określony jako kąt pomiędzy styczną do tej krzywej w danym punkcie i promień od punktu początkowego do punktu. Jeśli $ψ$ oznacza polarny stycznej kąt, a następnie $ψ = φ - θ$ , gdzie $φ$ jest jak wyżej i $θ$ jest, jak zwykle, kątowa.

Jeżeli krzywa jest zdefiniowana w układzie współrzędnych biegunowych od $r = f (θ)$ , a następnie polarny styczna kąt $ψ$ w $θ$ określone (do wielokrotności $2n$ ) przez

{\ Displaystyle {\ Frac {{\ duże (} f '(\ theta) \ f (\ theta) {\ duża)}} {{\ duże | f}' (\ theta) \ f (\ theta) {\ big |}}} = (\ cos \ psi \ \ sin \ psi)}

,

Jeżeli krzywa jest parametryzowane przez długość łuku $s$ a $r = R (s)$ , $θ = θ (y)$ , tak, $| r'(s), rθ' (s) | = 1$ , wtedy staje się określenie

{\ Displaystyle {\ duże (} r '(s), \ r \ teta' (S) {\ duża)} = (\ bo \ psi \ \ sin \ psi)}

,

Spirali logarytmicznej można określić krzywą, której polarny styczna kąt jest stały.

Zobacz też

Referencje

Dalsza lektura

„Zapisy” . Encyclopédie des Formes mathématiques Remarquables (w języku francuskim).
Yates, RC (1952). Podręcznik na łukach i ich właściwości . Ann Arbor, MI: JW Edwards. ss. 123-126.

Languages

In other projects