Spirala logarytmiczna -Logarithmic spiral

${\displaystyle e}$

${\displaystyle a>0}$

${\displaystyle k\neq 0}$

We współrzędnych kartezjańskich

Spirala logarytmiczna z równaniem biegunowym

$${\displaystyle r=ae^{k\varphi}}$$

${\displaystyle (x=r\cos \varphi,\,y=r\sin \varphi)}$

$${\ Displaystyle x = ae ^ {k \ varphi} \ cos \ varphi, \ qquad y = ae ^ {k \ varphi} \ sin \ varphi.}$$

${\ Displaystyle (z = x + iy, \, e ^ {i \ varphi} = \ cos \ varphi + i \ sin \ varphi )}$

$${\ Displaystyle Z = ae ^ {(k + i) \ varphi}.}$$

Spira mirabilis i Jacob Bernoulli

Spira mirabilis , po łacinie „cudowna spirala”, to inna nazwa spirali logarytmicznej. Chociaż krzywa ta została już nazwana przez innych matematyków, specyficzną nazwę („cudowna” lub „cudowna” spirala) nadał tej krzywej Jacob Bernoulli , ponieważ był zafascynowany jedną z jej unikalnych właściwości matematycznych: rozmiarem spirali wzrasta, ale jego kształt jest niezmienny z każdą kolejną krzywą, właściwość znana jako samopodobieństwo . Prawdopodobnie w wyniku tej wyjątkowej właściwości spira mirabilis ewoluowała w naturze, pojawiając się w pewnych rosnących formach, takich jakmuszle łodzików i główki słonecznika . Jacob Bernoulli chciał, aby taka spirala została wygrawerowana na jego nagrobku wraz ze zwrotem „ Eadem mutata resurgo ” („Chociaż zmieniony, powstanę taki sam”), ale przez pomyłkęzamiast tego umieszczono tam spiralę Archimedesa .

Nieruchomości

Definicja kąta nachylenia i sektora

Spirala logarytmiczna ma następujące właściwości (patrz

${\displaystyle r=ae^{k\varphi}\;\;k\neq 0,}$

• Stok biegunowy :${\ Displaystyle \ tan \ alfa = k \ quad ({\ kolor {czerwony} {\ tekst {stała!}}})}$
  z kątem nachylenia biegunowego (patrz schemat).${\displaystyle \alfa}$
  (W przypadku kąta będzie to 0, a krzywa okrąg o promieniu .)${\ Displaystyle k = 0}$${\displaystyle \alfa}$${\ Displaystyle a}$
• Krzywizna :${\ Displaystyle \ kappa = {\ Frac {1} {r {\ sqrt {1 + k ^ {2}}}}} = {\ Frac {\ cos \ alfa} {r}}}$
• Długość łuku :${\ Displaystyle L (\ varphi _ {1}, \ varphi _ {2}) = {\ Frac {\ sqrt {k ^ {2} + 1}} {k}} {\ duży (} r (\ varphi _ {2})-r(\varphi _{1}){\big )}={\frac {r(\varphi _{2})-r(\varphi _{1})}{\sin \alpha } }}$
  Zwłaszcza: , jeśli .${\ Displaystyle \ L (- \ infty , \ varphi _ {2}) = {\ Frac {r (\ varphi _ {2})} {\ sin \ alfa}} \ quad ({\ kolor {czerwony} {\ tekst{skończony !}}})\;}$${\displaystyle k>0}$
  Ta właściwość została po raz pierwszy zrealizowana przez Evangelistę Torricelli jeszcze przed wynalezieniem rachunku różniczkowego .
• Obszar sektora: ${\ Displaystyle A = {\ Frac {r (\ varphi _ {2}) ^ {2}-r (\ varphi _ {1}) ^ {2} {4 k}}}$
• Inwersja: Odwrócenie koła ( ) odwzorowuje spiralę logarytmiczną na spiralę logarytmiczną${\displaystyle r\do 1/r}$${\displaystyle r=ae^{k\varphi}}$${\ Displaystyle r = {\ tfrac {1} {a}} e ^ {-k \ varphi} \,.}$

Przykłady dla${\ Displaystyle a=1,2,3,4,5}$

• Obracanie, skalowanie : obrócenie spirali o kąt daje spiralę , która jest oryginalną spiralą równomiernie wyskalowaną (w początku) o .${\displaystyle \varphi _{0}}$${\ Displaystyle r = ae ^ {-k \ varphi _ {0}} e ^ {k \ varphi }}$${\ Displaystyle e ^ {-k \ varphi _ {0}}}$
  Skalowanie według daje taką

${\ Displaystyle \ alfa = 20 ^ {\ circ}}$

${\ Displaystyle a=1,2,3,4,5}$

${\ Displaystyle -109 ^ {\ circ}, -173 ^ {\ circ }, 218 ^ {\ circ }, -253 ^ {\ circ }}$

Złożona funkcja wykładnicza : Funkcja wykładnicza dokładnie odwzorowuje wszystkie linie, które nie są równoległe do osi rzeczywistej lub urojonej w płaszczyźnie zespolonej, na wszystkie spirale logarytmiczne w płaszczyźnie zespolonej ze środkiem w :${\ Displaystyle 0}$

$${\ Displaystyle Z (t) = \ Underbrace {(kt + b) \; + to} _ {\ tekst {linia}} \ quad \ do \ quad e ^ {z (t)} = e ^ {kt + b }\cdot e^{it}=\underbrace {e^{b}e^{kt}(\cos t+i\sin t)} _{\text{log. spirala}}}$$

Biegunowy kąt nachylenia spirali logarytmicznej to kąt między linią a urojoną osią.${\displaystyle \alfa}$

Przypadki szczególne i przybliżenia

Złota spirala to spirala logarytmiczna, która rośnie na zewnątrz o współczynnik złotego podziału na każde 90 stopni obrotu (kąt nachylenia bieguna około 17,03239 stopni). Można ją aproksymować za pomocą „spirali Fibonacciego”, utworzonej z ciągu ćwiartek okręgów o promieniach proporcjonalnych do liczb Fibonacciego .

W naturze

Cyklon pozazwrotnikowy nad Islandią wykazuje w przybliżeniu logarytmiczny wzór spirali

Ramiona galaktyk spiralnych często mają kształt spirali logarytmicznej, tutaj Galaktyka Wir

Wykrój muszli łodzika przedstawiający komory ułożone w spiralę w przybliżeniu logarytmiczną. Wykreślona spirala (przerywana niebieska krzywa) jest oparta na parametrze szybkości wzrostu , co daje skok równy .${\ Displaystyle b = 0,1759}$${\ Displaystyle \ arctan b \ około 10 ^ {\ circ}}$

W kilku zjawiskach naturalnych można znaleźć krzywe, które są zbliżone do spiral logarytmicznych. Oto kilka przykładów i powodów:

• Podejście jastrzębia do ofiary w klasycznym pościgu , przy założeniu, że ofiara porusza się w linii prostej. Ich najostrzejszy widok jest pod kątem do ich kierunku lotu; ten kąt jest taki sam jak skok spirali.
• Podejście owada do źródła światła. Są przyzwyczajeni do tego, że źródło światła jest ustawione pod stałym kątem do ich toru lotu. Zwykle słońce (lub księżyc w przypadku gatunków nocnych) jest jedynym źródłem światła, a lot w ten sposób daje praktycznie linię prostą.
• Ramiona galaktyk spiralnych . Nasza własna galaktyka, Droga Mleczna , ma kilka ramion spiralnych, z których każde jest w przybliżeniu spiralą logarytmiczną o nachyleniu około 12 stopni.
• Nerwy rogówki (czyli nerwy rogówki warstwy podnabłonkowej kończą się w pobliżu powierzchniowej warstwy nabłonka rogówki w sposób spiralny logarytmiczny).
• Pasma

W zastosowaniach inżynierskich

Mechanizm eliminujący nacięcie wykorzystuje samopodobieństwo spirali logarytmicznej, aby zablokować się w miejscu podczas obrotu, niezależnie od nacięcia cięcia.

Logarytmiczna antena spiralna

• Logarytmiczne anteny spiralne to anteny niezależne od częstotliwości, to znaczy anteny, których charakterystyka promieniowania, impedancja i polaryzacja pozostają w dużej mierze niezmienione w szerokim paśmie.
• Podczas wytwarzania mechanizmów za pomocą subtraktywnych maszyn produkcyjnych (takich jak wycinarki laserowe ), może wystąpić utrata precyzji, gdy mechanizm jest wytwarzany na innej maszynie ze względu na różnicę materiału usuwanego (tj. rzazu) przez każdą maszynę podczas cięcia proces. Aby dostosować się do tej odmiany szczeliny, samopodobną właściwość spirali logarytmicznej wykorzystano do zaprojektowania mechanizmu anulowania szczeliny dla wycinarek laserowych.
• Logarytmiczne spiralne koła zębate stożkowe to rodzaj spiralnego koła zębatego stożkowego, którego linia środkowa zęba koła zębatego jest spiralą logarytmiczną. Spirala logarytmiczna ma tę zaletę, że zapewnia równe kąty między osią zęba a liniami promieniowymi, co zapewnia większą stabilność transmisji zazębienia.

Zobacz też

• Spirala Archimedesa
• Epispiralna
• Lista spiral
• Twierdzenie Taita-Knesera

Bibliografia

• Weisstein, Eric W. „Spirala logarytmiczna” . Matematyka Świat .
• Jim Wilson, Spirala równokątna (lub spirala logarytmiczna) i powiązane z nią krzywe , University of Georgia (1999)
• Alexander Bogomolny , Spira Mirabilis - Cudowna spirala , na przecięciu węzła

Linki zewnętrzne

• Spira mirabilis historia i matematyka
• NASA Astronomy Picture of the Day: Huragan Isabel kontra Galaktyka Wir (25 września 2003)
• NASA Astronomy Picture of the Day: Tajfun Rammasun kontra Galaktyka Wiatraczek (17 maja 2008)
• SpiralZoom.com , edukacyjna strona internetowa poświęcona nauce tworzenia wzorców, spiralom w naturze i spiralom w mitycznej wyobraźni.
• Eksploracja online za pomocą JSXGraph (JavaScript)
• Wykład na YouTube na temat problemu myszy Zenona i spirali logarytmicznych