Układ równań różniczkowych - System of differential equations

W matematyce układ równań różniczkowych jest skończonym zbiorem równań różniczkowych . Taki system może być liniowy lub nieliniowy . Również taki układ może być albo układem równań różniczkowych zwyczajnych, albo układem równań różniczkowych cząstkowych .

Liniowy układ równań różniczkowych

Jak każdy układ równań, układ liniowych równań różniczkowych jest uważany za naddeterminowany, jeśli jest więcej równań niż niewiadomych.

Aby nadmiernie zdeterminowany system miał rozwiązanie, musi spełniać warunki kompatybilności . Rozważmy na przykład system:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy u} {\ częściowy x_ {i}}} = f_ {i}, 1 \ równoważnik ja \ równoważnik m.}$

Wtedy niezbędne warunki, aby system miał rozwiązanie, to:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy f_ {i}} {\ częściowy x_ {k}}} - {\ Frac {\ częściowy f_ {k}} {\ częściowy x_ {i}}} = 0,1 \ leq ja,k\leq m.}$

Zobacz też: Problem Cauchy'ego i fundamentalna zasada Ehrenpreisa .

Nieliniowy układ równań różniczkowych

Być może najbardziej znanym przykładem nieliniowego układu równań różniczkowych są równania Naviera-Stokesa . W przeciwieństwie do przypadku liniowego, istnienie rozwiązania układu nieliniowego jest trudnym problemem (por. istnienie i gładkość Naviera-Stokesa ).

Zobacz też: zasada h .

System różnicowy

System różniczkowy to sposób badania układu równań różniczkowych cząstkowych przy użyciu idei geometrycznych, takich jak formy różniczkowe i pola wektorowe.

Na przykład warunki zgodności naddeterminowanego układu równań różniczkowych można zwięźle określić w postaci form różniczkowych (tzn. forma konkretnie musi być zamknięta). Zobacz warunki całkowania dla systemów różnicowych, aby uzyskać więcej informacji.

Zobacz też: Kategoria:systemy różnicowe .

Uwagi

Zobacz też

• integralna geometria
• Twierdzenie o przedłużeniu Cartana-Kuranishiego

Bibliografia

• L. Ehrenpreis, Uniwersalność transformacji Radona , Oxford Univ. Prasa, 2003.
• Gromov, M. (1986), częściowe relacje różniczkowe , Springer, ISBN  3-540-12177-3
• M. Kuranishi, "Wykłady o układach inwoltywnych równań różniczkowych cząstkowych", Publ. Soc. Mata. Sao Paulo (1967)
• Pierre Schapira, Systemy mikroróżnicowe w dziedzinie zespolonej, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, tom. 269, Springer-Verlag, 1985.

Dalsza lektura

• https://mathoverflow.net/questions/273235/a-very-basic-question-about-projections-in-formal-pde-theory
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Involutional_system
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Complete_system
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Partial_differential_equations_on_a_manifold