Symmedian - Symmedian
W geometrii , symmedians są trzy szczególne geometryczne linie związane z każdym trójkącie . Konstruuje się je, przyjmując środkową z trójkąta (linię łączącą wierzchołek z punktem środkowym przeciwnej strony) i odbijając tę linię na odpowiedniej dwusiecznej kąta (linia przechodząca przez ten sam wierzchołek, która dzieli kąt na pół). Kąt utworzony przez symmedianę i dwusieczną kąta ma taką samą miarę jak kąt między środkową a dwusieczną kąta, ale znajduje się po drugiej stronie dwusiecznej kąta.
Trzej symmedianie spotykają się w środku trójkąta zwanym punktem Lemoine . Ross Honsberger nazwał jego istnienie „jednym z klejnotów koronnych współczesnej geometrii”.
Izogonalność
Wielokrotnie w geometrii, jeśli przez wierzchołki trójkąta lub cevianów poprowadzimy trzy specjalne linie , to ich odbicia wokół odpowiednich dwusiecznych kątów, zwanych liniami izogonalnymi , również będą miały interesujące właściwości. Na przykład, jeśli trzy ceviany trójkąta przecinają się w punkcie P, to ich izogonalne linie również przecinają się w punkcie, zwanym koniugatem izogonalnym P.
Symmedianie ilustrują ten fakt.
- Na diagramie mediany (w kolorze czarnym) przecinają się w środku ciężkości G.
- Ponieważ symmedianie (na czerwono) są izogonalni do środkowych, symmedianie również przecinają się w jednym punkcie, L.
Punkt ten nazywany jest trójkąt za symediana punkt , lub alternatywnie punkt Lemoine lub punkt Perkoz .
Linie przerywane to dwusieczne kąta; symmediany i mediany są symetryczne względem dwusiecznych kąta (stąd nazwa „symmediana”).
Budowa symmediana
Niech ABC będzie trójkątem. Skonstruuj punkt D, przecinając styczne z B i C do okręgu opisanego . Wtedy AD jest symmedianem trójkąta ABC.
pierwszy dowód. Niech odbicie AD w poprzek dwusiecznej kąta ∠BAC spotka się z BC w M '. Następnie:
drugi dowód. Zdefiniuj D 'jako izogonalny koniugat D. Łatwo zauważyć, że odbiciem CD wokół dwusiecznej jest linia przechodząca przez C równoległa do AB. To samo dotyczy BD, a więc ABD'C jest równoległobokiem. AD 'jest wyraźnie medianą, ponieważ przekątne równoległoboku przecinają się na pół, a AD jest jego odbiciem na dwusiecznej.
trzeci dowód. Niech ω będzie okręgiem ze środkiem D przechodzącym przez B i C, i niech O będzie środkiem okręgu ABC, Powiedz proste AB i AC przecinają ω w punktach P i Q, odpowiednio. Ponieważ ∠ABC = ∠AQP, trójkąty ABC i AQP są podobne. Ponieważ ∠PBQ = ∠BQC + ∠BAC = 1/2 (∠BDC + ∠BOC) = 90 ◦ , widzimy, że PQ ma średnicę ω i przechodzi przez D. Niech M będzie środkiem BC. Ponieważ D jest środkiem QP, podobieństwo implikuje, że ∠BAM = ∠QAD, z którego wynika wynik.
czwarty dowód. Niech S będzie środkiem łuku BC. BS = SC, więc AS jest dwusieczną kąta ∠BAC. Niech M będzie środkiem BC, a wynika z tego, że D jest odwrotnością M względem okręgu opisanego. Z tego wiemy, że okręg opisany jest okręgiem apollińskim z ogniskami M i D. Zatem AS jest dwusieczną kąta ∠DAM i osiągnęliśmy nasz pożądany wynik.
Czworościany
Pojęcie punktu symmedycznego rozciąga się na (nieregularne) czworościany. Biorąc pod uwagę czworościan ABCD, dwie płaszczyzny P i Q do AB są sprzężonymi izogonami, jeśli tworzą równe kąty z płaszczyznami ABC i ABD. Niech M będzie środkiem bocznej płyty CD. Płaszczyzna zawierająca bok AB, która jest izogonalna do płaszczyzny ABM, nazywana jest symmedyczną płaszczyzną czworościanu. Można pokazać, że płaszczyzny symmedyczne przecinają się w punkcie, punkcie symmedycznym. Jest to również punkt, który minimalizuje kwadratową odległość od ścian czworościanu.