Analiza kształtu widmowego - Spectral shape analysis

Analiza kształtu widmowego polega na widmie ( wartościach własnych i / lub funkcjach własnych ) operatora Laplace'a – Beltramiego do porównywania i analizowania kształtów geometrycznych. Ponieważ widmo operatora Laplace'a – Beltramiego jest niezmienne dla izometrii , dobrze nadaje się do analizy lub wyszukiwania niesztywnych kształtów, tj. Obiektów podatnych na zginanie, takich jak ludzie, zwierzęta, rośliny itp.

Laplace

Operator Laplace'a – Beltramiego jest zaangażowany w wiele ważnych równań różniczkowych, takich jak równanie ciepła i równanie falowe . To może być określone na Riemanna kolektora jako rozbieżności w gradiencie o wartościach rzeczywistych funkcji f :

${\ displaystyle \ Delta f: = \ operatorname {div} \ operatorname {grad} fa.}$

Jego składowe widmowe można obliczyć, rozwiązując równanie Helmholtza (lub problem Laplacian z wartością własną):

${\ Displaystyle \ Delta \ varphi _ {i} + \ lambda _ {i} \ varphi _ {i} = 0.}$

Rozwiązaniami są funkcje własne (mody) i odpowiadające im wartości własne , reprezentujące rozbieżną sekwencję dodatnich liczb rzeczywistych. Pierwsza wartość własna wynosi zero dla domen zamkniętych lub gdy używany jest warunek brzegowy Neumanna . W przypadku niektórych kształtów widmo można obliczyć analitycznie (np. Prostokąt, płaski torus, cylinder, dysk lub kula). Na przykład dla sfery funkcjami własnymi są sferyczne harmoniczne . ${\ displaystyle \ varphi _ {i}}$${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$

Najważniejszymi właściwościami wartości własnych i funkcji własnych są niezmienniki izometrii. Innymi słowy, jeśli kształt nie zostanie rozciągnięty (np. Arkusz papieru wygięty do trzeciego wymiaru), wartości widmowe nie zmienią się. Przedmioty podatne na zginanie, takie jak zwierzęta, rośliny i ludzie, mogą przybierać różne postawy ciała przy minimalnym rozciągnięciu stawów. Otrzymane kształty nazywane są prawie izometrycznymi i można je porównać za pomocą analizy kształtu widmowego.

Dyskretyzacje

Kształty geometryczne są często przedstawiane jako zakrzywione powierzchnie 2D, siatki powierzchni 2D (zwykle siatki trójkątów ) lub bryły 3D (np. Za pomocą wokseli lub siatek czworościanów ). We wszystkich tych przypadkach można rozwiązać równanie Helmholtza. Jeśli istnieje obwiednia, np. Kwadrat, lub objętość dowolnego kształtu geometrycznego 3D, należy określić warunki brzegowe.

Istnieje kilka dyskretyzacji operatora Laplace'a (patrz Dyskretny operator Laplace'a ) dla różnych typów reprezentacji geometrii. Wiele z tych operatorów nie przybliża dobrze bazowego operatora ciągłego.

Deskryptory kształtu widmowego

ShapeDNA i jego warianty

ShapeDNA jest jednym z pierwszych deskryptorów kształtu widmowego. Jest to znormalizowana sekwencja początkowa wartości własnych operatora Laplace'a – Beltramiego. Jego główne zalety to prosta reprezentacja (wektor liczb) i porównanie, niezmienność skali i pomimo swojej prostoty bardzo dobre wyniki w wyszukiwaniu kształtów niesztywnych. Konkurenci shapeDNA obejmują osobliwe wartości macierzy odległości geodezyjnych (SD-GDM) i zredukowanej macierzy odległości biharmonicznych (R-BiHDM). Jednak wartości własne są globalnymi deskryptorami, dlatego shapeDNA i inne globalne deskryptory widmowe nie mogą być używane do lokalnej lub częściowej analizy kształtu.

Globalny podpis punktowy (GPS)

Globalna sygnatura punktu w punkcie jest wektorem skalowanych funkcji własnych operatora Laplace'a-Beltramiego obliczonych w (tj. Widmowym osadzeniu kształtu). GPS jest funkcją globalną w tym sensie, że nie może być używany do częściowego dopasowania kształtu. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$

Podpis jądra ciepła (HKS)

Sygnatura jądra ciepła wykorzystuje rozkład własny jądra ciepła :

${\ displaystyle h_ {t} (x, y) = \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} \ exp (- \ lambda _ {i} t) \ varphi _ {i} (x) \ varphi _ {i} (y).}$

Dla każdego punktu na powierzchni przekątna jądra ciepła jest próbkowana w określonych wartościach czasu i daje lokalną sygnaturę, którą można również wykorzystać do częściowego dopasowania lub wykrywania symetrii. ${\ Displaystyle h_ {t} (x, x)}$${\ displaystyle t_ {j}}$

Podpis jądra fali (WKS)

WKS kieruje się podobną ideą do HKS, zastępując równanie ciepła równaniem fali Schrödingera.

Ulepszony podpis jądra fali (IWKS)

IWKS ulepsza WKS pod kątem odzyskiwania niesztywnych kształtów poprzez wprowadzenie nowej funkcji skalowania do wartości własnych i agregację nowego terminu krzywizny.

Sygnatura falkowa wykresu widmowego (SGWS)

SGWS to deskryptor lokalny, który jest nie tylko niezmienny izometrycznie, ale także kompaktowy, łatwy do obliczenia i łączy w sobie zalety filtrów pasmowych i dolnoprzepustowych. Ważnym aspektem SGWS jest możliwość łączenia zalet WKS i HKS w jedną sygnaturę, pozwalając jednocześnie na wielorozdzielczą reprezentację kształtów.

Dopasowanie widmowe

Rozkład widmowy wykresu Laplaciana związanego ze złożonymi kształtami (patrz dyskretny operator Laplace'a ) zapewnia funkcje własne (mody), które są niezmienne względem izometrii. Każdy wierzchołek kształtu może być jednoznacznie reprezentowany za pomocą kombinacji wartości własnych w każdym punkcie, czasami nazywanych współrzędnymi widmowymi:

${\ Displaystyle s (x) = (\ varphi _ {1} (x), \ varphi _ {2} (x), \ ldots, \ varphi _ {N} (x)) {\ tekst {dla wierzchołka}} x.}$

Dopasowanie widmowe polega na ustaleniu zgodności punktów poprzez sparowanie wierzchołków o różnych kształtach, które mają najbardziej podobne współrzędne widmowe. Wczesne prace koncentrowały się na rzadkich odpowiednikach dla stereoskopii. Wydajność obliczeniowa umożliwia teraz gęstą korespondencję na pełnych oczkach, na przykład między powierzchniami korowymi. Dopasowanie widmowe można również zastosować do złożonej rejestracji niesztywnego obrazu , co jest szczególnie trudne, gdy obrazy mają bardzo duże odkształcenia. Takie metody rejestracji obrazu oparte na widmowych wartościach własnych rzeczywiście wychwytują globalną charakterystykę kształtu i kontrastują z konwencjonalnymi niesztywnymi metodami rejestracji obrazu, które często opierają się na lokalnej charakterystyce kształtu (np. Gradienty obrazu).

Bibliografia