Singular rozwiązanie - Singular solution

Roztwór pojedynczej r _s ( x ) o zwykłej równania różniczkowego jest rozwiązanie, które jest w liczbie pojedynczej lub jeden do którego zagadnienia początkowego (zwanego również problem Cauchy'ego przez niektórych autorów) nie mają unikalne rozwiązanie, w pewnym momencie w roztworze. Zestaw na których rozwiązanie jest w liczbie pojedynczej może być tak mały, jak w jednym punkcie lub tak duże jak w pełni rzeczywistej linii. Rozwiązania, które są w liczbie pojedynczej w tym sensie, że problem wartości początkowej zaniechał posiada unikalne rozwiązanie nie musi być funkcja osobliwa .

W niektórych przypadkach termin rozwiązanie pojedynczej służy oznaczać rozwiązanie, w którym nastąpiła awaria unikalności problemu wartości początkowej w każdym punkcie na krzywej. Osobliwej rozwiązaniem w tym silniejsze poczucie jest często stosowany jako styczna do wszystkich rozwiązań z rodziny rozwiązań. Przez styczną rozumie się, że istnieje punkt, x , w którym R _s ( x ) = r _c ( x ), a R ' _a ( x ) = y' _c ( x ), w którym R _c jest rozwiązanie w rodzinie roztworów parametryzowanec . Oznacza to, że pojedyncza rozwiązaniem jest koperta z rodziny rozwiązań.

Zazwyczaj jednostkowe rozwiązania pojawia się w równaniach różniczkowych, gdy istnieje potrzeba, aby dzielić się w okresie czasu, który może być równy zeru . Dlatego też, gdy ktoś jest rozwiązując równanie różniczkowe i stosując podział trzeba sprawdzić, co się dzieje, jeśli termin jest równa zeru, i czy prowadzi to do pojedynczej rozwiązania. Twierdzenie Picard-Lindelófa , co zapewnia wystarczające warunki wyjątkowe rozwiązania występują, mogą być używane, aby wykluczyć obecność pojedynczych rozwiązań. Inne twierdzenia, takie jak istnienie twierdzenia Peano , dają wystarczające warunki do rozwiązań istnieje niekoniecznie jest unikalny, co może pozwolić na istnienie pojedynczych rozwiązań.

Rozbieżnej rozwiązanie

Rozważmy homogenicznych liniowych zwykłą różnicę

{\ Xy displaystyle '(x) + 2Y, (x) = 0, \, \!}

gdzie bodźce oznacza pochodne względem x . Ogólny Rozwiązaniem tego równania jest

{\ Displaystyle r (x) = Cx ^ {- 2}, \,. \!}

Dla danej , to rozwiązanie jest gładka z wyjątkiem , gdy roztwór jest rozbieżny. Ponadto, dla danej , jest to unikalne rozwiązanie przeżywa . ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle x = 0}$ ${\ Displaystyle x \ nie = 0}$ ${\ Displaystyle (x, y (X))}$

Awaria wyjątkowości

Rozważmy równanie różniczkowe

{\ Y displaystyle '(x) ^ {2} = 4y (x). \, \!}

Rodzina jeden parametr rozwiązania tego równania jest przez

{\ Displaystyle Y_ {c} (x) = (XC) ^ {2}. \, \!}

Innym rozwiązaniem jest przez

{\ Displaystyle Y_ {s} (x) = 0. \, \!}

Ponieważ równanie badane jest równanie pierwszego rzędu, początkowe warunki początkowe x i y wartości. Rozważając dwa zestawy rozwiązań powyżej, widać, że rozwiązanie nie być unikalna kiedy . (Można wykazać, że w przypadku , gdy jedna gałąź pierwiastek kwadratowy jest wybrany, to istnieje lokalna roztwór, który jest unikalny z wykorzystaniem twierdzenia Picard-Lindelófa ). Tak więc, z powyższych rozwiązań są pojedyncze rozwiązania, w tym sensie, że rozwiązanie nie być unikalna w sąsiedztwie jednego lub więcej punktów. (Potocznie mówimy „wyjątkowość nie” w tych punktach.) Do pierwszego zestawu rozwiązań, wyjątkowość nie w pewnym momencie , a za drugim rozwiązaniem, wyjątkowość nie przy każdej wartości . Zatem rozwiązanie jest szczególnym rozwiązaniem w sensie, że silniejszy unikalności zawodzi przy każdej wartości x . Jednakże, nie jest to pojedyncza funkcja ponieważ i wszystkie jej pochodne są ciągłe. ${\ Displaystyle Y = 0}$ ${\ Displaystyle y> 0}$ ${\ Displaystyle X = C}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle Y_ {s}}$

W tym przykładzie, roztwór jest koperta z rodziny rozwiązań . Roztwór jest styczna do kształtu w miejscu . ${\ Displaystyle Y_ {s} (x) = 0}$ ${\ Displaystyle Y_ {c} (x) = (XC) ^ {2}}$ ${\ Displaystyle Y_ {s}}$ ${\ Displaystyle Y_ {c} (x)}$ ${\ Displaystyle (c, 0)}$

Niepowodzenie jednoznaczności może zostać użyte do wykonania więcej rozwiązań. Można je znaleźć poprzez dwa stałą i definiowania rozwiązanie będzie gdy , być kiedy i być po . Bezpośrednie obliczenie wykazuje, że jest to rozwiązanie równania różniczkowego w każdym punkcie, w tym i . Wyjątkowość nie dla tych rozwiązań w przedziale , a rozwiązania są pojedyncze, w tym sensie, że druga pochodna zawodzi istnieć, na i . ${\ Displaystyle C_ {1} <C_ {2}}$ ${\ Displaystyle Y (x)}$ ${\ Displaystyle (x C_ {1}) ^ {2}}$ ${\ Displaystyle x <C_ {1}}$ ${\ Displaystyle 0}$ ${\ Displaystyle C_ {1} \ równoważnik x \ równoważnik C_ {2}}$ ${\ Displaystyle (x C_ {2}) ^ {2}}$ ${\ Displaystyle x> c_ {2}}$ ${\ Displaystyle X = C_ {1}}$ ${\ Displaystyle X = C_ {2}}$ ${\ Displaystyle C_ {1} \ równoważnik x \ równoważnik C_ {2}}$ ${\ Displaystyle X = C_ {1}}$ ${\ Displaystyle X = C_ {2}}$

Kolejnym przykładem porażki wyjątkowości

Poprzedni przykład może dać mylne wrażenie, że brak jednoznaczności jest bezpośrednio związany . Awaria wyjątkowości można dostrzec także w poniższym przykładzie równanie różniczkowe clairauta : ${\ Y displaystyle (x) = 0}$

{\ Displaystyle r (x) = x \ cdot y '+ (R') ^ {2} \ \!}

Piszemy y”= P , a następnie

{\ Displaystyle r (x) = x \ cdot P + (p) ^ {2}. \, \!}

Teraz weźmiemy różnicę według x :

{\ Displaystyle P = Y '= p + PD' + 2pp '\, \!}

które za pomocą prostych Algebra wydajnością

{\ Displaystyle 0 = (2p + x) P”, \, \!}

Warunek ten jest rozwiązany, jeżeli 2p + x = 0 lub p '= 0 .

Jeśli p „ = 0, to znaczy, że R” = p = c = stała, a ogólne rozwiązanie tego nowego równania:

{\ Displaystyle Y_ {c} (x) = c \ cdot x + c ^ {2} \ \!}

gdzie C jest określana przez wartości początkowej.

Jeśli x + 2 p = 0, to wówczas otrzymujemy że p = - (1/2) x i podstawienie daje w ODE

{\ Displaystyle Y_ {s} (x) = - (1/2) x ^ {2} + (- (1/2) x) ^ {2} = - (1/4) \ cdot x ^ {2} . \, \!}

Teraz będziemy sprawdzać, kiedy te rozwiązania są osobliwe rozwiązania. Jeśli dwa roztwory przecinają się ze sobą, to znaczy, że zarówno przejść przez ten sam punkt (x, y) , to jest brak jednoznaczności dla pierwszego rzędu równania różniczkowego zwyczajnego. Tak więc, nie będzie awaria wyjątkowości jeśli roztwór pierwszej postaci przecina drugie rozwiązanie.

Warunkiem przecięcia wynosi: y _y ( x ) = y _c ( x ). My rozwiązujemy