Stosunek srebra - Silver ratio
Reprezentacje | |
---|---|
Dziesiętny | 2.41421 35623 73095 0488... |
Forma algebraiczna | 1 + √ 2 |
Ułamek ciągły | |
Dwójkowy | 10.0110 1010 0000 1001 1110 ... |
Szesnastkowy | 2.6A09 E667 F3BC C908 B2F... |
W matematyce dwie ilości są w stosunku srebra (lub średniej srebrnej ), jeśli stosunek mniejszej z tych dwóch ilości do większej ilości jest taki sam jak stosunek większej ilości do sumy mniejszej ilości i dwukrotność większej ilość (patrz poniżej). To definiuje stosunek srebra jako nieracjonalną stałą matematyczną , której wartość jeden plus pierwiastek kwadratowy z 2 wynosi około 2,4142135623. Jej nazwa jest aluzją do złotego podziału ; analogicznie do sposobu, w jaki złoty podział jest stosunkiem granicznym kolejnych liczb Fibonacciego , stosunek srebrny jest stosunkiem granicznym kolejnych liczb Pella . Stosunek srebra jest oznaczony przez δ S .
Matematycy badali stosunek srebra od czasów Greków (choć być może do niedawna bez podawania specjalnej nazwy) ze względu na jego powiązania z pierwiastkiem kwadratowym z 2, jego zbieżnościami, liczbami trójkątnymi kwadratowymi, liczbami Pella, ośmiokątami i tym podobnymi.
Opisaną powyżej relację można wyrazić algebraicznie:
lub równoważnie,
Stosunek srebra może być również określony przez prostą frakcję ciągłą [2; 2, 2, 2, ...]:
W convergents tego ułamka (2/1, 5/2, 12/5, 29/12, 70/29, ...) są stosunkami kolejnych liczb Pella. Ułamki te zapewniają dokładne racjonalne przybliżenia stosunku srebra, analogiczne do przybliżenia złotego podziału przez stosunki kolejnych liczb Fibonacciego.
Srebrny prostokąt jest połączony z ośmiokątem foremnym . Jeśli ośmiokąt foremny jest podzielony na dwa trapezy równoramienne i prostokąt, to prostokąt jest srebrnym prostokątem o proporcjach 1: δ S , a 4 boki trapezu mają stosunek 1:1:1: δ S . Jeżeli długość krawędzi ośmiokąta foremnego jest T , a następnie okres ośmiokąta (odległość pomiędzy przeciwległymi bokami) jest δ S , T , a obszar ośmiokąta znaczy 2 δ S T 2 .
Obliczenie
Dla porównania mówi się , że dwie wielkości a , b z a > b > 0 są w złotym stosunku φ jeśli,
Jednak są one w stosunku srebra δ S jeśli,
Równoważnie,
W związku z tym,
Mnożenie przez δ S i przestawianie daje
Wykorzystując wzór kwadratowy , można otrzymać dwa rozwiązania. Ponieważ δ S jest stosunkiem wielkości dodatnich, z konieczności jest dodatnie, więc
Nieruchomości
Własności teoretyczne liczb
Stosunek srebra to liczba Pisota-Vijayaraghavana (liczba PV), jako sprzężenie 1 − √ 2 =-1/δ S≈ −0.41 ma wartość bezwzględną mniejszą niż 1. W rzeczywistości jest to druga najmniejsza kwadratowa liczba PV po złotym podziale. Oznacza to odległość od δ n
S do najbliższej liczby całkowitej to 1/δ n
S0,41 n . W ten sposób, sekwencję części ułamkowych z hemibursztynianu n
S, n = 1, 2, 3, ... (ujęte jako elementy torusa) zbiegają się. W szczególności ta sekwencja nie jest równomiernie rozłożona mod 1 .
Uprawnienie
Niższe potęgi stosunku srebra to
Moce kontynuują wzór
gdzie
Na przykład używając tej właściwości:
Używając K 0 = 1 i K 1 = 2 jako warunków początkowych, formuła podobna do Bineta wynika z rozwiązania relacji powtarzalności
co staje się
Właściwości trygonometryczne
Stosunek srebra jest ściśle powiązany ze stosunkami trygonometrycznymi dla π/8= 22,5° .
Czyli pole ośmiokąta foremnego o długości boku a jest podane przez
Rozmiary papieru i srebrne prostokąty
Prostokąt, którego współczynnik proporcji jest proporcją srebra (1: √ 2 , około 1:1,4142135 dziesiętnie) jest czasami nazywany srebrnym prostokątem przez analogię ze złotymi prostokątami . Te rozmiary papieru poniżej ISO 216 są takie prostokąty. Prostokąty 1: √ 2 (prostokąty o kształcie papieru ISO 216) mają tę właściwość, że przecięcie prostokąta na pół wzdłuż jego dłuższego boku daje dwa mniejsze prostokąty o tych samych proporcjach.
Usunięcie największego możliwego kwadratu z takiego prostokąta pozostawia prostokąt o proporcjach 1 : ( √ 2 − 1), czyli takich samych jak (1 + √ 2 ) : 1 , proporcja srebra. Usunięcie największego kwadratu z wynikowego prostokąta pozostawia go ponownie z proporcjami 1: √ 2 . Usunięcie największego możliwego kwadratu z każdego rodzaju srebrnego prostokąta daje srebrny prostokąt drugiego rodzaju, a następnie powtórzenie tego procesu daje prostokąt o oryginalnym kształcie, ale mniejszy o współczynnik liniowy 1 + √ 2 .
Zobacz też
Bibliografia
Dalsza lektura
- Buitrago, Antonia Redondo (2008). "Polygons, Diagonals, and the Bronze Mean", Nexus Network Journal 9,2: Architecture and Mathematics , s.321-2. Springer Media o nauce i biznesie. ISBN 9783764386993 .
Zewnętrzne linki
- Weisstein, Eric W. „Srebrny stosunek” . MatematykaŚwiat .
- „ Wprowadzenie do ułamków ciągłych: srebrny środek ”, Liczby Fibonacciego i złoty dział .
- „ Srebrny prostokąt i jego sekwencja ” w Tartapelago – Giorgio Pietrocola