Równanie kwadratowe - Quadratic formula

Wykres funkcji w kształcie paraboli, która przecina oś x przy x = 1 i x = 4.
Funkcja kwadratowa y = 1/2x 25/2x + 2 , z pierwiastkami x  = 1 i x  = 4.

W podstawowej Algebra The kwadratowy wzór jest wzorem, który stanowi roztwór (y) do równania kwadratowego . Istnieją inne sposoby rozwiązywania równania kwadratowego zamiast używania wzoru kwadratowego, takie jak faktoring (faktoryzacja bezpośrednia, grupowanie, metoda AC ), uzupełnianie do kwadratu , wykresy i inne.

Biorąc pod uwagę ogólne równanie kwadratowe postaci

gdzie x reprezentuje niewiadomą, a , b i c reprezentuje stałe z a ≠ 0 , wzór kwadratowy to:

gdzie znak plus-minus „±” oznacza, że ​​równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania. Napisane osobno stają się:

Każde z tych dwóch rozwiązań jest również nazywane pierwiastkiem (lub zerem) równania kwadratowego. Geometrycznie pierwiastki te reprezentują wartości x, przy których dowolna parabola , jawnie podana jako y = ax 2 + bx + c , przecina oś x .

Oprócz tego, że jest wzorem, który daje zera dowolnej paraboli, wzór kwadratowy może być również używany do identyfikacji osi symetrii paraboli i liczby rzeczywistych zer, które zawiera równanie kwadratowe.

Równoważne preparaty

Formuła kwadratowa może być również zapisana jako

które można uprościć do

Wyrażenie wewnątrz pierwiastka kwadratowego nazywa się wyróżnikiem .
Ta wersja formuły ułatwia znalezienie pierwiastków podczas korzystania z kalkulatora.
Powyższa wersja jest również wygodna, gdy w grę wchodzą pierwiastki złożone, w którym to przypadku wyrażenie poza pierwiastkiem kwadratowym jest częścią rzeczywistą, a wyrażenie pierwiastkowe jest częścią urojoną:

Metoda Mullera

Mniej znany wzór kwadratowy, który jest używany w metodzie Mullera i który można znaleźć we wzorach Viety , dostarcza tych samych pierwiastków za pomocą równania:

Receptury oparte na alternatywnych parametryzacjach

Standardowa parametryzacja równania kwadratowego to

Niektóre źródła, zwłaszcza starsze, stosują alternatywne parametryzacje równania kwadratowego, takie jak

gdzie ,

lub

, gdzie .

Te alternatywne parametryzacje skutkują nieco innymi formami rozwiązania, ale poza tym są równoważne ze standardową parametryzacją.

Pochodne formuły

W literaturze dostępnych jest wiele różnych metod wyprowadzania wzoru kwadratowego. Standardowy to proste zastosowanie techniki uzupełniania kwadratu . Alternatywne metody są czasami prostsze niż wypełnienie kwadratu i mogą oferować interesujący wgląd w inne obszary matematyki.

Stosując technikę „dopełniania kwadratu”

Metoda standardowa

Podziel równanie kwadratowe przez , co jest dozwolone, ponieważ jest niezerowe:

Odejmować C/a z obu stron równania, otrzymując:

Równanie kwadratowe ma teraz postać, do której ma zastosowanie metoda uzupełnienia do kwadratu . W rzeczywistości, dodając stałą do obu stron równania tak, że lewa strona staje się pełnym kwadratem, równanie kwadratowe staje się:

która produkuje:

W związku z tym po przestawieniu terminów po prawej stronie tak, aby miały wspólny mianownik, otrzymujemy:

W ten sposób plac został ukończony. Wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego z obu stron daje następujące równanie:

W takim przypadku izolowanie dałoby wzór kwadratowy:

Istnieje wiele alternatyw tego wyprowadzenia z niewielkimi różnicami, głównie dotyczącymi manipulacji .

Metoda 2

Większość tekstów algebry opublikowanych w ciągu ostatnich kilkudziesięciu lat uczy uzupełniania do kwadratu za pomocą przedstawionego wcześniej ciągu:

  1. Podzielić każdej strony , aby wielomian Monic .
  2. Przemieniać.
  3. Dodaj po obu stronach, aby uzupełnić kwadrat.
  4. Zmień kolejność terminów po prawej stronie, aby mieć wspólny mianownik.
  5. Weź pierwiastek kwadratowy z obu stron.
  6. Izoluj .

Uzupełnienie kwadratu można również osiągnąć za pomocą czasami krótszej i prostszej sekwencji:

  1. Pomnóż każdą stronę przez ,
  2. Przemieniać.
  3. Dodaj po obu stronach, aby uzupełnić kwadrat.
  4. Weź pierwiastek kwadratowy z obu stron.
  5. Izoluj .

W takim przypadku wzór kwadratowy można również wyprowadzić w następujący sposób:

To wyprowadzenie wzoru kwadratowego jest starożytne i było znane w Indiach co najmniej od 1025 roku. W porównaniu z wyprowadzeniem w standardowym użyciu, to alternatywne wyprowadzenie pozwala uniknąć ułamków i ułamków kwadratowych aż do ostatniego kroku, a zatem nie wymaga przegrupowania po kroku 3, aby uzyskać wspólny mianownik po prawej stronie.

Metoda 3

Podobnie jak metoda 1, podzielenie każdej strony do lewej stronie wielomian monic (czyli współczynnik staje 1 ).

Napisz równanie w bardziej zwartym i łatwiejszym w obsłudze formacie:

gdzie i .

Uzupełnij kwadrat, dodając do dwóch pierwszych wyrazów i odejmując go od trzeciego wyrazu:

Zmień lewą stronę na różnicę dwóch kwadratów :

i rozłóż na czynniki:

co oznacza, że ​​albo

lub

Każde z tych dwóch równań jest liniowe i można je rozwiązać dla , uzyskując:

lub

Poprzez ponowne wyrażenie i powrót odpowiednio do i , można następnie otrzymać wzór kwadratowy.

Przez podstawienie

Inną techniką jest rozwiązanie przez podstawienie . W tej technice podstawiamy do kwadratu, aby uzyskać:

Rozszerzanie wyniku, a następnie zbieranie mocy produktów :

Nie nałożyliśmy jeszcze drugiego warunku na i , więc teraz wybieramy, aby zniknął termin środkowy. To znaczy, lub .

Odejmując wyraz stały z obu stron równania (aby przenieść go na prawą stronę), a następnie dzieląc przez otrzymujemy:

Zastępując daje:

W związku z tym,

Przez ponowną ekspresję w warunkach za pomocą wzoru , zwykle kwadratowy wzór można następnie otrzymać:

Używając tożsamości algebraicznych

Poniższa metoda była stosowana przez wielu matematyków historycznych:

Niech pierwiastki standardowego równania kwadratowego to r 1 i r 2 . Wyprowadzenie rozpoczyna się od przywołania tożsamości:

Wyciągając pierwiastek kwadratowy po obu stronach, otrzymujemy:

Ponieważ współczynnik a ≠ 0 , możemy podzielić standardowe równanie przez a, aby otrzymać wielomian kwadratowy o tych samych pierwiastkach. Mianowicie,

Z tego widać, że suma pierwiastków standardowego równania kwadratowego jest dana przez b/a, a iloczyn tych korzeni jest podany przez C/a. Stąd tożsamość można przepisać jako:

Ale już,

Ponieważ r 2 = − r 1b/a, jeśli weźmiemy

wtedy otrzymujemy

a jeśli zamiast tego weźmiemy

potem to obliczamy

Łącząc te wyniki przy użyciu standardowego skrótu ±, otrzymujemy, że rozwiązania równania kwadratowego dane są wzorem:

Według rezolwentów Lagrange'a

Alternatywnym sposobem wyprowadzenia wzoru kwadratowego jest metoda rezolwentów Lagrange'a , która jest wczesną częścią teorii Galois . Metodę tę można uogólnić, dając pierwiastki wielomianów sześciennych i wielomianów kwarcowych , i prowadzi do teorii Galois, która pozwala zrozumieć rozwiązanie równań algebraicznych dowolnego stopnia pod względem grupy symetrii ich pierwiastków, grupy Galois .

To podejście skupia się na pierwiastkach bardziej niż na przekształceniu pierwotnego równania. Biorąc pod uwagę moniczny wielomian kwadratowy

załóżmy, że czynniki takie jak

Rosnące plony

gdzie p = −( α + β ) i q = αβ .

Ponieważ kolejność mnożenia nie ma znaczenia, można zamienić α i β, a wartości p i q się nie zmienią: można powiedzieć, że p i qwielomianami symetrycznymi w α i β . W rzeczywistości są to elementarne wielomiany symetryczne – każdy wielomian symetryczny w α i β można wyrazić w kategoriach α + β i αβ Podejście teorii Galois do analizy i rozwiązywania wielomianów jest następujące: biorąc pod uwagę współczynniki wielomianu, które są funkcjami symetrycznymi w korzeniach, czy można „złamać symetrię” i odzyskać korzenie? Zatem rozwiązanie wielomianu stopnia n związane jest ze sposobami przestawiania (" permutacji ") n wyrazów, co nazywamy grupą symetryczną na n literach i oznaczamy S n . W przypadku wielomianu kwadratowego jedynym sposobem na przestawienie dwóch wyrazów jest ich zamiana („ transpozycja ”), a zatem rozwiązanie wielomianu kwadratowego jest proste.

Aby znaleźć pierwiastki α i β , rozważ ich sumę i różnicę:

Są to tak zwane rezolwenty Lagrange'a wielomianu; zauważ, że jeden z nich zależy od kolejności pierwiastków, co jest kluczowym punktem. Można odzyskać pierwiastki z rezolwentów odwracając powyższe równania:

Zatem rozwiązywanie rezolwentów daje pierwotne korzenie.

Teraz r 1 = α + β jest funkcją symetryczną w α i β , więc może być wyrażona jako p i q , aw rzeczywistości r 1 = − p jak wspomniano powyżej. Ale r 2 = αβ nie jest symetryczne, ponieważ zamiana α i β daje r 2 = βα (formalnie nazywa się to działaniem grupowym symetrycznej grupy pierwiastków). Ponieważ r 2 nie jest symetryczne, nie można go wyrazić za pomocą współczynników p i q , ponieważ są one symetryczne w pierwiastkach, a zatem jest nim każde wyrażenie wielomianowe z nimi związane. Zmiana kolejności pierwiastków zmienia tylko r 2 o czynnik -1, a zatem kwadrat r 2 2 = ( αβ ) 2 jest symetryczny w pierwiastkach, a zatem wyrażalny w kategoriach p i q . Korzystanie z równania

plony

a zatem

Jeśli weźmiemy pierwiastek dodatni, łamiąc symetrię, otrzymamy:

a zatem

Tak więc korzenie są

który jest wzorem kwadratowym. Podstawiając p =b/a, q =C/adaje zwykłą formę, gdy kwadrat nie jest moniczny. Rezolwenty można rozpoznać jakor 1/2 = p/2 = b/2będący wierzchołkiem, a r 2 2 = p 2 − 4 q jest wyróżnikiem (wielomianu monicznego).

Podobna, ale bardziej skomplikowana metoda działa dla równań sześciennych , gdzie mamy trzy rezolwenty i równanie kwadratowe ("wielomian rozdzielczy") dotyczące r 2 i r 3 , które można rozwiązać równaniem kwadratowym, i podobnie dla równania kwarcowego ( stopień 4), którego wielomianem jest sześcienny, który z kolei można rozwiązać. Ta sama metoda dla równania kwintyki daje wielomian stopnia 24, który nie upraszcza problemu, a w rzeczywistości rozwiązań równań kwintyki w ogóle nie można wyrazić za pomocą samych pierwiastków.

Rozwój historyczny

Najwcześniejsze metody rozwiązywania równań kwadratowych były geometryczne. Babilońskie tabliczki z pismem klinowym zawierają problemy sprowadzalne do rozwiązywania równań kwadratowych. Egipski papirus berliński , datowany na Państwo Środka (2050 p.n.e. do 1650 p.n.e.), zawiera rozwiązanie dwuczłonowego równania kwadratowego.

Grecki matematyk Euklides (około 300 pne) zastosował metody geometryczne do rozwiązywania równań kwadratowych w księdze 2 swoich Elementów , wpływowego traktatu matematycznego. Reguły równań kwadratowych pojawiają się w chińskich „Dziewięciu rozdziałach o sztuce matematycznej” około 200 roku p.n.e. W swojej pracy Arithmetica grecki matematyk Diophantus (około 250 rne) rozwiązał równania kwadratowe metodą bardziej rozpoznawalną algebraiczną niż geometryczna algebra Euklidesa. Jego rozwiązanie daje tylko jeden korzeń, nawet jeśli oba są dodatnie.

Indyjski matematyk Brahmagupta (597–668 ne) wyraźnie opisał kwadratową formułę w swoim traktacie Brāhmasphuṭasiddhānta opublikowanym w 628 r., ale napisanym słowami zamiast symboli. Jego rozwiązanie równania kwadratowego ax 2 + bx = c było następujące: „Do liczby bezwzględnej pomnożonej przez czterokrotność [współczynnika] kwadratu dodać kwadrat [współczynnika] środkowego członu; pierwiastek kwadratowy z to samo, pomniejszone o [współczynnik] środkowego składnika, podzielone przez dwukrotność [współczynnika] kwadrat jest wartością." Odpowiada to:

Śridharacaryya (870-930 ne), indyjski matematyk, również wymyślił podobny algorytm rozwiązywania równań kwadratowych, chociaż nic nie wskazuje na to, aby brał pod uwagę oba pierwiastki. IX-wieczny matematyk perski Muhammad ibn Mūsā al-Chwārizmī rozwiązywał równania kwadratowe algebraicznie. Formuła kwadratowa obejmująca wszystkie przypadki została po raz pierwszy uzyskana przez Simona Stevina w 1594 r. W 1637 r. René Descartes opublikował La Géométrie, zawierającą szczególne przypadki formuły kwadratowej w postaci, którą znamy dzisiaj.

Znaczące zastosowania

Znaczenie geometryczne

Wykres y = ax 2 + bx + c , gdzie a i dyskryminator b 2 − 4 ac są dodatnie, z
  • Korzenie i y – przecięcie na czerwono
  • Wierzchołek i oś symetrii na niebiesko
  • Fokus i kierownica w kolorze różowym

Z punktu widzenia geometrii współrzędnych parabola to krzywa, której współrzędne ( x , y ) opisane są wielomianem drugiego stopnia, czyli dowolnym równaniem postaci:

gdzie p oznacza wielomianu stopnia 2 i w 0 , 1 , i 2 ≠ 0 są stałymi współczynnikami których dolne odpowiada stopniowi ich odpowiedniego określenia tych. Interpretacja geometryczna wzoru kwadratowego polega na tym, że definiuje on punkty na osi x, w których parabola przetnie oś. Dodatkowo, gdyby wzór kwadratowy był rozpatrywany jako dwa wyrazy,

oś symetrii pojawia się jako linia x = -b/2. Drugi termin,b 2 − 4 ac/2, podaje odległość, o jaką zera są oddalone od osi symetrii, gdzie znak plus reprezentuje odległość do prawej, a znak minus reprezentuje odległość do lewej.

Gdyby ten składnik odległości miał się zmniejszyć do zera, wartość osi symetrii byłaby wartością x jedynego zera, czyli istnieje tylko jedno możliwe rozwiązanie równania kwadratowego. Algebraicznie oznacza to, że b 2 − 4 ac = 0 , lub po prostu b 2 − 4 ac = 0 (gdzie lewa strona nazywana jest dyskryminatorem ). Jest to jeden z trzech przypadków, w których wyróżnik wskazuje, ile zer będzie miała parabola. Jeśli dyskryminator jest dodatni, odległość będzie niezerowa i będą dwa rozwiązania. Jednak istnieje również przypadek, w którym dyskryminator jest mniejszy od zera, co oznacza, że ​​odległość będzie urojona  – lub pewna wielokrotność jednostki zespolonej i , gdzie i = −1  – a zera paraboli będą liczbami zespolonymi . Złożone korzenie będą złożonymi koniugatami , gdzie rzeczywista część złożonych korzeni będzie wartością osi symetrii. Nie będzie żadnych prawdziwych wartości x , gdzie parabola przecina x -działający.

Analiza wymiarowa

W przypadku stałych a , b i / lub c nie są bezwymiarowe , wówczas jednostki x może być równe jednostkachb/a, ze względu na wymóg, aby ax 2 i bx uzgadniały swoje jednostki. Ponadto, zgodnie z tą samą logiką, jednostki c muszą być równe jednostkomb 2/a, które można zweryfikować bez rozwiązywania dla x . Może to być potężnym narzędziem do weryfikacji, czy kwadratowe wyrażenie wielkości fizycznych zostało prawidłowo skonfigurowane przed rozwiązaniem tego problemu.

Zobacz też

Bibliografia