Grupa Schutzenberger - Schutzenberger group

W algebrze abstrakcyjnej , w teorii półgrup , grupa Schutzenbergera to pewna grupa związana z zieloną klasą H półgrupy . Grupy Schutzenbergera związane z różnymi klasami H. są różne. Jednak grupy skojarzone z dwiema różnymi klasami H, zawartymi w tej samej klasie D półgrupy, są izomorficzne . Ponadto, jeżeli H -class sama była grupa grupa Schutzenberger z H -class będzie izomorficzne do H -class. W rzeczywistości istnieją dwie grupy Schutzenbergera związane z daną klasą H i każda jest antyizomorficzna w stosunku do drugiej.

Grupa Schutzenbergera została odkryta przez Marcela-Paula Schützenbergera w 1957 roku, a terminologia została wymyślona przez AH Clifforda .

Grupa Schutzenbergera

Niech S będzie półgrupą i niech S 1 będzie półgrupą uzyskaną przez połączenie elementu tożsamości 1 z S (jeśli S ma już element tożsamości, to S 1 = S ). Związek Greena H w S jest zdefiniowany następująco: Jeśli a i b są w S, to

a H b ⇔ są u , v , x , y w S 1 takie, że ua = ax = b i vb = by = a .

Dla a w S , zbiór wszystkich b w S taki, że a H b jest zieloną klasą H S zawierającą a , oznaczoną przez H a .

Niech H być H -class z półgrupa S . Niech T ( H ) będzie zbiorem wszystkich elementów t w S 1 takim, że Ht jest podzbiorem samego H. Każdy T w T ( H ) wyznacza przemianę, oznaczony y , T , Z H przez mapowanie h w H z HT w H . Zbiór wszystkich tych przekształceń H , oznaczony jako Γ ( H ), jest grupą złożoną z odwzorowań (przyjmujących funkcje jako właściwe operatory). Grupa Γ ( H ) jest grupa Schutzenberger wiąże się z H -class H .

Przykłady

Jeśli H jest maksymalną podgrupą monoidu M (półgrupa z tożsamością), to H jest klasą H i jest naturalnie izomorficzna ze swoją własną grupą Schutzenbergera.

Na ogół trzeba, że liczność z H i jego grupą pokrywają Schutzenberger dla każdej klasy H- H .

Aplikacje

Wiadomo, że monoid o skończonej liczbie lewych i prawych ideałów jest prezentowany w sposób skończony (lub po prostu generowany w sposób skończony ) wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego grupy Schutzenbergera są skończenie przedstawione (odpowiednio skończone wygenerowane). Podobnie taki monoid jest rezydualnie skończony wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego grupy Schutzenbergera są rezydualnie skończone.

Bibliografia

  1. ^ "The Schützenberger Group of an H-class in the Semigroup of Binary Relations by Robert L. Brandon, Darel W. Hardy, George Markowsky, Missouri University of Science and Technology, 1972-12-01" .
  2. ^ Marcel-Paul Schützenberger (1957). „D-reprezentacja demi-grup”. CR Acad. Sci. Paryż . 244 : 1994–1996. (MR 19, 249)
  3. ^ Clifford, Alfred Hoblitzelle ; Preston, Gordon Bamford (1961). Algebraiczna teoria półgrup. Vol. Ja . Mathematical Surveys, No. 7. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN   978-0-8218-0272-4 . MR   0132791 . (s. 63–66)
  4. ^ Wilf Herbert; et al. (29 sierpnia 1996). „Marcel-Paul Schützenberger (1920–1996)” . The Electronic Journal of Combinatorics . Źródło 2015-12-30 .