Grupa Schrödinger - Schrödinger group

Grupa Schrödingera jest grupą symetrii równania Schrödingera dla swobodnych cząstek . Matematycznie grupa SL (2, R) działa na grupę Heisenberga poprzez automorfizmy zewnętrzne, a grupa Schrödingera jest odpowiadającym jej iloczynem półpośrednim.

Algebra Schrödingera

Algebra Schrödingera jest algebrą Lie grupy Schrödingera. To nie jest pół-proste . W jednym wymiarze przestrzennym można go otrzymać jako półprostą sumę algebry Lie sl (2, R) i algebry Heisenberga ; podobne konstrukcje dotyczą wyższych wymiarów przestrzennych.

Zawiera algebrę Galileusza z centralnym rozszerzeniem.

${\ Displaystyle [J_ {a}, J_ {b}] = ja \ epsilon _ {abc} J_ {c} \ \ \!}$

${\ Displaystyle [J_ {a}, P_ {b}] = ja \ epsilon _ {abc} P_ {c} \ \ \!}$

${\ Displaystyle [J_ {a}, K_ {b}] = ja \ epsilon _ {abc} K_ {c}, \, \!}$

${\ displaystyle [P_ {a}, P_ {b}] = 0, [K_ {a}, K_ {b}] = 0, [K_ {a}, P_ {b}] = ja \ delta _ {ab} M, \, \!}$

${\ Displaystyle [H, J_ {a}] = 0, [H, P_ {a}] = 0, [H, K_ {a}] = iP_ {a}. \, \!}$

Gdzie są generatory obrotów ( operator pędu ), translacje przestrzenne ( operator pędu ), wzmocnienia Galileusza i przesunięcie czasu ( Hamiltonian ) odpowiednio (Uwagi: jest jednostką urojoną,. Specyficzną postacią komutatorów generatorów obrotu jest ta przestrzeni trójwymiarowej ). Centralne przedłużenie M ma interpretacji jako nierelatywistyczną masy i odpowiada symetrii równania Schrödingera pod przemiany fazowej (i dla ochrony prawdopodobieństwa). ${\ displaystyle J_ {a}, P_ {a}, K_ {a}, H}$${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle i ^ {2} = - 1}$${\ displaystyle J_ {a}}$${\ Displaystyle a, b, c = 1, \ ldots, 3}$

Istnieją jeszcze dwa generatory które oznaczymy przez D i C . Mają następujące relacje komutacyjne:

${\ Displaystyle [H, C] = iD, [do, D] = - 2iC, [H, D] = 2iH, \, \!}$

${\ displaystyle [P_ {a}, D] = iP_ {a}, [K_ {i}, D] = - iK_ {a}, \, \!}$

${\ Displaystyle [P_ {a}, C] = - iK_ {a}, [K_ {a}, C] = 0, \, \!}$

${\ Displaystyle [J_ {a}, C] = [J_ {a}, D] = 0. \, \!}$

Generatory H , C i D tworzą algebrę sl (2, R).

Bardziej systematyczna notacja pozwala rzucić te generatory na cztery (nieskończone) rodziny i , gdzie n ∈ ℤ jest liczbą całkowitą, a m ∈ ℤ + 1/2 jest liczbą całkowitą i j, k = 1, ..., d oznacz kierunku przestrzennego, w d wymiarach przestrzennych. Nieznikające komutatory algebry Schrödingera stają się (forma euklidesowa) ${\ Displaystyle X_ {n}, Y_ {m} ^ {(j)}, M_ {n}}$${\ Displaystyle R_ {n} ^ {(jk)} = - R_ {n} ^ {(kj)}}$

${\ Displaystyle [X_ {n}, X_ {n '}] = (n-n') X_ {n + n '}}$

${\ Displaystyle [X_ {n}, Y_ {m} ^ {(j)}] = \ lewo ({n \ ponad 2} -m \ prawo) Y_ {n + m} ^ {(j)}}$

${\ Displaystyle [X_ {n}, M_ {n '}] = - n'M_ {n + n'}}$

${\ Displaystyle [X_ {n}, R_ {n '} ^ {(jk)}] = - n'R_ {n'} ^ {(jk)}}$

${\ Displaystyle [Y_ {m} ^ {(j)}, Y_ {m '} ^ {(k)}] = \ delta _ {j, k} (m-m') M_ {m + m '}}$

${\ Displaystyle [R_ {n} ^ {(ij)}, Y_ {m} ^ {(k)}] = \ delta _ {i, k} Y_ {n + m} ^ {(j)} - \ delta _ {j, k} Y_ {n + m} ^ {(i)}}$

${\ Displaystyle [R_ {n} ^ {(ij)}, R_ {n '} ^ {(kl)}] = \ delta _ {ja, k} R_ {n + n'} ^ {(jl)} + \ delta _ {j, l} R_ {n + n '} ^ {(ik)} - \ delta _ {i, l} R_ {n + n'} ^ {(jk)} - \ delta _ {j, k} R_ {n + n '} ^ {(il)}}$

Schrödinger algebra jest skończenie wymiarowa i zawiera generatory . W szczególności trzy generatory obejmują subalgebrę sl (2, R). Przestrzenne translacje są generowane przez, a transformacje Galileusza przez . ${\ Displaystyle X _ {- 1,0,1}, Y _ {- 1 / 2,1 / 2} ^ {(j)}, M_ {0}, R_ {0} ^ {(jk)}}$${\ Displaystyle X _ {- 1} = H, X_ {0} = D, X_ {1} = C}$${\ Displaystyle Y _ {- 1/2} ^ {(j)}}$${\ Displaystyle Y_ {1/2} ^ {(j)}}$

W wybranym zapisie wyraźnie widać, że istnieje nieskończenie-wymiarowe rozszerzenie, które nazywa się algebrą Schrödingera-Virasoro . Następnie generatory z n liczbami całkowitymi obejmują pętlę-algebrę Virasoro. Wyraźne przedstawienie jak transformacji czasowo-przestrzennych podaje się z n ∈ ℤ i m ∈ ℤ + 1/2${\ displaystyle X_ {n}}$

${\ Displaystyle X_ {n} = - t ^ {n + 1} \ częściowe _ {t} - {n + 1 \ ponad 2} t ^ {n} {\ vec {r}} \ cdot \ częściowe _ {\ vec {r}} - {n (n + 1) \ ponad 4} {\ cal {M}} t ^ {n-1} {\ vec {r}} \ cdot {\ vec {r}} - {x \ ponad 2} (n + 1) t ^ {n}}$

${\ Displaystyle Y_ {m} ^ {(j)} = - t ^ {m + 1/2} \ częściowe _ {r_ {j}} - \ lewo (m + {1 \ ponad 2} \ prawej) {\ cal {M}} t ^ {m-1/2} r_ {j}}$

${\ Displaystyle M_ {n} = - t ^ {n} {\ cal {M}}}$

${\ Displaystyle R_ {n} ^ {(jk)} = - t ^ {n} \ lewo (r_ {j} \ częściowe _ {r_ {k}} - r_ {k} \ częściowe _ {r_ {j}} \dobrze)}$

To pokazuje, jak centralne rozszerzenie nie-półprostej i skończono-wymiarowej algebry Schrödingera staje się składową nieskończonej rodziny w algebrze Schrödingera-Virasoro. Ponadto, analogicznie do algebry Virasoro lub algebry Kaca-Moody'ego , możliwe są dalsze centralne rozszerzenia. Jednak nieznikający wynik istnieje tylko dla komutatora , gdzie musi mieć znaną formę Virasoro, a mianowicie ${\ displaystyle M_ {0}}$${\ displaystyle [X_ {n}, X_ {n '}]}$

${\ Displaystyle [X_ {n}, X_ {n '}] = (n-n') X_ {n + n '} + {c \ ponad 12} (n ^ {3} -n) \ delta _ {n + n ', 0}}$

lub dla komutatora między obrotami , gdzie musi mieć postać Kaca-Moody'ego. Każde inne możliwe rozszerzenie centralne może zostać zaabsorbowane przez generatory algebry Liego. ${\ Displaystyle R_ {n} ^ {(jk)}}$

Rola grupy Schrödingera w fizyce matematycznej

Chociaż grupa Schrödingera jest zdefiniowana jako grupa symetrii równania Schrödingera dla swobodnych cząstek , jest realizowana w niektórych oddziałujących układach nierelatywistycznych (na przykład zimne atomy w stanie krytycznym).

Grupa Schroedingera d wymiarów przestrzennych mogą być wbudowane w relatywistycznej grupy konforemnej z d + 1 wymiarach SO (2, d + 2) . To osadzanie jest związane z faktem, że można otrzymać równanie Schrödingera z bezmasowego równania Kleina – Gordona poprzez zwartość Kaluzy – Kleina wzdłuż zerowych wymiarów i wznios Bargmanna teorii Newtona – Cartana . Osadzanie to może być uważane za przedłużenie Algebra Schrödingera maksymalnymi parabolicznego sub-Algebra o SO (2, d + 2) .

Symetria grupy Schrödingera może dać początek egzotycznym właściwościom oddziałujących systemów bozonowych i fermionowych, takich jak nadcieki w bozonach oraz ciecze Fermiego i inne ciecze w fermionach. Mają zastosowanie w materii skondensowanej i zimnych atomach.

Grupa Schrödingera pojawia się również jako symetria dynamiczna w zastosowaniach materii skondensowanej: jest to dynamiczna symetria modelu Edwardsa-Wilkinsona kinetycznego wzrostu rozdziału faz. Opisuje również kinetykę uporządkowania faz, po wygaszeniu temperaturowym od fazy nieuporządkowanej do uporządkowanej, w układach magnetycznych.

Bibliografia

• CR Hagen, „Scale and Conformal Transformations in Galilean-Covariant Field Theory”, Phys. Rev. D5 , 377–388 (1972)
• U. Niederer, "Maksymalna grupa kinematycznej niezmienniczości swobodnego równania Schroedingera", Helv. Fiz. Acta 45 , 802 (1972)
• G. Burdet, M. Perrin, P. Sorba, „O nierelatywistycznej strukturze algebry konformalnej”, Comm. Matematyka. Fiz. 34 , 85 (1973)
• M. Henkel, "Niezmienniczość Schrödingera i silnie anizotropowe systemy krytyczne", J. Stat. Fiz. 75 , 1023 (1994)
• M. Henkel, J. Unterberger, "Niezmienniczość Schrödingera i symetrie czasoprzestrzenne", Nucl. Fiz. B660 , 407 (2003)
• A. Röthlein, F. Baumann, M. Pleimling, "Symetryczne określanie funkcji czasoprzestrzennych w nierównowagowych procesach wzrostu", Phys. Wersja E74 , 061604 (2006) - erratum E76 , 019901 (2007)
• DT Son, „Towards an AdS / Cold Atoms Matchence: A Geometric Realizacja symetrii Schrödingera”, Phys. Wersja D78 , 046003 (2008)
• A. Bagchi, R. Gopakumar, „Galilean Conformal Algebras and AdS / CFT”, JHEP 0907: 037 (2009)
• M. Henkel, M. Pleimling, Non-equilibrium phase transitions, vol 2: aging and dynamical scaling far from equilibrium , (Springer, Heidelberg 2010)
• J. Unterberger, C. Roger, Algebra Schrödingera-Virasoro (Springer, Heidelberg 2012)

Zobacz też

• Równanie Schrödingera
• Transformacja Galileusza
• Grupa Poincaré