Zredukowana homologia - Reduced homology

W matematyce , zmniejszyć homologię jest modyfikacją drobne się do teorii homologii w algebraicznej topologii , przeznaczony do punktu mają wszystkie swoje grupy homologii zero. Ta zmiana jest potrzebna, aby wypowiadać się bez kilku wyjątkowych przypadków ( przykładem jest dwoistość Aleksandra ).

Jeśli P jest przestrzenią jednopunktową, to przy zwykłych definicjach integralną grupę homologii

H ₀ ( P )

jest izomorficzna do ( nieskończonej grupy cyklicznej ), podczas gdy dla i ≥ 1 mamy ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

H _i ( P ) = {0}.

Bardziej ogólnie, jeśli X jest symplicjalnego kompleks lub ograniczony CW-kompleks , to grupa H ₀ ( X ) jest wolna grupa przemienna z połączonych składników z X jako generatory. Zredukowana homologia powinna zastąpić tę grupę, powiedzmy o randze r , jedną o randze r - 1. W przeciwnym razie grupy homologii powinny pozostać niezmienione. Doraźny sposób, aby to zrobić, to pomyśleć klasy 0-th homologii nie jako formalną sumę połączonych elementów, ale jako takiej formalnej sumy gdzie współczynniki sumują się do zera.

W zwykłej definicji homologii przestrzeni X rozważamy kompleks łańcuchowy

${\ displaystyle \ dotsb {\ overset {\ częściowy _ {n + 1}} {\ longrightarrow \,}} C_ {n} {\ overset {\ częściowy _ {n}} {\ longrightarrow \,}} C_ {n -1} {\ overset {\ Part _ {n-1}} {\ longrightarrow \,}} \ dotsb {\ overset {\ Part _ {2}} {\ longrightarrow \,}} C_ {1} {\ overset {\ części _ {1}} {\ longrightarrow \,}} C_ {0} {\ overset {\ części _ {0}} {\ longrightarrow \,}} 0}$

i zdefiniuj grupy homologii według . ${\ Displaystyle H_ {n} (X) = \ ker (\ częściowe _ {n}) / \ mathrm {im} (\ częściowe _ {n + 1})}$

Aby zdefiniować zredukowaną homologię, zaczynamy od kompleksu rozszerzonych łańcuchów

${\ displaystyle \ dotsb {\ overset {\ częściowy _ {n + 1}} {\ longrightarrow \,}} C_ {n} {\ overset {\ częściowy _ {n}} {\ longrightarrow \,}} C_ {n -1} {\ overset {\ Partial _ {n-1}} {\ longrightarrow \,}} \ dotsb {\ overset {\ Part _ {2}} {\ longrightarrow \,}} C_ {1} {\ overset {\ części _ {1}} {\ longrightarrow \,}} C_ {0} {\ overset {\ epsilon} {\ longrightarrow \,}} \ mathbb {Z} \ to 0}$

gdzie . Teraz definiujemy zredukowane grupy homologii przez ${\ Displaystyle \ epsilon \ lewo (\ suma _ {i} n_ {i} \ sigma _ {i} \ prawo) = \ suma _ {i} n_ {i}}$

${\ Displaystyle {\ tilde {H_ {n}}} (X) = \ ker (\ częściowe _ {n}) / \ mathrm {im} (\ częściowe _ {n + 1})}$dla pozytywnych n i .${\ Displaystyle {\ tilde {H}} _ {0} (X) = \ ker (\ epsilon) / \ mathrm {im} (\ częściowe _ {1})}$

Można to pokazać ; ewidentnie dla wszystkich pozytywnych n . ${\ Displaystyle H_ {0} (X) = {\ tilde {H}} _ {0} (X) \ oplus \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle H_ {n} (X) = {\ tylda {H}} _ {n} (X)}$

Uzbrojeni w ten zmodyfikowany kompleks, można zastosować standardowe sposoby uzyskiwania homologii ze współczynnikami przez zastosowanie iloczynu tensorowego lub zredukowanych grup kohomologicznych z kompleksu cochain utworzonego przy użyciu funktora Hom .

Bibliografia

• Hatcher, A. , (2002) Algebraic Topology Cambridge University Press, ISBN  0-521-79540-0 . Szczegółowe omówienie teorii homologii dla uproszczonych kompleksów i rozmaitości, homologii pojedynczej itp.