Pole quasi-algebraicznie zamknięte - Quasi-algebraically closed field

W matematyce , A pole F jest nazywany quasi algebraicznie zamknięta (lub C 1 ), jeżeli co nie stały jednorodny wielomian P przez F ma nietrywialnym zera pod warunkiem, że jego ilość jest bardziej zmienne niż stopniu. Idea pól quasi-algebraicznie zamkniętych została zbadana przez CC Tsen , ucznia Emmy Noether , w artykule z 1936 roku ( Tsen 1936 ); a później przez Serge'a Langa w jego pracy doktorskiej z 1951 roku na Uniwersytecie Princeton oraz w artykule z 1952 roku ( Lang 1952 ). Sam pomysł przypisuje się doradcy Langa, Emilowi ​​Artinowi .

Formalnie, jeśli P jest niestałym jednorodnym wielomianem zmiennych

X 1 , ..., X N ,

i stopnia d satysfakcjonującego

d < N

wtedy ma nietrywialne zero nad F ; to znaczy dla niektórych x i w F , nie dla wszystkich 0, mamy

P ( x 1 , ..., x N ) = 0.

W języku geometrycznych stosuje hiperpowierzchni określa P w przestrzeni rzutowej stopnia N - 2, to jest punkt, w stosunku F .

Przykłady

Nieruchomości

  • Każde algebraiczne rozszerzenie quasi-algebraicznie zamkniętego pola jest quasi-algebraicznie zamknięte.
  • Grupa Brauera skończonego rozciągnięcia quasi-algebraicznie zamkniętego pola jest trywialna.
  • Ciało quasi-algebraicznie zamknięte ma wymiar kohomologiczny co najwyżej 1.

Pola C k

Pola quasi-algebraicznie zamknięte są również nazywane C 1 . C k pola , a bardziej ogólnie, jest jednym z których każdy jednorodny wielomianem stopnia D w N zmiennych ma nietrywialne zera, o ile

d k < N ,

dla k ≥ 1. Warunek został po raz pierwszy wprowadzony i zbadany przez Langa. Jeśli pole ma wartość C i, to tak samo jest z skończonym rozszerzeniem. Pola C 0 są dokładnie algebraicznie zamkniętymi ciałami.

Lang i Nagata udowodnili, że jeśli pole jest C k , to każde rozszerzenie stopnia transcendencji n wynosi C k + n . Najmniejsza K tak, że K jest C k pola ( jeśli jego braku) jest zwany wymiar diofantycznego dd ( K ) o K .

C 1 pola

Każde pole skończone to C 1 .

C 2 pola

Nieruchomości

Załóżmy, że pole k to C 2 .

  • Każde pole skośne D skończone ponad k jako środek ma tę właściwość, że norma zredukowana D ∗ → k ∗ jest suriektywna.
  • Każda forma kwadratowa w 5 lub więcej zmiennych powyżej k jest izotropowa .

Przypuszczenie Artina

Artin Przypuszcza się, że p pola -adic były C 2 , ale Guy Terjanian znaleziono p -adic kontrprzykładów dla wszystkich p . Twierdzenie Axa – Kochena zastosowało metody z teorii modeli, aby pokazać, że hipoteza Artina była prawdziwa dla Q p przy dostatecznie dużym p (w zależności od d ).

Słabe pola C k

Pole K jest słabo C k , d, jeśli dla każdego jednorodnego wielomianu stopnia d w N zmiennych spełniających

d k < N

Zariski zamknięty zestaw V ( f ) z P n ( K ) zawiera subvariety który Zariski zamknięte przez K .

Pole, które jest słabo C k , d dla każdego d jest słabo C k .

Nieruchomości

  • Pole AC k jest słabo C k .
  • Idealny PAC słabo C k pole jest C k .
  • Pole K jest słabo C K , d , wtedy i tylko wtedy, gdy każda forma spełniającą warunki ma temperaturę x określony przez pole, które jest podstawowym przedłużenie od K .
  • Jeśli pole jest słabo C k , to każde rozszerzenie stopnia transcendencji n jest słabo C k + n .
  • Każde rozszerzenie algebraicznie zamkniętego pola jest słabo C 1 .
  • Każde pole z procykliczną absolutną grupą Galois ma słabe C 1 .
  • Każde pole o pozytywnej charakterystyce jest słabo C 2 .
  • Jeśli pole liczb wymiernych i pola funkcyjne mają słabe C 1 , to każde pole ma słabe C 1 .

Zobacz też

Cytaty

Bibliografia