Funkcja rozsiewu punktowego - Point spread function

Tworzenie obrazu w mikroskopie konfokalnym : środkowy przekrój podłużny (XZ). Uzyskany rozkład 3D wynika ze splotu rzeczywistych źródeł światła z PSF.
Źródło punktowe jak obrazowany za pomocą układu z ujemnym (na górze), zerowe (w środku) i dodatnie (na dole) Aberracja sferyczna . Obrazy po lewej stronie są rozmyte w kierunku do wewnątrz, obrazy po prawej stronie na zewnątrz.

Funkcja rozprzestrzeniania punktów ( PSF ) opisuje reakcję systemu obrazowania na źródło punktowe lub obiekt punktowy. Bardziej ogólnym określeniem PSF jest odpowiedź impulsowa systemu , przy czym PSF jest odpowiedzią impulsową skupionego układu optycznego. PSF w wielu kontekstach można traktować jako rozszerzoną plamkę na obrazie, która reprezentuje pojedynczy punkt. Pod względem funkcjonalnym jest to przestrzenna wersja funkcji przenoszenia optycznego systemu obrazowania . Jest to użyteczne koncepcja optyki Fouriera , astronomiczny obrazowania , obrazowania medycznego , mikroskopii elektronowej i innych technik obrazowania, takich jak 3D mikroskopii (jak w konfokalnej laserowej mikroskopii skaningowej ) oraz fluorescencyjnym mikroskopem .

Miarą jakości systemu obrazowania jest stopień rozmycia (rozmycia) obiektu punktowego. W niekoherentnych systemach obrazowania, takich jak mikroskopy fluorescencyjne , teleskopy lub mikroskopy optyczne, proces tworzenia obrazu jest liniowy w intensywności obrazu i opisany przez liniową teorię systemu . Oznacza to, że gdy dwa obiekty A i B są obrazowane jednocześnie, wynikowy obraz jest równy sumie niezależnie obrazowanych obiektów. Innymi słowy: obrazowanie A nie ma wpływu na obrazowanie B i odwrotnie , ze względu na nieoddziaływanie właściwości fotonów. W systemie przestrzenno-niezmienniczym, tj. PSF jest taki sam wszędzie w przestrzeni obrazowania, obraz złożonego obiektu jest wtedy splotem prawdziwego obiektu i PSF.

Wstęp

Ze względu na właściwość liniowości optycznych niekoherentnych systemów obrazowania, tj.

Obraz ( Obiekt 1 + Obiekt 2 ) = Obraz ( Obiekt 1 ) + Obraz ( Obiekt 2 )

obraz obiektu w mikroskopie lub teleskopie można obliczyć, wyrażając pole płaszczyzny obiektu jako sumę ważoną nad funkcjami impulsowymi 2D, a następnie wyrażając pole płaszczyzny obrazu jako sumę ważoną nad obrazami tych funkcji impulsowych. Jest to znane jako zasada superpozycji , obowiązująca w systemach liniowych . Obrazy poszczególnych funkcji impulsowych płaszczyzny obiektowej nazywane są funkcjami rozproszenia punktu, odzwierciedlającymi fakt, że matematyczny punkt świetlny na płaszczyźnie obiektu jest rozłożony , tworząc skończony obszar na płaszczyźnie obrazu (w niektórych działach matematyki i fizyki, można je nazwać funkcjami Greena lub funkcjami odpowiedzi impulsowej ).

Zastosowanie PSF: Dekonwolucja matematycznie modelowanego PSF i obrazu o niskiej rozdzielczości poprawia rozdzielczość.

Gdy obiekt jest podzielony na dyskretne obiekty punktowe o różnej intensywności, obraz jest obliczany jako suma PSF każdego punktu. Ponieważ PSF jest zazwyczaj określany całkowicie przez system obrazowania (tj. mikroskop lub teleskop), cały obraz można opisać znając właściwości optyczne systemu. Ten proces obrazowania jest zwykle formułowany przez równanie splotu . W przetwarzaniu obrazu mikroskopowego i astronomii znajomość PSF urządzenia pomiarowego jest bardzo ważna dla odtworzenia (oryginalnego) obiektu z dekonwolucją . W przypadku wiązek laserowych PSF można modelować matematycznie przy użyciu koncepcji wiązek Gaussa . Na przykład dekonwolucja modelowanego matematycznie PSF i obrazu poprawia widoczność cech i usuwa szum obrazowania.

Teoria

Funkcja rozsunięcia punktu może być niezależna od położenia na płaszczyźnie obiektu, w takim przypadku nazywana jest niezmiennikiem przesunięcia . Ponadto, jeśli w układzie nie ma zniekształceń, współrzędne płaszczyzny obrazu są liniowo powiązane ze współrzędnymi płaszczyzny obiektu poprzez powiększenie M jako:

.

Jeśli system obrazowania wytwarza obraz odwrócony, możemy po prostu uznać, że osie współrzędnych płaszczyzny obrazu są odwrócone od osi płaszczyzny obiektu. Przy tych dwóch założeniach, tj., że PSF jest niezmiennikiem przesunięcia i że nie ma zniekształceń, obliczenie całki splotu płaszczyzny obrazu jest prostym procesem.

Matematycznie możemy przedstawić pole płaszczyzny obiektu jako:

tj. jako sumę ważonych funkcji impulsowych, chociaż tak naprawdę jest to również po prostu określenie właściwości przesiewania funkcji delta 2D (omówione poniżej). Przepisanie funkcji transmitancji obiektu w powyższym formularzu pozwala nam obliczyć pole płaszczyzny obrazu jako superpozycję obrazów każdej z poszczególnych funkcji impulsowych, tj. jako superpozycję nad ważonymi funkcjami rozrzutu punktowego w płaszczyźnie obrazu przy użyciu tej samej funkcji wagowej jak na płaszczyźnie obiektu, czyli . Matematycznie obraz jest wyrażony jako:

w którym jest obraz funkcji impulsu δ( x o  −  u , y o  −  v ).

Funkcję impulsu 2D można uznać za granicę (gdy wymiar boczny w dąży do zera) funkcji „słupka kwadratowego”, pokazanego na poniższym rysunku.

Funkcja słupka kwadratowego

Wyobrażamy sobie płaszczyznę obiektu jako rozłożoną na kwadratowe obszary, takie jak ten, z których każdy ma swoją własną powiązaną kwadratową funkcję postu. Jeżeli wysokość h słupka jest utrzymywana na poziomie 1/w 2 , to gdy wymiar boczny w dąży do zera, wysokość h dąży do nieskończoności w taki sposób, że objętość (całka) pozostaje stała na poziomie 1. Daje to impulsowi 2D właściwość przesiewania (która jest implikowana w powyższym równaniu), która mówi, że gdy funkcja impulsu 2D, δ( x  −  u , y  −  v ), jest całkowana względem dowolnej innej funkcji ciągłej, f ( u , v ) , "odsiewa" wartość f w miejscu impulsu, i . np . w punkcie ( x , y ) .

Koncepcja idealnego obiektu źródła punktowego jest centralna dla idei PSF. Jednak w naturze nie ma czegoś takiego jak doskonały matematyczny promiennik punktowy; koncepcja jest całkowicie niefizyczna i jest raczej konstrukcją matematyczną używaną do modelowania i zrozumienia systemów obrazowania optycznego. Użyteczność koncepcji źródła punktowego wynika z faktu, że źródło punktowe w płaszczyźnie obiektu 2D może promieniować jedynie falą kulistą o idealnej, jednolitej amplitudzie — falą o idealnie kulistych, biegnących na zewnątrz frontach fazowych o jednakowym natężeniu wszędzie na sferach ( patrz zasada Huygensa-Fresnela ). Takie źródło jednorodnych fal kulistych pokazano na poniższym rysunku. Zauważamy również, że idealny promiennik punktowy będzie emitować nie tylko jednolite widmo rozchodzących się fal płaskich, ale także jednolite widmo fal wykładniczo zanikających ( zanikających ) i to one są odpowiedzialne za rozdzielczość mniejszą niż jedna długość fali (patrz optyka Fouriera ). Wynika to z następującego wyrażenia transformaty Fouriera dla funkcji impulsu 2D,

Obcięcie fali sferycznej przez obiektyw

Soczewka kwadratowa przechwytuje część tej fali sferycznej i ponownie skupia ją na rozmytym punkcie na płaszczyźnie obrazu. W przypadku pojedynczej soczewki źródło punktowe na osi w płaszczyźnie obiektu tworzy dysk Airy PSF w płaszczyźnie obrazu. Można wykazać (patrz optyka Fouriera , zasada Huygensa-Fresnela , dyfrakcja Fraunhofera ), że pole promieniowane przez obiekt planarny (lub, przez wzajemność, pole zbieżne na obrazie płaskim) jest związane z odpowiednią płaszczyzną źródłową (lub obrazową) rozkład za pomocą relacji transformaty Fouriera (FT). Ponadto jednolite działanie na okrągłym obszarze (w jednej domenie FT) odpowiada funkcji Airy , J 1 ( x ) / x w drugiej domenie FT, w którym J 1 ( x ) jest pierwszego rzędu funkcji Bessela z pierwszy rodzaj. Oznacza to, że równomiernie oświetlona okrągła apertura, która przepuszcza zbieżną jednolitą falę sferyczną, daje obraz funkcji Airy'ego w płaszczyźnie ogniskowej. Wykres przykładowej funkcji 2D Airy jest pokazany na sąsiednim rysunku.

Przewiewna funkcja

Dlatego zbieżna ( częściowa ) fala sferyczna pokazana na powyższym rysunku wytwarza dysk Airy'ego w płaszczyźnie obrazu. Argument funkcji Airy'ego jest ważny, ponieważ determinuje skalowanie dysku Airy'ego (innymi słowy, jak duży jest dysk w płaszczyźnie obrazu). Jeżeli Θ max jest maksymalnym kątem, jaki tworzą zbieżne fale z osią soczewki, r jest promieniową odległością w płaszczyźnie obrazu, a liczba falowa k  = 2π/λ gdzie λ = długość fali, to argumentem funkcji Airy'ego jest: kr tan( Θ max ) . Jeśli Θ max jest małe (tylko niewielka część zbieżnej fali sferycznej jest dostępna do utworzenia obrazu), to odległość promieniowa r musi być bardzo duża, zanim całkowity argument funkcji Airy'ego oddali się od punktu centralnego. Innymi słowy, jeśli Θ max jest małe, dysk Airy'ego jest duży (co jest po prostu kolejnym stwierdzeniem zasady nieoznaczoności Heisenberga dla par transformaty Fouriera, a mianowicie, że mały zakres w jednej dziedzinie odpowiada w szerokim zakresie w drugiej dziedzinie, a oba są powiązane za pośrednictwem iloczynu przestrzeni i przepustowości ). Ze względu na to, wysokie powiększenie urządzenia, które zazwyczaj mają małe wartości Θ max (przy stanie sinusoidalnego Abbego ) może mieć więcej rozmazania w obrazie z uwagi na szerszym PSF. Wielkość PSF jest proporcjonalna do powiększenia , dzięki czemu rozmycie nie jest gorsze w sensie względnym, ale zdecydowanie gorsze w sensie absolutnym.

Powyższy rysunek ilustruje obcięcie padającej fali sferycznej przez soczewkę. Aby zmierzyć funkcję rozproszenia punktu — lub funkcję odpowiedzi impulsowej — soczewki, nie jest potrzebne doskonałe źródło punktowe, które emituje idealną falę sferyczną we wszystkich kierunkach przestrzeni. Dzieje się tak, ponieważ obiektyw ma tylko skończoną (kątową) szerokość pasma lub skończony kąt przecięcia. Dlatego też wszelkie pasmo kątowe zawarte w źródle, które wykracza poza kąt krawędzi soczewki (tj. leży poza pasmem systemu), jest zasadniczo zmarnowaną szerokością pasma źródła, ponieważ soczewka nie może jej przechwycić w celu jej przetworzenia. Dzięki temu do pomiaru idealnego rozrzutu punktowego nie jest wymagane idealne źródło punktowe. Wszystko, czego potrzebujemy, to źródło światła, które ma co najmniej taką samą szerokość pasma kątowego jak testowany obiektyw (i oczywiście jest jednolite w tym sektorze kątowym). Innymi słowy, potrzebujemy tylko źródła punktowego, które jest wytwarzane przez zbieżną (jednolitą) falę sferyczną, której kąt połowy jest większy niż kąt krawędzi soczewki.

Ze względu na wewnętrzną ograniczoną rozdzielczość systemów obrazowania, zmierzone PSF nie są wolne od niepewności. W obrazowaniu pożądane jest tłumienie bocznych listków wiązki obrazującej technikami apodyzacji . W przypadku systemów obrazowania transmisyjnego z rozkładem gaussowskim PSF modeluje się następującym równaniem:

gdzie współczynnik k zależy od współczynnika obcięcia i poziomu napromieniowania, NA to apertura numeryczna, c to prędkość światła, f to częstotliwość fotonów wiązki obrazującej, I r to natężenie wiązki odniesienia, a to korekta współczynnik i jest położeniem promieniowym od środka belki na odpowiedniej płaszczyźnie Z .

Historia i metody

Teoria dyfrakcji funkcji rozproszenia punktów została po raz pierwszy zbadana przez Airy'ego w XIX wieku. Opracował wyrażenie na amplitudę i intensywność funkcji rozproszenia punktowego instrumentu doskonałego, wolnego od aberracji (tzw. dysk Airy'ego ). Teoria zaburzonych funkcji rozproszenia punktów w pobliżu optymalnej płaszczyzny ogniskowej była badana przez Zernike i Nijboer w latach 1930-40. Główną rolę w ich analizie odgrywają wielomiany okręgu Zernike'a, które umożliwiają wydajną reprezentację aberracji dowolnego układu optycznego o symetrii obrotowej. Ostatnie wyniki analityczne umożliwiły rozszerzenie podejścia Nijboera i Zernike do oceny funkcji rozproszenia punktowego do dużej objętości wokół optymalnego punktu ogniskowego. Ta rozszerzona teoria Nijboera-Zernike (ENZ) umożliwia badanie niedoskonałego obrazowania obiektów trójwymiarowych w mikroskopii konfokalnej lub astronomii w nieidealnych warunkach obrazowania. Teoria ENZ została również zastosowana do scharakteryzowania instrumentów optycznych pod kątem ich aberracji poprzez pomiar rozkładu natężenia poprzez ognisko i rozwiązanie odpowiedniego problemu odwrotnego .

Aplikacje

Mikroskopia

Przykład eksperymentalnie wyprowadzonej funkcji rozproszenia punktu z mikroskopu konfokalnego przy użyciu obiektywu olejowego 63x 1,4NA. Został wygenerowany przy użyciu oprogramowania dekonwolucji Huygens Professional. Pokazane są widoki w xz, xy, yz oraz reprezentacja 3D.

W mikroskopii eksperymentalne określenie PSF wymaga subrozdzielczych (punktowych) źródeł promieniowania. Do tego celu zwykle brane są pod uwagę kropki kwantowe i kulki fluorescencyjne . Z drugiej strony modele teoretyczne opisane powyżej pozwalają na szczegółowe obliczenie PSF dla różnych warunków obrazowania. Zwykle preferowany jest najbardziej zwarty kształt PSF o ograniczonej dyfrakcji . Jednak przy użyciu odpowiednich elementów optycznych (np. przestrzennego modulatora światła ) kształt PSF można dostosować do różnych zastosowań.

Astronomia

Funkcja punkt rozprzestrzenianie Hubble Space Telescope „s WFPC aparat przed korekt zostały zastosowane do jego układu optycznego.

W astronomii obserwacyjnej eksperymentalne określenie PSF jest często bardzo proste ze względu na dużą podaż źródeł punktowych ( gwiazdy lub kwazary ). Forma i źródło PSF mogą się znacznie różnić w zależności od instrumentu i kontekstu, w jakim jest używany.

Dla radioteleskopów i dyfrakcji ograniczony kosmicznych teleskopów , dominującymi terminy w PSF można wywnioskować z konfiguracją otworu w domenie Fouriera . W praktyce może istnieć wiele terminów, które mogą się składać z różnych elementów złożonego układu optycznego. Pełny opis PSF obejmie również rozproszenie światła (lub fotoelektronów) w detektorze, a także błędy śledzenia w statku kosmicznym lub teleskopie.

W przypadku naziemnych teleskopów optycznych turbulencja atmosferyczna (znana jako widzenie astronomiczne ) ma dominujący wkład w PSF. W obrazowaniu naziemnym o wysokiej rozdzielczości często stwierdza się, że PSF zmienia się w zależności od położenia na obrazie (efekt zwany anizoplanatyzmem). W naziemnych systemach optyki adaptacyjnej PSF jest kombinacją apertury systemu z szczątkowymi nieskorygowanymi warunkami atmosferycznymi.

Litografia

Nakładające się piki PSF. Gdy piki są tak blisko, jak ~ 1 długość fali/NA, są skutecznie łączone. W tym momencie FWHM wynosi ~ 0,6 długości fali/NA.

PSF jest również podstawowym ograniczeniem konwencjonalnego zogniskowanego obrazowania otworu, przy czym minimalny rozmiar wydruku mieści się w zakresie 0,6-0,7 długości fali/NA, przy czym NA jest aperturą numeryczną systemu obrazowania. Na przykład w przypadku systemu EUV o długości fali 13,5 nm i NA=0,33 minimalny rozmiar pojedynczego otworu, który można zobrazować, mieści się w zakresie 25-29 nm. Maski przesunięcie fazowe ma krawędzie w fazie o 180 stopni, które umożliwiają większą rozdzielczość.

Okulistyka

Funkcje rozprzestrzeniania się punktów stały się ostatnio użytecznym narzędziem diagnostycznym w okulistyce klinicznej . Pacjenci są mierzeni za pomocą czujnika wavefront Shack-Hartmanna , a specjalne oprogramowanie oblicza PSF dla oka tego pacjenta. Metoda ta pozwala lekarzowi na symulację potencjalnego leczenia pacjenta i oszacowanie, w jaki sposób te zabiegi zmieniłyby PSF pacjenta. Dodatkowo, po zmierzeniu PSF można zminimalizować za pomocą systemu optyki adaptacyjnej. To, w połączeniu z kamerą CCD i systemem optyki adaptacyjnej, może być wykorzystane do wizualizacji struktur anatomicznych niewidocznych w inny sposób in vivo , takich jak fotoreceptory stożkowe.

Zobacz też

Bibliografia