Mikropakiet - Microbundle
W matematyce , o microbundle jest uogólnieniem pojęcia wiązka wektorowa , wprowadzony przez amerykański matematyk John Milnor w 1964. Umożliwia on tworzenie wiązki podobny obiektów w sytuacjach, w których nie będzie normalnie być traktowane istnieć. Na przykład wiązka styczna jest zdefiniowana dla rozmaitości gładkiej, ale nie dla rozmaitości topologicznej . Użycie mikrowiązek pozwala na zdefiniowanie topologicznej wiązki stycznej.
Definicja
Następuje dokładna definicja mikrozestawu. Niech B będzie przestrzenią topologiczną . Wtedy n -mikrowiązka składa się z trójki , gdzie E jest przestrzenią topologiczną („przestrzeń całkowita”), i jest odwzorowaniem od B do E („przekrój zerowy”), a p jest odwzorowaniem z E do B ( "mapa projekcyjna"). Ponadto istnieją dwa warunki:
- złożenie i, po którym następuje p, musi być tożsamością;
- dla każdego B w B , nie musi być sąsiedztwo z in E taki, że p ograniczone do wygląda jak projekcji .
Zauważ, że pierwszy warunek sugeruje, że i jest zerową sekcją wiązki wektorowej, podczas gdy drugi jest podobny do lokalnego warunku trywialności wiązki. Ważnym rozróżnieniem jest tutaj to, że „lokalna trywialność” dla mikrowiązek występuje tylko w pobliżu części zerowej. E może wyglądać bardzo dziko z dala od tego sąsiedztwa. Również mapy sklejające ze sobą lokalnie błahe łatki mikrowiązki mogą tylko zachodzić na włókna.
Wyniki
Dwie mikrowiązki są izomorficzne, jeśli mają sąsiedztwo swoich zerowych sekcji, które są homeomorficzne na podstawie mapy, która powoduje, że niezbędne mapy dojeżdżają. Istnieją typowe operacje na pakietach, takie jak pakiety indukowane pod wycofaniem.
Twierdzenie Jamesa Kistera i Barry'ego Mazura stwierdza, że istnieje sąsiedztwo odcinka zerowego, który w rzeczywistości jest wiązką włókien z grupą włókien i strukturą , czyli grupą homeomorfizmów ustalania pochodzenia. Ta okolica jest unikalna aż do izotopii . W ten sposób każdą mikrowiązkę można rozdrobnić do rzeczywistej wiązki włókien w zasadniczo unikalny sposób.
W przypadku rozmaitości M , rozmaitości topologicznej, istnieje mikrowiązka określona przez odwzorowanie diagonalne i rzutowanie na pierwszą współrzędną. Biorąc zawartą w nim wiązkę włókien, otrzymujemy topologiczną wiązkę styczną. Intuicyjnie, ta wiązka jest otrzymywana poprzez układ małych wykresów dla M , pozwalając każdemu wykresowi U mieć włókno U nad każdym punktem na wykresie i sklejając te trywialne wiązki razem przez zachodzenie na siebie włókien zgodnie z mapami przejść.
Teoria mikrowiązek jest integralną częścią pracy Robiona Kirby'ego i Laurenta C. Siebenmanna nad strukturami gładkimi i strukturami PL nad rozmaitościami wyższego wymiaru .
Bibliografia
- ^ Milnor, John Willard (1964). „Mikrowiązki. I” . Topologia . 3 : 53–80. doi : 10.1016/0040-9383(64)90005-9 . MR 0161346 .
- ^ Kister, James M. (1964). „Mikrowiązki to wiązki włókien”. Roczniki Matematyki . 80 (1): 190-199. doi : 10.2307/1970498 . MR 0180986 .
- ^ Kirby, Robion C ; Siebenmann Laurent C. (1977). Podstawowe eseje o topologicznych rozmaitościach, wygładzaniach i triangulacjach (PDF) . Roczniki studiów matematycznych. 88 . Princeton, NJ: Princeton University Press . Numer ISBN 0-691-08191-3. MR 0645390 .
- Gauld, Dawid; Greenwood, Sina (2000). „Mikrowiązki, rozmaitości i metryzowalność” . Procedury Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 128 (9): 2801–2808. doi : 10.1090/s0002-9939-00-05343-0 . MR 1664358 .
- Szwajcar, Robert M. (2002). Topologia algebraiczna — homotopia i homologia . Klasyka w matematyce. Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag . Numer ISBN 978-3-540-42750-6. MR 1886843 . Zobacz rozdział 14.
Linki zewnętrzne
- Mikrozestaw w Atlasie Rozmaitości.