Obiektyw Lüneburga - Luneburg lens

Przekrój standardowej soczewki Luneburg, z niebieskim cieniowaniem proporcjonalnym do współczynnika załamania

Luneburg soczewki (oryginalny niemiecki L ü neburg soczewki , czasami błędnie wpisane Luneb e RG soczewek ) jest sferycznie symetryczne soczewki gradientu indeksu . Współczynnik załamania n typowej soczewki Luneburg zmniejsza się promieniowo od środka do powierzchni zewnętrznej. Mogą być przystosowane do stosowania z promieniowaniem elektromagnetycznym od światła widzialnego do fal radiowych .

W przypadku niektórych profili indeksu soczewka utworzy idealne geometryczne obrazy dwóch danych koncentrycznych sfer na sobie. Istnieje nieskończona liczba profili współczynnika załamania światła, które mogą wywołać ten efekt. Najprostsze takie rozwiązanie zaproponował Rudolf Lüneburg w 1944 roku. Rozwiązanie Lüneburga dla współczynnika załamania światła tworzy dwa sprzężone ogniska poza soczewką. Rozwiązanie przybiera prostą i jednoznaczną formę, jeśli jeden punkt ogniskowania leży w nieskończoności, a drugi na przeciwległej powierzchni soczewki. J. Brown i AS Gutman następnie zaproponowali rozwiązania, które generują jeden ognisko wewnętrzne i jeden ognisko zewnętrzne. Te rozwiązania nie są wyjątkowe; zbiór rozwiązań jest określony przez zbiór całek oznaczonych, które muszą być ocenione numerycznie.

Projekty

Rozwiązanie Luneburga

Soczewka Luneburg przekształca źródło punktowe w skolimowaną wiązkę, gdy źródło jest umieszczone na jego krawędzi.

Każdy punkt na powierzchni idealnej soczewki Luneburg jest ogniskiem promieniowania równoległego padającego po przeciwnej stronie. Idealnie, stała dielektryczna materiału tworzącego soczewkę spada z 2 w jej środku do 1 na jej powierzchni (lub równoważnie, współczynnik załamania spada z do 1), zgodnie z ${\displaystyle \epsilon_{r}}$ ${\ Displaystyle n}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\ Displaystyle n = {\ sqrt {\ epsilon _ {r}}} = {\ sqrt {2-\ lewo ({\ Frac {R}} \ prawej) ^ {2}}},}$

gdzie jest promień soczewki. Ponieważ współczynnik załamania na powierzchni jest taki sam jak w otaczającym medium, na powierzchni nie występuje odbicie. W soczewce ścieżki promieni są łukami elips . ${\ Displaystyle R}$

Obiektyw typu rybie oko Maxwella

Przekrój obiektywu typu rybie oko Maxwella, z niebieskim cieniowaniem reprezentującym rosnący współczynnik załamania

Obiektyw typu rybie oko Maxwella jest również przykładem uogólnionej soczewki Luneburga. Rybie oko, które zostało po raz pierwszy w pełni opisane przez Maxwella w 1854 roku (a zatem poprzedza rozwiązanie Luneburga), ma współczynnik załamania światła zmieniający się w zależności od

${\ Displaystyle n = {\ sqrt {\ epsilon _ {R}}} = {\ Frac {n_ {0}} {1 + \ lewo ({\ Frac {R} {R}} \ po prawej) ^ {2} }}.}$

Koncentruje każdy punkt na kulistej powierzchni o promieniu R do przeciwległego punktu na tej samej powierzchni. W soczewce ścieżki promieni są łukami okręgów.

Publikacja i atrybucja

Właściwości tej soczewki zostały opisane w jednym z wielu zadań lub łamigłówek w Cambridge i Dublin Mathematical Journal z 1853 roku . Wyzwaniem jest znalezienie współczynnika załamania w funkcji promienia, biorąc pod uwagę, że promień opisuje tor kołowy, a następnie udowodnienie właściwości ogniskowania soczewki. Rozwiązanie zostało podane w wydaniu tego samego czasopisma z 1854 roku. Problemy i rozwiązania były pierwotnie publikowane anonimowo, ale rozwiązanie tego problemu (i jeszcze jednego) zostało zawarte w The Scientific Papers of James Clerk Maxwell Nivena , który został opublikowany 11 lat po śmierci Maxwella.

Aplikacje

W praktyce soczewki Luneburg są zwykle warstwowymi strukturami dyskretnych koncentrycznych powłok, z których każda ma inny współczynnik załamania. Powłoki te tworzą schodkowy profil współczynnika załamania światła, który różni się nieco od rozwiązania Luneburga. Ten rodzaj soczewki jest zwykle używany do częstotliwości mikrofalowych , zwłaszcza do budowy wydajnych anten mikrofalowych i standardów kalibracji radarów . Cylindryczne analogi soczewki Luneburga są również używane do kolimacji światła z diod laserowych .

Reflektor radarowy

Reflektory Luneburg (oznaczony występ) na F-35

Reflektor radarowy mogą być wykonane z obiektywem Luneburg przez metalizowanie części jego powierzchni. Promieniowanie z odległego nadajnika radarowego skupia się na spodniej stronie metalizacji po przeciwnej stronie soczewki; tutaj jest odbijany i skupiany z powrotem na stacji radarowej. Trudność tego schematu polega na tym, że metalizowane obszary blokują wejście lub wyjście promieniowania z tej części soczewki, ale obszary niemetalizowane powodują powstanie martwego punktu po przeciwnej stronie.

Zdejmowane reflektory radarowe typu Luneburg są czasami mocowane do samolotów wojskowych, aby uwidocznić samoloty stealth podczas operacji szkoleniowych lub ukryć ich prawdziwą sygnaturę radarową. W przeciwieństwie do innych typów reflektorów radarowych, ich kształt nie wpływa na prowadzenie samolotu.

Antena mikrofalowa

Radar 3D typu 984 na HMS  Victorious , 1961, z obiektywem Luneburg

Soczewka Luneburg może być używana jako podstawa anteny radiowej o wysokim zysku. Ta antena jest porównywalna do anteny talerzowej , ale jako główny element skupiający wykorzystuje soczewkę zamiast reflektora parabolicznego. Podobnie jak w przypadku naczynia antenę, pasza dla odbiornika lub nadajnika jest umieszczona w ognisku, surowiec zwykle składający się z anteny klaksonu . Środek fazy z rogów paszy musi pokrywać się z punktem ostrości, ale ponieważ ośrodek faza jest zawsze nieco wewnątrz ujścia klaksonu, nie może być wniesiona aż do powierzchni soczewki. W związku z tym konieczne jest stosowanie różnych soczewek Luneburg, które skupiają się nieco poza swoją powierzchnią, zamiast klasycznej soczewki z ogniskiem leżącym na powierzchni.

Antena soczewkowa Luneburg ma wiele zalet w porównaniu z anteną paraboliczną. Ponieważ soczewka jest sferycznie symetryczna, anteną można sterować, przesuwając strumień wokół soczewki, bez konieczności obracania całej anteny. Ponownie, ponieważ soczewka jest sferycznie symetryczna, pojedyncza soczewka może być używana z kilkoma kanałami, patrząc w bardzo różnych kierunkach. W przeciwieństwie do tego, jeśli stosuje się wiele kanałów z odbłyśnikiem parabolicznym, wszystkie muszą znajdować się w małym kącie osi optycznej, aby uniknąć śpiączki (forma rozogniskowania). Poza systemami offsetowymi , anteny czaszowe cierpią z powodu posuwu i jego konstrukcji nośnej częściowo zasłaniającej główny element ( blokada apertury ); podobnie jak inne systemy refrakcyjne, antena soczewkowa Luneburg pozwala uniknąć tego problemu.

Odmianą anteny soczewkowej Luneburga jest półkulista antena soczewkowa Luneburga lub antena reflektorowa Luneburga . Wykorzystuje tylko jedną półkulę soczewki Luneburga, z wyciętą powierzchnią kuli spoczywającą na odbijającej metalowej płaszczyźnie uziemienia . Układ zmniejsza o połowę ciężar soczewki, a płaszczyzna uziemienia zapewnia wygodny środek podparcia. Jednak zasilanie częściowo zasłania soczewkę, gdy kąt padania na odbłyśnik jest mniejszy niż około 45°.

Ścieżka promienia w soczewce

W przypadku każdej sferycznie symetrycznej soczewki każdy promień leży całkowicie w płaszczyźnie przechodzącej przez środek soczewki. Początkowy kierunek promienia wyznacza linię, która wraz ze środkiem soczewki identyfikuje płaszczyznę przecinającą soczewkę. Będąc płaszczyzną symetrii soczewki, gradient współczynnika załamania nie ma składowej prostopadłej do tej płaszczyzny, aby spowodować odchylenie promienia w jedną lub drugą stronę. W płaszczyźnie kołowa symetria układu ułatwia używanie współrzędnych biegunowych do opisu trajektorii promienia. ${\displaystyle (r,\theta)}$

Biorąc pod uwagę dowolne dwa punkty na promieniu (takie jak punkt wejścia i wyjścia z soczewki), zasada Fermata zakłada, że ​​droga, którą promień obiera między nimi, jest tą, którą może przebyć w możliwie najkrótszym czasie. Biorąc pod uwagę, że prędkość światła w dowolnym punkcie soczewki jest odwrotnie proporcjonalna do współczynnika załamania, a według Pitagorasa czas przejścia między dwoma punktami i wynosi ${\displaystyle (r_{1},\theta_{1})}$${\displaystyle (r_{2},\theta _{2})}$

${\ Displaystyle T = \ int _ {(r_ {1}, \ theta _ {1})} ^ {(r_ {2}, \ theta _ {2})} {\ Frac {n (r)} {c }}{\sqrt {(r\,d\theta )^{2}+dr^{2}}}={\frac {1}{c}}\int _{\theta _{1}}^{ \theta _{2}}n(r){\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}\,d\theta ,}$

gdzie jest prędkość światła w próżni. Minimalizując to daje drugiego rzędu równania różniczkowego określania zależności od na drodze promienia. Ten typ problemu minimalizacji był szeroko badany w mechanice Lagrange'a , a gotowe rozwiązanie istnieje w postaci tożsamości Beltramiego , która natychmiast dostarcza pierwszą całkę tego równania drugiego rzędu. Podstawienie (gdzie reprezentuje ), do tej tożsamości daje ${\displaystyle c}$${\displaystyle T}$${\ Displaystyle r}$${\displaystyle \theta}$${\ Displaystyle L (r, r') = n (r) {\ sqrt {r' ^ {2} + r ^ {2}}}}$${\displaystyle r'}$${\displaystyle {\tfrac {dr}{d\theta}}}$

${\ Displaystyle n (r) {\ sqrt {r' ^ {2} + r ^ {2}}} - n (r) {\ frac {r' ^ {2}} {\ sqrt {r' ^ {2} }+r^{2}}}}=h,}$

gdzie jest stała integracji . To równanie różniczkowe pierwszego rzędu jest separowalne , to znaczy może być uporządkowane tak, że pojawia się tylko z jednej strony i tylko z drugiej: ${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle r}$${\displaystyle \theta}$

${\ Displaystyle d \ theta = {\ Frac {h} {r {\ sqrt {{\ duży (} n (r) {\ duży)} ^ {2} r ^ {2}-h ^ {2}}} }}\,dr.}$

Parametr jest stałą dla dowolnego promienia, ale różni się w zależności od promieni przechodzących w różnych odległościach od środka soczewki. Dla promieni przechodzących przez środek jest to zero. W niektórych szczególnych przypadkach, takich jak rybie oko Maxwella, to równanie pierwszego rzędu może być dalej scałkowane, aby otrzymać wzór na funkcję lub . Ogólnie zapewnia względne szybkości zmian i , które mogą być całkowane numerycznie, aby podążać za ścieżką promienia przez soczewkę. ${\ Displaystyle h}$${\displaystyle \theta}$${\ Displaystyle r}$${\displaystyle \theta}$${\ Displaystyle r}$

Zobacz też

• Satelita BLITS (Ball Lens In The Space)
• Soczewki grawitacyjne mają również promieniowo zmniejszający się współczynnik załamania światła.

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Animacja propagacji przez soczewkę Luneburg (antena dielektryczna) z YouTube
• Animacja obiektywu typu rybie oko Maxwella z YouTube
• Animacja połowy obiektywu typu rybie oko Maxwella (antena dielektryczna) z YouTube