Metoda Laxa-Wendoffa - Lax–Wendroff method

Metoda Laxa-Wendroffa , nazwana na cześć Petera Laxa i Burtona Wendoffa , jest numeryczną metodą rozwiązywania hiperbolicznych równań różniczkowych cząstkowych , opartą na różnicach skończonych . Jest drugiego rzędu dokładny zarówno w przestrzeni, jak i czasie. Ta metoda jest przykładem jawnej integracji czasowej, w której funkcja definiująca równanie rządzące jest oceniana w bieżącym czasie.

Definicja

Załóżmy, że mamy równanie o następującej postaci:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe u (x, t)} {\ częściowe t}} + {\ Frac {\ częściowe f (u (x, t))} {\ częściowe x}} = 0}$

gdzie x i t są zmiennymi niezależnymi i podany jest stan początkowy u( x , 0).

Przypadek liniowy

W przypadku liniowym, gdzie f(u) = Au , a A jest stałą,

${\ Displaystyle u_ {i} ^ {n + 1} = u_ {i} ^ {n} - {\ Frac {\ Delta t} {2 \ Delta x}} A \ lewo [u_ {i + 1} ^ { n}-u_{i-1}^{n}\right]+{\frac {\Delta t^{2}}{2\Delta x^{2}}}A^{2}\left[u_{ i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}\right].}$

Ten schemat liniowy można na różne sposoby rozszerzyć do ogólnego przypadku nieliniowego. Jednym z nich jest przepuszczanie

${\ Displaystyle A (u) = f '(u) = {\ Frac {\ częściowy f} {\ częściowy u}}}$

Przypadek nieliniowy

Konserwatywna postać Laxa-Wendoffa dla ogólnego równania nieliniowego to zatem:

${\ Displaystyle u_ {i} ^ {n + 1} = u_ {i} ^ {n} - {\ Frac {\ Delta t} {2 \ Delta x}} \ lewo [f (u_ {i + 1}} ^ {n})-f(u_{i-1}^{n})\right]+{\frac {\Delta t^{2}}{2\Delta x^{2}}}\left[A_{ i+1/2}\left(f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i}^{n})\right)-A_{i-1/2}\left(f (u_{i}^{n})-f(u_{i-1}^{n})\right)\right].}$

gdzie jest macierz Jakobian oceniana w . ${\ Displaystyle A_ {i \ pm 1/2}}$${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} (u_ {i} ^ {n} + u_ {i \ pm 1} ^ {n})}$

Jakobian wolne metody

Aby uniknąć oceny jakobianu, zastosuj procedurę dwuetapową.

Metoda Richtmyera

Poniżej znajduje się dwuetapowa metoda Richtmyera Laxa-Wendoffa. Pierwszy krok w dwuetapowej metodzie Richtmyera Lax-Wendoffa oblicza wartości dla f(u( x ,  t )) w półokresowych odstępach czasu, t _{n  + 1/2} i pół punktach siatki, x _{i  + 1/2} . W drugim kroku, w wartościach T _{n  + 1} oblicza się za pomocą danych o t _n i t _{n  + 1/2} .

Pierwsze (Luźne) kroki:

${\ Displaystyle u_ {i + 1/2} ^ {n + 1/2} = {\ Frac {1} {2}} (u_ {i + 1} ^ {n} + u_ {i} ^ {n} )-{\frac {\Delta t}{2\,\Delta x}}(f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i}^{n})),}$

${\ Displaystyle u_ {i-1/2} ^ {n + 1/2} = {\ Frac {1} {2}} (u_ {i} ^ {n} + u_ {i-1} ^ {n} )-{\frac {\Delta t}{2\,\Delta x}}(f(u_{i}^{n})-f(u_{i-1}^{n})).}$

Drugi krok:

${\ Displaystyle u_ {i} ^ {n + 1} = u_ {i} ^ {n} - {\ Frac {\ Delta t} {\ Delta x}} \ lewo [f (u_ {i + 1/2}) ^{n+1/2})-f(u_{i-1/2}^{n+1/2})\right].}$

Metoda MacCormacka

Inną metodę tego samego typu zaproponował MacCormack. Metoda MacCormacka wykorzystuje najpierw różnicowanie w przód, a następnie różnicowanie wsteczne:

Pierwszy krok:

${\ Displaystyle u_ {i} ^ {*} = u_ {i} ^ {n} - {\ Frac {\ Delta t} {\ Delta x}} (f (u_ {i + 1} ^ {n}) - f(u_{i}^{n})).}$

Drugi krok:

${\ Displaystyle u_ {i} ^ {n + 1} = {\ Frac {1} {2}} (u_ {i} ^ {n} + u_ {i} ^ {*}) - {\ Frac {\ Delta t}{2\Delta x}}\left[f(u_{i}^{*})-f(u_{i-1}^{*})\right].}$

Alternatywnie, pierwszy krok:

${\ Displaystyle u_ {i} ^ {*} = u_ {i} ^ {n} - {\ Frac {\ Delta t} {\ Delta x}} (f (u_ {i} ^ {n}) - f ( u_{i-1}^{n})).}$

Drugi krok:

${\ Displaystyle u_ {i} ^ {n + 1} = {\ Frac {1} {2}} (u_ {i} ^ {n} + u_ {i} ^ {*}) - {\ Frac {\ Delta t}{2\Delta x}}\left[f(u_{i+1}^{*})-f(u_{i}^{*})\right].}$

Bibliografia

• Michael J. Thompson, Wprowadzenie do astrofizycznej dynamiki płynów , Imperial College Press, Londyn, 2006.
• Prasa, WH; Teukolski SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). „Punkt 20.1. Problemy z konserwatywną wartością początkową strumienia” . Przepisy numeryczne: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). Nowy Jork: Cambridge University Press. str. 1040. Numer ISBN 978-0-521-88068-8.