Luźny-Friedricha sposób - Lax–Friedrichs method

Metoda Lax-Friedrichs , nazwany Peter Lax i Kurt O. Friedrichs , jest numeryczne metody rozwiązywania hiperbolicznych równań różniczkowych cząstkowych na podstawie różnic skończonych . Sposób ten może być opisany jako FTCS (w przód w czasie, centralnie w przestrzeni) programu z sztucznego lepkości okres 1/2. Można zobaczyć metodę Lax-Friedrichs jako alternatywy dla programu Godunowa , gdzie unika rozwiązywania problemu Riemanna na każdym interfejsie komórkowy, kosztem dodając sztuczne lepkość.

Ilustracja na problem Linear

Rozważmy jednowymiarowym liniowym hiperboliczny częściowe równanie różniczkowe dla postać: ${\ Displaystyle u (x, t)}$

${\ Displaystyle u_ {T} + au_ {x} = 0 \}$

w domenie

${\ Displaystyle b \ równoważnik x \ równoważnik c \; 0 \ równoważnik t \ d} równoważnik$

z warunkiem początkowym

${\ Displaystyle u (x, 0) = u_ {0} (x) \}$

oraz warunki brzegowe

${\ Displaystyle U (b, t) = u_ {B} (t) \}$

${\ Displaystyle U (c, t) = u_ {c} (T). \}$

Jeśli ktoś discretizes domenę do siatki z jednakowo oddalonych od siebie punktów o rozstawieniu w -direction i w -direction definiujemy ${\ Displaystyle (B, C) \ razy (0 d)}$${\ Displaystyle \ Delta X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ delta T}$${\ T} displaystyle$

${\ Displaystyle u_ {i} ^ {n} = u (x_ {i} t ^ {n}) {\ tekst {z}} x_ {i} = b + i \ \ PPO, \, t ^ {n} = N \ \ delta T {\ tekst {}} dla i = 0, \ ldots, N, \, n = 0, \ ldots, M}$

gdzie

${\ Displaystyle N = {\ Frac {CB} {\ Delta X}}, \, K = {\ Frac {d} {\ delta t}}}$

są liczbami całkowitymi przedstawiającymi liczbę przedziałów siatki. Następnie sposób Lax-Friedricha rozwiązania powyższego równania różniczkowego cząstkowego jest dana przez:

${\ Displaystyle {\ Frac {u_ {i} ^ {n + 1} - {\ Frac {1} {2}} (u_ {I + 1} ^ {n} + u_ {i-1} ^ {n} )} {\ delta t}} + a {\ Frac {u_ {I + 1} ^ {n} -u_ {i-1} ^ {n}} {2 \ \ Delta X = 0}}}$

Lub przepisanie tego rozwiązania dla nieznanego ${\ Displaystyle u_ {i} ^ {n + 1}}$

${\ Displaystyle u_ {i} ^ {n + 1} = {\ Frac {1} {2}} (u_ {I + 1} ^ {n} + u_ {i-1} ^ {n}) - a { \ Frac {\ delta T} {2 \ \ Delta x}} (u_ {I + 1} ^ {n} -u_ {i-1} ^ {n}) \}$

Gdzie wartości początkowe i węzły brzegowe zostały zaczerpnięte z

${\ Displaystyle u_ {i} ^ {0} = {0} u_ (x_ {i})}$

${\ Displaystyle u_ {0} ^ {n} = u_ {B}, (T ^ {n})}$

${\ Displaystyle u_ {A} ^ {n} = u_ {c} (T ^ {n}).}$

Rozszerzenia problemów nieliniowych

Nieliniowa hiperboliczny Prawo ochrony jest określony przez funkcję strumienia : ${\ Displaystyle f}$

${\ Displaystyle u_ {T} + (f (j)) _ {x} = 0.}$

W przypadku , możemy skończyć z skalarnego problemu liniowego. Zauważ, że w ogóle, jest wektorem z równań w nim. Uogólnienie metod Lax-Friedrichs do układów nieliniowych ma formę${\ Displaystyle Rf (U) = Au}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle m}$

${\ Displaystyle u_ {i} ^ {n + 1} = {\ Frac {1} {2}} (u_ {I + 1} ^ {n} + u_ {i-1} ^ {n}) - {\ Frac {\ delta T} {2 \ \ Delta x}} (f (u_ {I + 1} ^ {n}) - f (u_ {i-1} ^ {n})).}$

Metoda ta jest konserwatywna i pierwsze zamówienie dokładne, stąd dość rozpraszający. Jednakże może być stosowany jako element do budowy wyższego rzędu systemów liczbowych rozwiązania hiperbolicznych równań różniczkowych cząstkowych, podobnie jak stopnie czas Eulera może być stosowany jako element do tworzenia wysokiej rzędu integratorów liczbowych równań różniczkowych.

Zauważmy, że metoda ta może być zapisana w postaci ochrony:

${\ Displaystyle u_ {i} ^ {n + 1} = u_ {i} ^ {n} - {\ Frac {\ delta T} {\ Delta X}} \ lewo ({\ kapelusz {f}} _ {i +1/2} ^ {n} - {\ kapelusz {f}} _ {i-1/2} ^ {n} \ prawej)}$

gdzie

${\ Displaystyle {\ kapelusz {f}} _ {i-1/2} ^ {n} = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (F_ {i-1} + F_ {i} \ prawej) - {\ Frac {\ Delta x} {2 \ delta t}} \ lewo (u_ {i} ^ {n} -u_ {i-1} ^ {A} \ prawej)}.$

Bez dodatkowych warunkach i w dyskretnych ruchu, jeden kończy się na schemacie FTCS , który jest dobrze znany bezwarunkowo niestabilny hiperbolicznych problemów. ${\ Displaystyle u_ {i} ^ {n}}$${\ Displaystyle u_ {i-1} ^ {n}}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {f}} _ {i-1/2 ^ {n}}}$

Stabilność i dokładność

Przykład problemu stan początkowy

Luźny-Friedricha rozwiązanie

Metoda ta jest wyraźne i pierwsze zamówienie dokładne w czasie i pierwszej kolejności dokładne w przestrzeni przewidzianej są wystarczająco-gładkie funkcje. W tych warunkach, że sposób jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek: ${\ Displaystyle u_ {0} (x) \, u_ {B}, (t), \ u_ {c} (t)}$

${\ \ Displaystyle lewo | a {\ frac {\ Delta t} {\ Delta x}} \ right | \ równoważnik 1.}$

(A analiza stabilności von Neumann może pokazać konieczność warunek stabilności.) Metoda Lax-Friedricha klasyfikuje się jako mający drugiego stopnia rozproszenia i trzeciego rzędu dyspersji ( Chu, 1978 , str. 304). Dla funkcji, które mają nieciągłości , system wyświetla silne rozpraszanie i dyspersji ( Thomas 1995 , §7.8); patrz rysunek po prawej stronie.

Referencje

• DUCHATEAU Paweł; Zachmann, David (2002), Applied Równania różniczkowe cząstkowe , Nowy Jork: Dover Publications , ISBN  978-0-486-41976-3,
• Thomas JW (1995), numeryczne równań różniczkowych Metody różnic skończonych , tekstów in Applied Mathematics, 22 , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-97999-1,
• Chu, CK (1978), Metody numeryczne w Mechaniki Płynów , Advances in Mechaniki Stosowanej, 18 , New York: Academic Press , ISBN  978-0-12-002018-8,
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling WT; Flannery, BP (2007), "Sekcja 10.1.2 Metoda Lax." , Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing , New York (3rd ed.): Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-88068-8