Dyferomorficzne mapowanie metryczne dużych deformacji - Large deformation diffeomorphic metric mapping

Dyfeomorficzne mapowanie metryczne dużych deformacji ( LDDMM ) to specjalny zestaw algorytmów używanych do mapowania różnicowego i manipulowania gęstymi obrazami opartymi na mapowaniu metrycznym różnicowym w ramach akademickiej dyscypliny anatomii obliczeniowej , w odróżnieniu od jego prekursora opartego na mapowaniu różnicowym . Różnica między nimi polega na tym, że dyfeomorficzne mapy metryczne spełniają właściwość polegającą na tym, że długość związana z ich odpływem od tożsamości indukuje metrykę na grupie dyfeomorfizmów , co z kolei indukuje metrykę na orbicie kształtów i form w polu Anatomia obliczeniowa . Badanie kształtów i form za pomocą metryki odwzorowania metryki dyfeomorficznej nazywa się dyfeomorfometrią .

System mapowania dyfeomorficznego to system przeznaczony do mapowania, manipulowania i przesyłania informacji przechowywanych w wielu typach przestrzennie rozproszonych obrazów medycznych.

Mapowanie dyfeomorficzne to podstawowa technologia mapowania i analizowania informacji mierzonych w ludzkich anatomicznych układach współrzędnych, które zostały zmierzone za pomocą obrazowania medycznego. Mapowanie dyfeomorficzne to szerokie pojęcie, które w rzeczywistości odnosi się do wielu różnych algorytmów, procesów i metod. Jest dołączony do wielu operacji i ma wiele zastosowań do analizy i wizualizacji. Mapowanie dyfeomorficzne może służyć do powiązania różnych źródeł informacji, które są indeksowane w funkcji położenia przestrzennego jako kluczowa zmienna indeksowa. Dyfeomorfizmy dzięki swojej łacińskiej strukturze korzeniowej zachowują transformacje, które z kolei są różniczkowe, a zatem gładkie, co pozwala na obliczanie wielkości metrycznych, takich jak długość łuku i pola powierzchni. Przestrzenne położenie i zasięg w ludzkich anatomicznych układach współrzędnych można rejestrować za pomocą różnych modalności obrazowania medycznego, ogólnie określanych jako multimodalne obrazowanie medyczne, dostarczając zarówno wielkości skalarne, jak i wektorowe w każdej lokalizacji przestrzennej. Przykładami są skalarne obrazowanie rezonansu magnetycznego T1 lub T2 lub jako macierze tensora dyfuzji 3x3 dyfuzja MRI i obrazowanie ważone dyfuzją , do gęstości skalarnych związanych z tomografią komputerową (CT) lub obrazowanie funkcjonalne, takie jak dane czasowe funkcjonalnego rezonansu magnetycznego i gęstości skalarnych takich jak pozytonowa tomografia emisyjna (PET) .

Anatomia obliczeniowa jest subdyscypliną szeroko pojętej neuroinformatyki w obrębie bioinformatyki i obrazowania medycznego . Pierwszym algorytmem do gęstego mapowania obrazów za pomocą różnicowego mapowania metrycznego był LDDMM Bega dla objętości i dopasowanie punktów orientacyjnych Joshiego dla zestawów punktów z korespondencją, przy czym algorytmy LDDMM są teraz dostępne do obliczania metrycznych map różnicowych między nieodpowiadającymi punktami orientacyjnymi i dopasowania punktów orientacyjnych nieodłącznie od sferycznych rozmaitości, krzywych , prądy i powierzchnie, tensory, varifoldy i szeregi czasowe. Termin LDDMM został po raz pierwszy wprowadzony jako część Sieci Badawczej Informatyki Biomedycznej wspieranej przez Narodowe Instytuty Zdrowia .

W bardziej ogólnym sensie, mapowanie dyfeomorficzne to dowolne rozwiązanie, które rejestruje lub buduje korespondencję między gęstymi układami współrzędnych w obrazowaniu medycznym, zapewniając, że rozwiązania są dyfeomorficzne. Obecnie istnieje wiele kodów zorganizowanych wokół rejestracji dyfeomorficznej, w tym ANTS, DARTEL, DEMONS, StationaryLDDMM, FastLDDMM, jako przykłady aktywnie używanych kodów obliczeniowych do konstruowania korespondencji między układami współrzędnych w oparciu o gęste obrazy.

Rozróżnienie między mapowaniem metrycznym dyfeomorficznym stanowiącym podstawę LDDMM a najwcześniejszymi metodami mapowania dyfeomorficznego polega na wprowadzeniu zasady najmniejszego działania Hamiltona, w której wybierane są duże deformacje o najkrótszej długości odpowiadającej przepływom geodezyjnym. To ważne rozróżnienie wynika z pierwotnego sformułowania metryki riemannowskiej odpowiadającej prawo-niezmienności. Długości tych geodezji dają metrykę w metrycznej strukturze przestrzennej anatomii człowieka. Niegeodezyjne sformułowania mapowania dyfeomorficznego na ogół nie odpowiadają żadnemu sformułowaniu metrycznemu.

Historia rozwoju

Mapowanie dyfeomorficzne Informacje trójwymiarowe w układach współrzędnych mają kluczowe znaczenie dla obrazowania medycznego o wysokiej rozdzielczości i neuroinformatyki w nowo powstającej dziedzinie bioinformatyki . Mapowanie dyfeomorficzne 3-wymiarowe układy współrzędnych mierzone za pomocą gęstego obrazowania o wysokiej rozdzielczości mają długą historię w 3D, począwszy od komputerowej tomografii osiowej (skanowanie CAT) we wczesnych latach 80-tych przez grupę University of Pennsylvania kierowaną przez Ruzenę Bajcsy , a następnie Ulf Szkoła Grenander na Brown University z eksperymentami HAND. W latach 90-tych pojawiło się kilka rozwiązań rejestracji obrazu, które wiązały się z linearyzacją małych odkształceń i nieliniową sprężystością.

Centralnym celem poddziedziny anatomii obliczeniowej (CA) w obrazowaniu medycznym jest mapowanie informacji w anatomicznych układach współrzędnych w skali morfomicznej 1 milimetra . W CA mapowanie gęstych informacji mierzonych w układach współrzędnych opartych na obrazie rezonansu magnetycznego (MRI), takich jak w mózgu, zostało rozwiązane poprzez niedokładne dopasowanie obrazów 3D MR jeden do drugiego. Najwcześniejsze zastosowanie mapowania dyfeomorficznego poprzez przepływy dużych deformacji dyfeomorfizmów do transformacji układów współrzędnych w analizie obrazu i obrazowaniu medycznym zostało wprowadzone przez Christensena, Rabbitta i Millera oraz Trouve. Wprowadzenie przepływów, które są zbliżone do równań ruchu stosowanych w dynamice płynów, wykorzystuje pogląd, że gęste współrzędne w analizie obrazu są zgodne z równaniami ruchu Lagrange'a i Eulera . Model ten staje się bardziej odpowiedni dla badań przekrojowych, w których mózgi i/lub serca niekoniecznie są zniekształceniami jednego względem drugiego. Metody oparte na liniowej lub nieliniowej energetyce sprężystości, która rośnie wraz z odległością od odwzorowania tożsamości szablonu, nie są odpowiednie do badań przekrojowych. W modelach opartych na przepływach dyfeomorfizmów Lagrange'a i Eulera ograniczenie jest związane z właściwościami topologicznymi, takimi jak zachowanie zbiorów otwartych, współrzędne nie przecinające się, co sugeruje niepowtarzalność i istnienie odwzorowania odwrotnego, oraz zbiory połączone pozostające połączone. Wykorzystanie metod dyfeomorficznych szybko zdominowało dziedzinę metod mapowania po oryginalnym artykule Christensena, a metody szybkie i symetryczne stały się dostępne.

Takie metody są potężne, ponieważ wprowadzają pojęcia regularności rozwiązań, dzięki czemu można je różnicować i obliczać lokalne odwrotności. Wadą tych metod jest brak powiązanej globalnej właściwości najmniejszego działania, która mogłaby ocenić przepływy o minimalnej energii. Kontrastuje to z ruchami geodezyjnymi, które są kluczowe dla badań kinematyki ciał sztywnych i wieloma problemami rozwiązywanymi w fizyce za pomocą zasady najmniejszego działania Hamiltona . W 1998 roku Dupuis, Grenander i Miller stworzyli warunki gwarantujące istnienie rozwiązań gęstego dopasowania obrazów w przestrzeni przepływów dyfeomorfizmów. Warunki te wymagają działania penalizującego energię kinetyczną mierzoną normą Sobolewa na przestrzennych pochodnych przepływu pól wektorowych.

Kod mapowania metrycznego dużych deformacji (LDDMM), który Faisal Beg wyprowadził i zaimplementował w ramach swojego doktoratu na Uniwersytecie Johnsa Hopkinsa, opracował najwcześniejszy kod algorytmiczny, który rozwiązywał przepływy ze stałymi punktami, spełniające warunki konieczne dla problemu dopasowywania gęstego obrazu, który wymaga najmniejszego działania . Anatomia obliczeniowa ma obecnie wiele istniejących kodów zorganizowanych wokół rejestracji dyfeomorficznej, w tym ANTS, DARTEL, DEMONS, LDDMM, stacjonarnyLDDMM jako przykłady aktywnie używanych kodów obliczeniowych do konstruowania korespondencji między układami współrzędnych na podstawie gęstych obrazów.

Te metody dużych deformacji zostały rozszerzone na punkty orientacyjne bez rejestracji poprzez dopasowanie miary, krzywe, powierzchnie, gęste obrazy wektorowe i tensorowe oraz varifolds usuwające orientację.

Model orbity dyfeomorfizmu w anatomii obliczeniowej

Odkształcalny kształt w anatomii obliczeniowej (CA) jest badany przy użyciu mapowania dyfeomorficznego w celu ustalenia zgodności między współrzędnymi anatomicznymi w obrazowaniu medycznym. W tym ustawieniu trójwymiarowe obrazy medyczne są modelowane jako losowe odkształcenie pewnego przykładu, zwanego szablonem , z elementem zestawu obserwowanych obrazów w modelu losowej orbity CA dla obrazów . Szablon jest mapowany na docelowy przez zdefiniowanie problemu wariacyjnego, w którym szablon jest transformowany przez dyfeomorfizm stosowany jako zmiana współrzędnych w celu zminimalizowania warunku dopasowania kwadratu błędu między transformowanym szablonem a celem. ${\ Displaystyle I_ {temp}}$${\ Displaystyle I \ w {\ mathcal {I}} \ doteq \ {I = I_ {temp} \ circ \ varphi \ varphi \ w Diff_ {V} \}}$

Dyfeomorfizmy są generowane przez gładkie przepływy , z , spełniającymi specyfikację Lagrange'a i Eulera pola przepływu związanego ze zwykłym równaniem różniczkowym, ${\displaystyle \phi _{t},t\w [0,1]}$${\ Displaystyle \ varphi \ doteq \ phi _ {1}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} \ phi _ {t} = v_ {t} \ circ \ phi _ {t} \ \ phi _ {0}=id}$,

z tych Eulera pól wektorowych determinujących przepływ. Gwarantuje się, że pola wektorowe są jednokrotne w sposób ciągły różniczkowe , modelując je tak, aby znajdowały się w gładkiej przestrzeni Hilberta obsługującej 1-ciągłą pochodną. Odwrotność jest określona przez pole wektorowe Eulera o przepływie określonym przez ${\displaystyle v_{t},t\w [0,1]}$${\ Displaystyle v_ {t} \ w C ^ {1}}$ ${\ Displaystyle v \ w V}$${\ Displaystyle \ phi _ {t} ^ {-1}, t \ w [0,1]}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} \ phi _ {t} ^ {-1} = - (d \ phi _ {t} ^ {-1}) v_ {t} \ \ _ phi { 0}^{-1}=id\ .}$

( Odwrotny przepływ transportu )

Aby zapewnić płynne przepływy dyfeomorfizmów z odwrotnością, pola wektorowe ze składowymi muszą być co najmniej 1 -krotne w sposób ciągły różniczkowalne w przestrzeni, które są modelowane jako elementy przestrzeni Hilberta przy użyciu twierdzeń o zanurzeniu Sobolewa, tak aby każdy element miał 3-krotność kwadratu- całkowalne słabe pochodne. W ten sposób osadza się płynnie w jednorazowych, ciągle różniczkowanych funkcjach. Grupa dyfeomorfizmu to przepływy z polami wektorowymi absolutnie całkowalnymi w normie Sobolewa ${\displaystyle {\mathbb {R}}^{3}}$${\ Displaystyle (V \ | \ cdot \ | _ {V})}$${\ Displaystyle V_ {i} \ w H_ {0} ^ {3}, ja = 1,2,3,}$${\ Displaystyle (V \ | \ cdot \ | _ {V})}$

${\ Displaystyle Diff_ {V} \ doteq \ {\ varphi = \ phi _ {1}: {\ kropka {\ phi }} _ {t} = v_ {t} \ circ \ phi _ {t}, \ phi _ {0}=id,\int _{0}^{1}\|v_{t}\|_{V}dt<\infty \}\ .}$

( Grupa Dyfeomorfizmu )

Wariacyjny problem gęstego dopasowywania obrazów i rzadkiego dopasowywania punktów orientacyjnych

Algorytm LDDMM do gęstego dopasowania obrazu

W CA przestrzeń pól wektorowych jest modelowana jako odtwarzająca się przestrzeń Kernela Hilberta (RKHS) określona przez operator różniczkowy 1-1 określający normę, w której całka jest obliczana przez całkowanie przez części, gdy jest funkcją uogólnioną w przestrzeni dualnej . Operator różniczkowy jest wybrany tak, że jądro Greena, odwrotność operatora, jest ciągle różniczkowalna w każdej zmiennej, co oznacza, że pola wektorowe obsługują pochodną 1-ciągłą ; zobacz niezbędne warunki na normie istnienia rozwiązań. ${\ Displaystyle (V \ | \ cdot \ | _ {V})}$${\ Displaystyle A: V \ rightarrow V ^ {*}}$${\ Displaystyle \ | v \ | _ {V} ^ {2} \ doteq \ int _ {R ^ {3}} Av \ cdot vdx \ v \ w V \ }$${\displaystyle Av}$${\ Displaystyle V ^ {*}}$

Oryginalne algorytmy mapowania metrycznego dużych odkształceń (LDDMM) Bega, Millera, Trouve, Younesa zostały wyprowadzone z wariacji w odniesieniu do parametryzacji pola wektorowego grupy, ponieważ znajdują się one w przestrzeniach wektorowych. Beg rozwiązał gęste dopasowanie obrazu, minimalizując całkę działania energii kinetycznej przepływu dyfeomorficznego, jednocześnie minimalizując termin dopasowania punktu końcowego zgodnie z ${\ Displaystyle v = {\ kropka {\ phi}} \ circ \ phi ^ {-1}}$

• Iteracyjny algorytm Bega dla gęstego dopasowywania obrazów

Aktualizuj aż do zbieżności, każda iteracja, z : ${\ Displaystyle \ phi _ {t} ^ {stary} \ leftarrow \ phi _ {t} ^ {nowy}}$${\ Displaystyle \ phi _ {t1} \ doteq \ phi _ {1} \ circ \ phi _ {t} ^ {-1}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {przypadki} i v_ {t} ^ {nowy} (\ cdot) = v_ {t} ^ {stary} (\ cdot) - \ epsilon (v_ {t} ^ {stary} - \ int _ {R^{3}}K(\cdot ,y)(I\circ \phi _{t}^{-1stary}(y)-J\circ \phi _{t1}^{stary}(y)) \nabla (I\circ \phi _{t}^{-1stary}(y))|D\phi _{t1}^{stary}(y)|dy),t\in [0,1]\\ &{\dot {\phi }}_{t}^{nowy}=v_{t}^{nowy}\circ \phi _{t}^{nowy},t\in [0,1]\end{ sprawy}}}$

( Pocz.-LDDMM-iteracja )

Oznacza to, że stały punkt w spełnia ${\displaystyle t=0}$

${\ Displaystyle \ mu _ {0} ^ {*} = Av_ {0} ^ {*} = (IJ \ circ \ phi _ {1} ^ {*}) \ nabla I | D \ phi _ {1} ^ {*}|}$,

co z kolei oznacza, że ​​spełnia równanie ochrony podane przez warunek dopasowania punktu końcowego zgodnie z

${\ Displaystyle Av_ {t} ^ {*} = (D \ phi _ {t} ^ {*-1}) ^ {T} Av_ {0}^ {*} \ circ \ phi _ {t} ^ {* -1}|D\phi _{t}^{*-1}|}$

Dopasowanie zarejestrowanego punktu orientacyjnego LDDMM

Problem dopasowania punktów orientacyjnych ma punktową zgodność definiującą warunek punktu końcowego z geodezją daną przez następujące minimum:

${\ Displaystyle \ min _ {v: {\ kropka {\ phi}} _ {t} = v_ {t} \ circ \ phi _ {t}} C (v) \ doteq {\ Frac {1}{2} }\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+{\frac {1}{2}}\sum _{i}(\ phi _{1}(x_{i})-y_{i})\cdot (\phi _{1}(x_{i})-y_{i})}$;

Rysunek przedstawia gęste dopasowanie obrazu LDMM. Górny rząd pokazuje transport obrazu pod przepływem ; wiersz środkowy pokazuje sekwencję pól wektorowych t=0,1/5,2/5,3/5,4/5,1; dolny wiersz pokazuje kolejność siatek pod${\ Displaystyle I \ circ \ phi _ {t} ^ {-1}}$${\displaystyle v_{t},}$${\displaystyle \phi_{t}.}$

• Iteracyjny algorytm dopasowywania punktów orientacyjnych

Joshi pierwotnie zdefiniował problem dopasowania zarejestrowanego punktu orientacyjnego. Aktualizuj aż do zbieżności, każda iteracja, z : ${\ Displaystyle \ phi _ {t} ^ {stary} \ leftarrow \ phi _ {t} ^ {nowy}}$${\ Displaystyle \ phi _ {t1} \ doteq \ phi _ {1} \ circ \ phi _ {t} ^ {-1}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {przypadki} i v_ {t} ^ {nowy} (\ cdot) = v_ {t} ^ {stary} (\ cdot) - \ epsilon (v_ {t} ^ {stary} + \ suma _ {i}K(\cdot ,\phi _{t}^{stary}(x_{i}))(D\phi _{t1})^{staryT}|_{\phi _{t}^{stary }(x_{i})}(y_{i}-\phi _{1}^{stary}(x_{i})),t\in [0,1]\\&{\dot {\phi } }_{t}^{nowy}=v_{t}^{nowy}\circ \phi _{t}^{nowy},t\w [0,1]\end{przypadkach}}}$

( Punkt orientacyjny-LDDMM-iteracja )

Oznacza to, że punkt stały spełnia

${\ Displaystyle Av_ {0} = - \ suma _ {i} (D \ phi _ {1}) (x_ {i}) ^ {T} (y_ {i} - \ phi _ {1} (x_ {i }))\delta _{x_{i}}}$

z

${\ Displaystyle Av_ {t} = - \ suma _ {i} (D \ phi _ {t1}) ^ {T} | _ {\ phi _ {t} (x_ {i})} (y_ {i} - \phi _{1}(x_{i}))\delta _{\phi _{t}(x_{i})}}$.

Wariacje dla gęstego obrazu LDDMM i dopasowania punktów orientacyjnych

Rachunek odmianach użyto Beg ^[49], w celu uzyskania algorytm iteracyjny w postaci roztworu, który, gdy zbieżny spełnia niezbędne warunki Maximizer podane przez warunki konieczne do wariantu pierwszego nakazanie zmianę w punkcie końcowym w odniesieniu do pierwszego rzędu zmienność pola wektorowego. Pochodna kierunkowa oblicza pochodną Gateaux, jak obliczono w oryginalnej pracy Bega ^[49] i.

Dopasowanie obrazu tensora dyfuzji LDDMM

Dopasowanie LDDMM oparte na głównym wektorze własnym macierzy tensora dyfuzji przyjmuje obraz jako pole wektora jednostkowego zdefiniowane przez pierwszy wektor własny. Akcja grupowa staje się ${\ Displaystyle I (x), x \ w {\ mathbb {R} } ^ {3}}$

${\ Displaystyle \ varphi \ cdot I = {\ zacząć {przypadki} {\ Frac {D_ {\ varphi ^ {-1}} \ varphi I \ circ \ varphi ^ {-1} \ | \ circ \ varphi ^ { -1}\|}{\|D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|}}&I\circ \varphi \neq 0,\\0&{\text {w przeciwnym razie.}}\end{przypadki}}}$

gdzie oznacza to normę błędu kwadratu obrazu. ${\displaystyle \|\cdot \|}$

Dopasowanie LDDMM oparte na całej macierzy tensorowej ma przekształcone wektory własne działania grupowego${\ Displaystyle \ varphi \ cdot M = (\ lambda _ {1} {\ kapelusz {e}} _ {1} {\ kapelusz {e}} _ {1} ^ {T} + \ lambda _ {2} { \kapelusz {e}}_{2}{\kapelusz {e}}_{2}^{T}+\lambda _{3}{\kapelusz {e}}_{3}{\kapelusz {e}} _{3}^{T})\circ \varphi ^{-1},}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ kapelusz {e}} _ {1} i = {\ Frac {D \ varphi e_ {1}} {\ | D \ varphi e_ {1} \ |}} \ , \ \ \ {\hat {e}}_{2}={\frac {D\varphi e_{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle {\hat {e}}_{1}}{\sqrt {\|D\varphi e_{2}\|^{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_ {2}\rangle ^{2}}}}\ ,\ \ \ {\kapelusz {e}}_{3}={\kapelusz {e}}_{1}\times {\kapelusz {e}}_ {2}\end{wyrównany}}}$.

Problem gęstego dopasowania do podstawowego wektora własnego DTI

Problem wariacyjny dopasowujący się do obrazu wektorowego z punktem końcowym ${\ Displaystyle I ^ {\ prim} (x), x \ w {\ mathbb {R} } ^ {3}}$

${\ Displaystyle E (\ phi _ {1}) \ doteq \ alfa \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {3}} \ | \ phi _ {1} \ cdot II ^ {\ prime} \ | ^{2}\,dx+\beta \int _{{\mathbb {R} }^{3}}(\|\phi _{1}\cdot I\|-\|I^{\prime }\| )^{2}\,dx).}$

staje się

${\ Displaystyle \ min _ {v: {\ kropka {\ phi}} \ circ \ phi ^ {-1}} {\ Frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+\alpha \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\|\phi _{1}\cdot II^{\ liczba pierwsza }\|^{2}\,dx+\beta \int _{{\mathbb {R} }^{3}}(\|\phi _{1}\cdot I\|-\|I^{\ liczba pierwsza }\|)^{2}\,dx\ .}$

Gęsty problem z dopasowaniem do DTI MATRIX

Problem wariacyjny dopasowujący się do : z punktem końcowym ${\ Displaystyle M ^ {\ prim} (x), x \ w {\ mathbb {R} } ^ {3}}$

${\ Displaystyle E (\ phi _ {1}) \ doteq \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {3}} \ | \ phi _ {1} \ cdot M (x) - M ^ {\ prime }(x)\|_{F}^{2}dx}$

z normą Frobeniusa, dając problem wariacyjny ${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {F}}$

${\ Displaystyle \ min _ {v: v = {\ kropka {\ phi}} \ circ \ phi ^ {-1}} {\ Frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {1} \ int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+\alpha \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\|\phi _{1}\cdot M( x)-M^{\prim }(x)\|_{F}^{2}dx}$

( Gęsty tensor Dopasowanie DTI )

LDDMM ODF

Obrazowanie dyfuzyjne o wysokiej rozdzielczości kątowej (HARDI) odnosi się do dobrze znanego ograniczenia DTI, co oznacza, że ​​DTI może ujawnić tylko jedną dominującą orientację włókien w każdej lokalizacji. HARDI mierzy dyfuzję wzdłuż równomiernie rozmieszczonych kierunków na sferze i może scharakteryzować bardziej złożone geometrie włókien poprzez rekonstrukcję funkcji rozkładu orientacji (ODF), która charakteryzuje profil kątowy funkcji gęstości prawdopodobieństwa dyfuzji cząsteczek wody. ODF to funkcja zdefiniowana na sferze jednostkowej, . Oznacz pierwiastek kwadratowy ODF ( ) jako , gdzie jest wartością nieujemną, aby zapewnić unikalność i . Metryka określa odległość między dwiema funkcjami jako ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle {\ mathbb {S} } ^ {2}}$${\displaystyle {\sqrt {\text{ODF}}}}$${\ Displaystyle \ psi ({\ bf {s}})}$${\ Displaystyle \ psi ({\ bf {s}})}$${\ Displaystyle \ int _ {{\ bf {s}} \ w {\ mathbb {S}} ^ {2}} \ psi ^ {2} ({\ bf {s}}) d {\ bf {s} }=1}$${\displaystyle {\sqrt {\text{ODF}}}}$${\ Displaystyle \ psi _ {1} \ psi _ {2} \ w \ psi }$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ rho (\ psi _ {1} \ psi _ {2}) = \ | \ log _ {\ psi _ {1}} (\ psi _ {2}) \ | _{\psi _{1}}=\cos ^{-1}\langle \psi _{1},\psi _{2}\rangle =\cos ^{-1}\left(\int _{{ \bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi _{1}({\bf {s}})\psi _{2}({\bf {s}}) d{\bf {s}}\prawo),\end{wyrównany}}}$

gdzie jest normalnym iloczynem skalarnym między punktami w sferze pod metryką. Szablon i cel są oznaczone jako , , indeksowane w sferze jednostkowej i domenie obrazu, przy czym obiekt docelowy jest indeksowany podobnie. ${\ Displaystyle \ langle \ cdot \ cdot \ rangle }$${\ Displaystyle \ operatorname {L} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ psi _ {\ operatorname {temp}} ({\ bf {s}}, x)}$${\ Displaystyle \ psi _ {\ operatorname {targ}} ({\ bf {s}}, x)}$${\ Displaystyle {\ bf {s}} \ w {{\ mathbb {S}} ^ {2}}}$${\ Displaystyle x \ w X}$

Zdefiniuj problem wariacyjny zakładając , że dwie objętości ODF mogą być generowane od siebie poprzez przepływy dyfeomorfizmów , które są rozwiązaniami równań różniczkowych zwyczajnych . Działanie grupowe dyfeomorfizmu na szablonie jest podane zgodnie z , gdzie jest jakobianem afinicznego przekształconego ODF i jest zdefiniowane jako ${\displaystyle \phi _{t}}$${\ Displaystyle {\ kropka {\ phi }} _ {t} = v_ {t} (\ phi _ {t}), t \ w [0,1], \ phi _ {0} = {id}}$${\ Displaystyle \ phi _ {1} \ cdot \ psi (x) \ doteq (D \ phi _ {1}) \ psi \ circ \ phi _ {1} ^ {-1} (x), x \ w X }$${\ Displaystyle (D\phi _ {1})}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} (D \ phi _ {1}) \ psi \ circ \ phi _ {1} ^ {-1} (x) = {\ sqrt {\ frac {\ det {{\ bigl (}D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}}}{\left\|{{\bigl (}D_{\phi _ {1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}}{\bf {s}}\right\|^{3}}}}\quad \psi \left ({\frac {(D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}}{\|(D_{ \phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}\|}},\phi _{1}^{-1 }(x)\right).\end{wyrównany}}}$

Problem wariacyjny LDDMM jest zdefiniowany jako

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ min _ {v: {\ kropka {\ phi}} _ {t} = v_ {t} \ circ \ phi _ {t} \ phi _ {0} = {id }}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dx\ dt+\lambda \int _{R^{3}}\|\ log _{(D\phi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \phi _{1}^{-1}(x)}(\psi _{\mathrm {targ} } (x))\|_{(D\phi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \phi _{1}^{-1}(x)}^{2}dx\ koniec{wyrównany}}}$.

Hamiltonian LDDMM do gęstego dopasowania obrazu

Beg rozwiązał wczesne algorytmy LDDMM, rozwiązując dopasowanie wariacyjne biorąc wariacje w odniesieniu do pól wektorowych. Inne rozwiązanie autorstwa Vialarda reparametryzuje problem optymalizacji ze względu na stan , dla obrazu , z równaniem dynamiki kontrolującym stan przez sterowanie podane w postaci równania adwekcji według . Termin dopasowania punktu końcowego daje problem wariacyjny: ${\ Displaystyle q_ {t} \ doteq I \ circ \ phi _ {t} ^ {-1}, q_ {0} = ja}$${\ Displaystyle I (x), x \ w X = R ^ {3}}$${\ Displaystyle {\ kropka {q}} _ {t} = - \ nabla q_ {t} \ cdot v_ {t}}$${\ Displaystyle E (q_ {1}) \ doteq {\ Frac {1} {2}} \ | Q_ {1}-J \ | ^ {2}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {macierz} i \ \ \ \ \ \ min _ {v: {\ kropka {q}} = v \ circ q} C (v) \ doteq {\ Frac {1} {2}} \int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+{\frac {1}{2}}\int _{{\mathbb {R } }^{3}}|q_{1}(x)-J(x)|^{2}dx\end{macierz}}}$

( Advective-State-Image-Matching )

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} {\ tekst {Hamiltonian Dynamics}} i \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\ kropka {q}}_ {t} = - \ nabla q_ {t} \ cdot v_ {t}\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\dot {p}}_{t}=-{\text{div}}(p_{t}v_{t}),\ \ \ \ t\in [0,1]\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Av_{t}=\mu _{t}=-p_{t}\nabla q_{t}\\{\text {Warunek punktu końcowego}}&\ \ \ \ \ \ \ \ \ p_{1}=-{\frac {\partial E}{\partial q_{1}}}(q_{1})=-(q_{1 }-J)=-(I\circ \phi _{1}^{-1}-J)\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Av_{1}=\mu _{1}=( I\circ \phi _{1}^{-1}-J)\nabla (I\circ \phi _{1}^{-1})\ \ t=1\ .\\{\text{Zachowana dynamika }}&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ p_{t}=-(I\circ \phi _{t}^{-1}-J\circ \phi _{t1})|D\phi _ {t1}|\ ,\ \ t\w [0,1]\ .\\\end{przypadki}}}$

( Warunek dopasowania Hamiltona )

Oprogramowanie do mapowania dyfeomorficznego

Pakiety oprogramowania zawierające różne algorytmy mapowania diffeomorficznego obejmują:

• Deformometria
• mrówki
• Morfometria oparta na wokselach DARTEL (VBM)
• DEMONY
• LDDMM
• StacjonarnyLDDMM

Oprogramowanie w chmurze

• MRICloud

Zobacz też

• Anatomia obliczeniowa # Gęste dopasowanie obrazu w anatomii obliczeniowej
• Metryka riemannowska i nawias Lie w anatomii obliczeniowej
• Bayesowski model anatomii obliczeniowej

Bibliografia

Dalsza lektura

• Ceritoglu, puszka; Wang, Lei; Selemona, Lynn D.; Csernansky, John G.; Miller, Michael I.; Ratnanather, J. Tilak (28.05.2010). "Rejestracja dyfeomorficznego mapowania metrycznego dużych deformacji zrekonstruowanych trójwymiarowych obrazów histologicznych przekrojów i obrazów MR in vivo" . Granice w ludzkiej neuronauce . 4 : 43. doi : 10.3389/fnhum.201000043 . ISSN  1662-5161 . PMC  2889720 . PMID  20577633 .