Nierówność Karamaty - Karamata's inequality

W matematyce , nierówność Karamata za , nazwany Jovan Karamata , znany również jako nierówności majorization , jest twierdzeniem algebry elementarnej dla wypukłe i wklęsłe funkcji o wartościach rzeczywistych, określona na przedziale rzeczywistej linii. Uogólnia dyskretną postać nierówności Jensena i uogólnia z kolei koncepcję funkcji wypukłych Schura .

Stwierdzenie nierówności

Pozwól $mi$ być przerwa na prostej rzeczywistej i niech $f$ oznaczają prawdziwe wycenione, wypukłość funkcji zdefiniowanej na $I$ . Jeśli $x 1,\dots, x n$ i $y 1,\dots, y n$ są liczbami w $I,$ takimi, że $(x 1,\dots, x n) ma$ większe znaczenie $(y 1,\dots, y n)$ , to

{\ Displaystyle f (x_ {1}) + \ cdots + f (x_ {n}) \ geq f (y_ {1}) + \ cdots + f (y_ {n}).}

( 1 )

Tutaj majorizacja oznacza, że $x 1,\dots, x n$ i $y 1,\dots, y n$ spełnia

{\ Displaystyle x_ {1} \ geq x_ {2} \ geq \ cdots \ geq x_ {n}}

i

{\ Displaystyle y_ {1} \ geq y_ {2} \ geq \ cdots \ geq y_ {n},}

( 2 )

i mamy nierówności

{\ Displaystyle x_ {1} + \ cdots + x_ {i} \ geq y_ {1} + \ cdots + y_ {i}}

dla wszystkich

i \in {1,\dots, n - 1}

.

( 3 )

i równość

{\ Displaystyle x_ {1} + \ cdots + x_ {n} = y_ {1} + \ cdots + y_ {n}}

( 4 )

Jeśli $f$ jest funkcją ściśle wypukłą , to nierówność ( 1 ) zachodzi z równością wtedy i tylko wtedy, gdy mamy $x i = y i$ dla wszystkich $i \in {1,\dots, n}$ .

Uwagi

Jeśli wypukła funkcja

f

jest nie maleje , wówczas potwierdzenie ( 1 ) poniżej i dyskusja równości w przypadku surowych pokazuje wypukłości że równość ( 4 ) może być zrelaksowany

{\ Displaystyle x_ {1} + \ cdots + x_ {n} \ geq y_ {1} + \ cdots + y_ {n}.}

( 5 )

Nierówność ( 1 ) jest odwracana, jeśli $f$ jest wklęsłe , ponieważ w tym przypadku funkcja $- f$ jest wypukła.

Przykład

Skończona forma nierówności Jensena jest szczególnym przypadkiem tego wyniku. Rozważmy liczby rzeczywiste $x 1,\dots, x n \in I$ i niech

{\ Displaystyle a: = {\ Frac {x_ {1} + X_ {2} + \ cdots + X_ {n}} {n}}}

oznaczają ich średnią arytmetyczną . Wtedy $(x 1,\dots, x n)$ zwiększa $n-$ krotność $(a, a,\dots, a)$ , ponieważ średnia arytmetyczna $i$ największych liczb $(x 1,\dots, x n)$ jest co najmniej tak duża, jak średnia arytmetyczna $a$ wszystkich $n$ liczb, dla każdego $i \in {1,\dots, n - 1}$ . Z nierówności Karamaty ( 1 ) dla funkcji wypukłej $f$ ,

{\ Displaystyle f (x_ {1}) + f (x_ {2}) + \ cdots + f (x_ {n}) \ geq f (a) + f (a) + \ cdots + f (a) = nf (za).}

Dzielenie przez $n$ daje nierówność Jensena. Znak jest odwrócony, jeśli $f$ jest wklęsłe.

Dowód nierówności

Możemy założyć, że liczby są w porządku malejącym, jak określono w ( 2 ).

Jeśli $x i = y i$ dla wszystkich $i \in {1,\dots, n}$ , to nierówność ( 1 ) zachodzi z równością, stąd możemy założyć dalej, że $x i \neq y i$ dla co najmniej jednego $i$ .

Jeśli $x i = y i$ dla $i \in {1,\dots, n - 1}$ , to nierówność ( 1 ) i właściwości majoryzacji ( 3 ) i ( 4 ) nie ulegną zmianie, jeśli usuniemy $x i$ oraz $y i$ . Stąd możemy założyć, że $x i \neq y i$ dla wszystkich $i \in {1,\dots, n - 1}$ .

Jest to właściwość funkcji wypukłych , że dla dwóch liczb $x \neq y$ w przedziale $I$ nachylenie

{\ Displaystyle {\ Frac {f (x) -f (y)} {xy}}}

od siecznych linią przechodzącą przez punkty $(x, f (x))$ i $(a, f (r))$ na wykresie z $F$ jest monotonicznie bez zmniejszenia funkcji w $x$ do $y$ stałej (i odwrotnie ). To daje do zrozumienia ze

{\ displaystyle c_ {i + 1}: = {\ frac {f (x_ {i + 1}) - f (y_ {i + 1})} {x_ {i + 1} -y_ {i + 1}} } \ leq {\ frac {f (x_ {i}) - f (y_ {i})} {x_ {i} -y_ {i}}} =: c_ {i}}

( 6 )

dla wszystkich $i \in {1,\dots, n - 1}$ . Zdefiniuj $A 0 = B 0 = 0$ i

{\ Displaystyle A_ {i} = x_ {1} + \ cdots + x_ {i}, \ qquad B_ {i} = y_ {1} + \ cdots + y_ {i}}

dla wszystkich $i \in {1,\dots, n}$ . Przez własność majoryzacji ( 3 ), $A i \geq B i$ dla wszystkich $i \in {1,\dots, n - 1}$ i według ( 4 ), $A n = B n$ . W związku z tym,

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ bigl (} f (x_ {i}) - f (y_ {i}) {\ bigr)} & = \ suma _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (x_ {i} -y_ {i}) \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} {\ bigl (} \ underbrace {A_ {i} -A_ {i-1}} _ {= \, x_ {i}} {} - (\ underbrace {B_ {i} -B_ {i-1}} _ {= \, y_ {i}}) {\ bigr)} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (A_ {i} -B_ {i}) - \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (A_ {i-1} -B_ {i-1}) \\ & = c_ {n} (\ underbrace {A_ {n} -B_ {n}} _ {= \, 0}) + \ sum _ {i = 1} ^ {n- 1} (\ underbrace {c_ {i} -c_ {i + 1}} _ {\ geq \, 0}) (\ underbrace {A_ {i } -B_ {i}} _ {\ geq \, 0}) - c_ {1} (\ underbrace {A_ {0} -B_ {0}} _ {= \, 0}) \\ & \ geq 0, \ end {aligned}}}

( 7 )

co dowodzi nierówności Karamaty ( 1 ).

Aby omówić przypadek równości w ( 1 ), zauważ, że $x 1 > y 1$ przez ( 3 ) i nasze założenie $x i \neq y i$ dla wszystkich $i \in {1,\dots, n - 1}$ . Niech $ja$ będzie najmniejszym indeksem takim, że $(x i, y i) \neq (x i +1, y i +1)$ , który istnieje dzięki ( 4 ). Wtedy $A i > B i$ . Jeśli $f$ jest ściśle wypukłe, to istnieje ścisła nierówność w ( 6 ), co oznacza, że $c i +1 < c i$ . Stąd w sumie po prawej stronie ( 7 ) znajduje się wyraz ściśle pozytywny, a równość w ( 1 ) nie może być zachowana.

Jeśli funkcja wypukła $f$ nie maleje, to $c n \geq 0$ . Warunek zrelaksowany ( 5 ) oznacza, że $A n \geq B n$ , co jest wystarczające, aby stwierdzić, że $c n (A n - B n) \geq 0$ w ostatnim kroku ( 7 ).

Jeśli funkcja $f$ jest ściśle wypukła i nie maleje, to $c n > 0$ . Pozostaje tylko omówić przypadek $A n > B n$ . Jednak po prawej stronie ( 7 ) znajduje się ściśle pozytywny termin, a równość w ( 1 ) nie może dotyczyć.

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Wyjaśnienie teorii nierówności i majoryzacji Karamaty można znaleźć tutaj .

Languages

In other projects