Twierdzenie Hopfa – Rinowa - Hopf–Rinow theorem
Hopf-Rinow twierdzenie jest zbiorem stwierdzeń dotyczących geodezyjnej kompletności z rozmaitości Riemanna . Został nazwany na cześć Heinza Hopfa i jego ucznia Willi Rinowa , który opublikował ją w 1931 roku.
Komunikat
Niech ( M , g ) będzie połączoną rozmaitością riemannowską. Wtedy poniższe stwierdzenia są równoważne:
- Te zamknięte i ograniczone podzbiory o M są zwarte ;
- M to pełna przestrzeń metryczna ;
- M jest geodezyjnie kompletna; czyli dla każdego p w M The wykładniczy mapa exp p określa się na całej przestrzeni stycznej T p M .
Co więcej, każde z powyższych implikuje, że biorąc pod uwagę dowolne dwa punkty p i q w M , istnieje minimalna długość geodezyjna łącząca te dwa punkty (geodezja jest ogólnie punktami krytycznymi dla długości funkcjonalnej i może, ale nie musi, być minimami).
Wariacje i uogólnienia
- Twierdzenie Hopfa – Rinowa uogólniono na przestrzenie długościowo-metryczne w następujący sposób:
- Jeśli metryczna przestrzeń długości ( M , d ) jest kompletna i lokalnie zwarta, wówczas dowolne dwa punkty w M można połączyć za pomocą minimalizującej geodezyjnej , a każdy ograniczony zamknięty zbiór w M jest zwarty .
- Twierdzenie nie zachowuje się w nieskończonych wymiarach: ( Atkin 1975 ) wykazał, że dwa punkty w nieskończenie wymiarowej kompletnej rozmaitości Hilberta nie muszą być połączone geodezyjnie.
- Twierdzenie to również nie uogólnia rozmaitości Lorentza : torus Cliftona-Pohla dostarcza przykładu, który jest zwarty, ale niekompletny.
Uwagi
Bibliografia
- Jürgen Jost (28 lipca 2011). Riemannian Geometry and Geometric Analysis (6th Ed.) . Universitext. Springer Science & Business Media. doi : 10.1007 / 978-3-642-21298-7 . ISBN 978-3-642-21298-7 . Patrz sekcja 1.7 .
- Voitsekhovskii, MI (2001) [1994], "Twierdzenie Hopfa-Rinowa" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press