Kryterium Hilberta-Mumforda - Hilbert–Mumford criterion

W matematyce The kryterium Hilberta-Mumford wprowadzony przez Davida Hilberta i David Mumford , charakteryzuje semistable i stabilnych punktów o działaniu grupy na przestrzeni wektorowej w zakresie wartości własnych w jeden parametr podgrup (Dieudonne & Carrell  1970 , 1971 , s. 58).

Definicja stabilności

Gdy ciężar na włóknie powyżej granicy x ₀ jest dodatni, punkt x jest ustawiany na 0 wzdłuż działania C ^*, a zamknięcie orbity zawiera 0 . Gdy waga jest dodatnia, x przesuwa się do nieskończoności, a orbita jest zamknięta.

Niech G będzie grupą redukcyjną działającą liniowo na przestrzeni wektorowej V , niezerowy punkt V nazywamy

• półstabilny, jeśli 0 nie jest zawarte w zamknięciu jego orbity i niestabilny w przeciwnym razie;
• stabilny, jeśli jego orbita jest zamknięta, a jego stabilizator jest skończony. Punkt stabilny to fortiori półstabilny . Punkt półstabilny, ale niestabilny nazywamy ściśle półstabilnym .

Gdy G jest grupą multiplikatywną , np. C ^* w układzie złożonym , działanie sprowadza się do reprezentacji skończenie wymiarowej . Możemy rozłożyć V na sumę prostą , gdzie na każdym składniku V _i działanie jest podane jako . Liczba całkowita i nazywana jest wagą. Następnie dla każdego punktu x patrzymy na zbiór wag, w którym ma on niezerowy składnik. ${\ Displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}$${\ Displaystyle \ lambda \ dwukropek \ mathbf {C} ^ {*} \ do \ operatorname {GL} (V)}$${\ Displaystyle V = \ textstyle \ bigoplus _ {i} V_ {i}}$${\ Displaystyle \ lambda (t) \ cdot v = t ^ {i} v}$

• Jeśli wszystkie wagi są ściśle dodatnie, to , więc 0 jest w domknięciu orbity x , tj. x jest niestabilne;${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do 0} \ lambda (t) \ cdot x = 0}$
• Jeśli wszystkie wagi są nieujemne, gdzie 0 jest wagą, wtedy albo 0 jest jedyną wagą, w którym to przypadku x jest stabilizowane przez C ^* ; lub istnieją jakieś dodatnie wagi poza 0, wtedy granica jest równa składowej wagi 0 x , która nie znajduje się na orbicie x . Tak więc te dwa przypadki odpowiadają dokładnie odpowiedniemu uszkodzeniu dwóch warunków w definicji punktu stabilnego, tj. pokazaliśmy, że x jest ściśle półstabilny.${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do 0} \ lambda (t) \ cdot x}$

Oświadczenie

Kryterium Hilberta-Mumforda zasadniczo mówi, że przypadek grupy multiplikatywnej jest sytuacją typową. Dokładnie, dla ogólnej grupy redukcyjnej G działającej liniowo na przestrzeni wektorowej V , stabilność punktu x można scharakteryzować poprzez badanie 1-parametrowych podgrup G , które są nietrywialnymi morfizmami . Zauważ, że wagi dla odwrotności są dokładnie minus wagi , więc instrukcje mogą być symetryczne. ${\ Displaystyle \ lambda \ dwukropek \ mathbb {G} _ {m} \ do G}$${\ Displaystyle \ lambda ^ {-1}}$${\ Displaystyle \ lambda}$

• Punkt x jest niestabilny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje jednoparametrowa podgrupa G, dla której x dopuszcza tylko wagi dodatnie lub tylko wagi ujemne; równoważnie, x jest półstabilne wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma takiej podgrupy 1-parametrowej, tj. dla każdej podgrupy 1-parametrowej istnieją zarówno wagi niedodatnie, jak i nieujemne;
• Punkt x jest ściśle półstabilny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje 1-parametrowa podgrupa G, dla której x przyjmuje 0 jako wagę, przy czym wszystkie wagi są nieujemne (lub niedodatnie);
• Punkt x jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje jednoparametrowa podgrupa G, dla której x dopuszcza tylko wagi nieujemne lub tylko wagi niedodatnie, tj. dla każdej podgrupy 1-parametrowej występują zarówno wagi dodatnie, jak i ujemne.

Przykłady i zastosowania

Działanie C ^* na płaszczyznę C ² , przy czym orbity są stożkami płaszczyzny (hiperbolami).

Działanie C ^* w samolocie

Standardowym przykładem jest działanie C ^* na płaszczyźnie C ² zdefiniowanej jako . Oczywiście waga w kierunku x wynosi 1, a waga w kierunku y wynosi -1. Zatem według kryterium Hilberta-Mumforda niezerowy punkt na osi x dopuszcza 1 jako jedyną wagę, a niezerowy punkt na osi y dopuszcza -1 jako jedyną wagę, więc oba są niestabilne; ogólny punkt na płaszczyźnie dopuszcza zarówno 1, jak i -1 jako ciężary, więc jest stabilny. ${\ Displaystyle t \ cdot (x, y) = (tx, t ^ {-1} y)}$

Punkty w P ¹

Wiele przykładów pojawia się w problemach moduli . Rozważmy na przykład zbiór n punktów na krzywej wymiernej P ¹ (dokładniej, podschemat długości n z P ¹ ). Grupa automorfizmu P ¹ , PSL(2, C ), działa na takie zbiory (podschematy), a kryterium Hilberta-Mumforda pozwala nam określić stabilność przy tym działaniu.

Możemy zlinearyzować problem, identyfikując zbiór n punktów z wielomianem jednorodnym stopnia- n w dwóch zmiennych. Rozważamy zatem działanie SL(2, C ) na przestrzeni wektorowej takich wielomianów jednorodnych. Mając podgrupę 1-parametrową , możemy wybrać współrzędne x i y tak, aby działanie na P ¹ było podane jako ${\ Displaystyle H ^ {0} ({\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {P} ^ {1}} (n))}$${\ Displaystyle \ Lambda \ dwukropek \ mathbf {C} ^ {*} \ do \ operatorname {SL} (2 \ mathbf {C})}$

${\ Displaystyle \ lambda (t) \ cdot [x: y] = [t ^ {k} x: t ^ {-k} y].}$

Dla jednorodnego wielomianu formy termin ma wagę k (2 i - n ). Zatem wielomian dopuszcza zarówno wagi dodatnie, jak i ujemne (odpowiednio niedodatnie i nieujemne) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją wyrazy z i > n /2 oraz i < n/2 (odp. i ≥ n /2 oraz i ≤ n/2 ). W szczególności krotność x lub y powinna wynosić < n /2 (rep. ≤ n /2). Jeśli powtórzymy dla wszystkich podgrup 1-parametrowych, możemy otrzymać ten sam warunek wielokrotności dla wszystkich punktów w P ¹ . Przez kryterium Hilberta-Mumford wielomian (a tym samym zestaw n punktów) jest stabilna (odpowiednio, pół-stałe), wtedy i tylko wtedy, gdy mnogość w każdym momencie jest < n / 2 (wzgl. ≤ n / 2). ${\ Displaystyle \ textstyle \ suma _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {i} y ^ {ni}}$${\ Displaystyle x ^ {i} y ^ {ni}}$

Samolot kubiki

Podobną analizę przy użyciu wielomianu jednorodnego można przeprowadzić w celu określenia stabilności sześcianów płaskich . Kryterium Hilberta-Mumforda pokazuje, że płaszczyzna sześcienna jest stabilna wtedy i tylko wtedy, gdy jest gładka; jest półstabilna wtedy i tylko wtedy, gdy w najgorszym wypadku dopuszcza zwykłe podwójne punkty jako osobliwości ; sześcian z gorszymi osobliwościami (np. wierzchołek ) jest niestabilny.

Zobacz też

• Geometryczna teoria niezmiennicza
• Iloraz GIT

Bibliografia

• Dieudonné, Jean A .; Carrell, James B. (1970), „Teoria niezmiennicza, stare i nowe”, Postępy w matematyce , 4 : 1-80, doi : 10.1016/0001-8708(70) 90015-0 , ISSN  0001-8708 , MR  0255525
• Dieudonné, Jean A .; Carrell, James B. (1971), Teoria niezmiennicza, stare i nowe , Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-215540-6, MR  0279102
• Harris, Joe ; Morrison, Ian (1998), Moduli of Curves , Springer , doi : 10.1007/b98867
• Thomas, Richard P. (2006), „Uwagi dotyczące GIT i redukcji symplektycznej dla wiązek i odmian”, Surveys in Differential Geometry , 10 , arXiv : math/0512411v3