Hasse-Arf twierdzenie - Hasse–Arf theorem

W matematyce , zwłaszcza w lokalnym teorii pola klasa The twierdzenie Hasse-Arf jest wynikiem dotyczące skoków z górnej numeracji filtracji Grupa Galois skończonej rozszerzeniem Galois . Szczególny przypadek to gdy pola pozostałości są skończone pierwotnie udowodnione przez Helmut Hasse , a ogólny wynik świadczy Cahit Arf .

Komunikat

Wyższe grupy rozgałęzienie

Zajmuje twierdzenie o wyższych numerach wyższych grup rozgałęzienie skończonej Abelowych przedłużacza L / K . Tak więc założyć, L / K jest ograniczony przedłużenie Galois, a V _K jest dyskretna znormalizowana wartość od K , którego reszta ma charakterystyczny pola p  > 0, i który przyjmuje unikalny rozszerzenie L , np wag . Oznaczmy przez v _L związanego znormalizowaną wyceny ew z L i niech będzie pierścień wartość od L zgodnie v _L . Niech L / K mają grupę Galois G i określenie s grupę -ty rozgałęzienie L / K dla każdego rzeczywistego s  ≥ -1 przez ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {o}}}$

${\ Displaystyle G_ {s} (l / K) = \ {\ Sigma \ G \,: \, V_ {L} (\ aa Sigma) \ geq s + 1 {\ tekst {wszystkie}} a \ w {\ mathcal {o}} \}.}$

Tak więc, na przykład, G _-1 oznacza grupę Galois G . Aby przejść do górnej numeracji trzeba się określenia funkcji * F _{L / K} , które z kolei jest odwrotnością funkcji r | _{l / K} określa

${\ Displaystyle \ r | _ {L / K} (s) = \ _ int {0} ^ {s} {\ Frac {} dx {| G_ {0}. G_ {x} |}}}$

Górna numeracja grup rozgałęzienie jest wtedy określony przez G ^T ( l / K ) =  G _s ( l / K ), gdzie s  =  * F _{l / K} ( t ).

Wyższe grupy rozgałęzienia G ^T ( L / K ) są zdefiniowane dla każdej rzeczywistej t  ≥ 1, ale ponieważ V _L to wartość dyskretną, grupy będzie zmieniać się w dyskretnych skoków i nie w sposób ciągły. W ten sposób, że T jest skok filtracji { G ^T ( l / K ):  t  ≥ -1}, jeżeli G ^T ( l / K ) ≠  G ^u ( l / K ) dla każdego U  >  t . Twierdzenie Hasse-Arf mówi nam arytmetyczną charakter tych skoków

Oświadczenie twierdzenia

Z powyższych konfiguracji, twierdzenie wskazuje, że skoki filtracji { G ^T ( l / K ):  t  ≥ -1} są racjonalne całkowitymi .

Przykład

Załóżmy, że G jest cyklicznym porządku , charakterystyczną i pozostałość jest podgrupa porządku . Twierdzenie mówi, że istnieją liczby całkowite dodatnie takie, że ${\ Displaystyle P ^ {n}}$${\ P} displaystyle$${\ Displaystyle g (i)}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle P {^}} Ni$${\ Displaystyle i_ {0} i_ {1}, ..., N-i_ {1}}$

${\ Displaystyle G_ {0} = \ cdots = G_ {i_ {} = 0} G G ^ = {0} = \ cdots = G ^ {i_ {0}}}$

${\ Displaystyle G_ {i_ {0} + 1} = \ cdots = G_ {i_ {0} + pi_ {1}} = G (1) = G ^ {i_ {0} + 1} = \ cdots = G ^ {i_ {0} + i_ {1}}}$

${\ Displaystyle G_ {i_ {0} + pi_ {1} + 1} = \ cdots = G_ {i_ {0} + pi_ {1} + p ^ {2} i_ {2}} = G (2) = G ^ {i_ {0} + i_ {1}}} +1$

...

${\ Displaystyle G_ {i_ {0} + pi_ {1} + \ cdots + p ^ N-1 {} i_ {n-1} + 1} = 1 = G ^ {i_ {0} + \ cdots + i_ { n-1} + 1}.}$

Rozszerzenia dla abelowe

Dla non-abelian rozszerzeń skoki w górnej filtracji nie musi być całkowite. Serre dał przykład całkowicie rozgałęzionej rozszerzenia z grupy Galois grupę Kwaterniony P ₈ porządku 8 z

• G ₀ = P ₈
• G ₁ = Q ₈
• G ₂ = Z / 2 Z
• G ₃ = Z / 2 Z
• G ₄ = 1

Górna numeracja następnie spełnia

• G ⁿ = Q ₈ dla n ≤1
• G ⁿ = Z / 2 Z dla 1 < n ≤3 / 2
• G ⁿ = 1 do 3/2 < N

zatem ma skok w niezintegrowanych wartości n = 3/2

Uwagi

Referencje

• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraiczna teoria liczb . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . 322 . Berlin: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-65399-8 . MR  1697859 . ZBL  0956.11021 .
• Serre, Jean-Pierre (1979), Lokalna Pola , absolwent Teksty w Matematyki, 67 , przekład Greenberg, Marvin Jay , Springer-Verlag , ISBN  0-387-90424-7 , MR  0554237 , ZBL  0423.12016