Suma Gaussa - Gauss sum

W algebraicznej teorii liczb , o Suma Gaussa lub suma Gaussa jest szczególnym rodzajem skończonej sumy z korzeni jedności , typowo

${\ Displaystyle G (\ chi): = G (\ chi, \ psi) = \ suma \ chi (r) \ cdot \ psi (r)}$

gdzie suma jest na elementy r z pewnym skończonym pierścienia przemiennego R , ψ jest homomorfizm grupę o dodatkowej grupy R ⁺ do okręgu jednostkowego , a χ jest homomorfizmem grupy z grupy jednostki R ^x w okręgu jednostkowym, rozszerzone na NON -unit r , gdzie przyjmuje wartość 0. Sumy Gaussa są analogami skończonych pól funkcji Gamma .

Takie sumy są wszechobecne w teorii liczb . Występują one, na przykład, w funkcjonalnych równań Dirichleta L działanie funkcji , w których dla postaci Dirichlet Ď równania dotyczące L ( s , Ď ) i L (1 -  S , χ ) (gdzie χ jest sprzężona z Ď ) wiąże się z pewnym czynnikiem

${\ Displaystyle {\ Frac {G (\ chi)} {| G (\ chi) |}}.}$

Historia

W przypadku początkowo uważane przez Carl Friedrich Gaussa była kwadratowa suma Gaussa dla R pole reszt modulo jest liczba pierwsza p i Ď na symbol Legendre'a . W tym przypadku Gaussa okazało się, że G ( χ ) = P ^{1 / 2} lub dootrzewnowo ^{1 / 2} do p przystającej 1 lub 3 modulo 4, odpowiednio (kwadratu sumy Gaussa można także oceniać za pomocą analizy Fouriera, a także integrację konturu ).

Alternatywną formą tej sumy Gaussa jest:

${\ Displaystyle \ sum e ^ {\ Frac {2 \ pi ir ^ {2}} {p}}}$

Kwadratowe sumy Gaussa są ściśle związane z teorią funkcji theta .

Ogólna teoria sum Gaussa została opracowana na początku XIX wieku z wykorzystaniem sum Jacobiego i ich pierwotnego rozkładu w polach cyklotomicznych . Sumy Gaussa na pierścieniu reszt liczb całkowitych mod N są liniowymi kombinacjami blisko spokrewnionych sum zwanych okresami Gaussa .

Wartość bezwzględną sum Gaussa można zwykle znaleźć jako zastosowanie twierdzenia Plancherela o grupach skończonych. W przypadku, gdy R oznacza pole p elementów i χ jest nietrywialna wartość bezwzględna jest P ^{1 / 2} . Określenie dokładnej wartości ogólnych sum Gaussa, po wyniku Gaussa w przypadku kwadratowym, jest problemem od dawna. W niektórych przypadkach patrz suma Kummera .

Własności sum Gaussa znaków Dirichleta

Suma Gaussa znaku Dirichleta modulo N jest

${\ Displaystyle G (\ chi) = \ suma _ {a = 1} ^ {N} \ chi (a) e ^ {\ Frac {2 \ pi ia} {N}}.}$

Jeśli χ jest również prymitywne , to

${\ displaystyle | G (\ chi) | = {\ sqrt {N}},}$

w szczególności jest różna od zera. Ogólniej, jeśli N ₀ jest dyrygent z Ď i χ ₀ jest prymitywny Dirichleta modulo postać N ₀ , który indukuje × , wówczas suma Gauss z Ď jest związana z tą × ₀ przez

${\ Displaystyle G (\ chi) = \ mu \ lewo ({\ Frac {N} {N_ {0}}} \ prawo) \ chi _ {0} \ lewo ({\ Frac {N} {N_ {0} }} \ right) G \ left (\ chi _ {0} \ right)}$

gdzie μ jest funkcją Möbiusa . W konsekwencji G ( χ ) jest niezerowe dokładnie wtedy, gdy N / N ₀ jest wolny od kwadratów i względnie pierwszy do N ₀ .

Inne relacje między sumami G ( χ ) i Gaussa innych znaków obejmują

${\ Displaystyle G ({\ overline {\ chi}}) = \ chi (-1) {\ overline {G (\ chi)}},}$

gdzie χ jest złożonym sprzężonym znakiem Dirichleta, a jeśli χ ′ jest znakiem Dirichleta modulo N ′ takim, że N i N ′ są względnie pierwsze, to

${\ Displaystyle G \ lewo (\ chi \ chi ^ {\ pierwsza} \ prawej) = \ chi \ lewo (N ^ {\ pierwsza} \ po prawej) \ chi ^ {\ pierwsza} (N) G (\ chi) G \ left (\ chi ^ {\ prime} \ right).}$

Stosunek między G ( χχ ′) , G ( χ ) i G ( χ ′), gdy χ i χ ′ mają ten sam moduł (a χχ ′ jest prymitywny) jest mierzony przez sumę Jacobiego J ( χ , χ ′) . Konkretnie,

${\ Displaystyle G \ lewo (\ chi \ chi ^ {\ pierwsza} \ prawej) = {\ Frac {G (\ chi) G \ lewo (\ chi ^ {\ pierwsza} \ prawej)} {J \ lewo (\ chi, \ chi ^ {\ prime} \ right)}}.}$

Dalsze właściwości

• Sumy Gaussa mogą służyć do udowodnienia wzajemności kwadratowej , sześciennej i kwartalnej
• Sumy Gaussa mogą być używane do obliczania liczby rozwiązań równań wielomianowych w ciałach skończonych, a zatem mogą być używane do obliczania niektórych funkcji zeta

Zobacz też

• Twierdzenie Chowli – Mordella
• Eliptyczna suma Gaussa
• Okres Gaussa
• Relacja Hasse – Davenport
• Suma Jacobiego
• Twierdzenie Stickelbergera
• Kwadratowa suma Gaussa
• Suma Kummer

Bibliografia

• Apostol, Tom M. (1976), Wprowadzenie do analitycznej teorii liczb , Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN   978-0-387-90163-3 , MR   0434929 , Zbl   0335.10001
• Berndt, BC ; Evans, RJ; Williams, KS (1998). Sumy Gaussa i Jacobiego . Seria monografii i zaawansowanych tekstów Kanadyjskiego Towarzystwa Matematycznego. Wiley. ISBN   0-471-12807-4 . Zbl   0906.11001 .
• Irlandia, Kenneth; Rosen, Michael (1990). Klasyczne wprowadzenie do współczesnej teorii liczb . Teksty magisterskie z matematyki . 84 (wyd. 2). Springer-Verlag . ISBN   0-387-97329-X . Zbl   0712.11001 .
• Sekcja 3.4 Iwaniec, Henryk ; Kowalski, Emmanuel (2004), Analityczna teoria liczb , American Mathematical Society Colloquium Publications, 53 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN   978-0-8218-3633-0 , MR   2061214 , Zbl   1059.11001