Twierdzenie o czterech wierzchołkach - Four-vertex theorem
Cztery wierzchołki Twierdzenie o geometrii stanowi, że krzywizna funkcji prostego, zamknięta, gładka płaszczyzna krzywej ma co najmniej czterech lokalnych ekstremów (w szczególności, co najmniej dwa lokalne maksima i co najmniej dwóch lokalnych minimów). Nazwa wywodzi twierdzenie z konwencji wywołania punktu skrajnego krzywizny funkcjonować na wierzchołek . Twierdzenie to ma wiele uogólnień, w tym wersję dla krzywych przestrzennych, w których wierzchołek jest zdefiniowany jako punkt zanikającego skręcania .
Przykłady
Elipsa ma dokładnie cztery wierzchołki: dwa lokalne maksima krzywizny gdzie przecinają wielkiej osi elipsy i dwa lokalne minima krzywizny gdzie przecina oś pomocnicza. W okręgu każdy punkt jest zarówno lokalnym maksimum, jak i lokalnym minimum krzywizny, więc wierzchołków jest nieskończenie wiele.
Każda krzywa o stałej szerokości ma co najmniej sześć wierzchołków.
Historia
Twierdzenie o czterech wierzchołkach zostało po raz pierwszy udowodnione dla krzywych wypukłych (tj. krzywych o ściśle dodatniej krzywiźnie) w 1909 roku przez Syamadasa Mukhopadhyaya . Jego dowód wykorzystuje fakt, że punkt na krzywej jest ekstremum funkcji krzywizny wtedy i tylko wtedy, gdy okrąg oscylacyjny w tym punkcie ma kontakt czwartego rzędu z krzywą; na ogół okrąg oscylacyjny ma tylko kontakt trzeciego rzędu z krzywą. Twierdzenie o czterech wierzchołkach zostało udowodnione dla bardziej ogólnych krzywych przez Adolfa Knesera w 1912 roku przy użyciu argumentu rzutowego.
Dowód
Przez wiele lat dowód twierdzenia o czterech wierzchołkach pozostawał trudny, ale prosty i pojęciowy dowód dał Osserman (1985) , oparty na idei minimalnego koła zamykającego . Jest to okrąg, który zawiera daną krzywą i ma najmniejszy możliwy promień. Jeśli krzywa zawiera łuk koła, to ma nieskończenie wiele wierzchołków. W przeciwnym razie krzywa i okrąg muszą być styczne w co najmniej dwóch punktach, ponieważ okrąg, który dotykał krzywej w mniejszej liczbie punktów, może zostać zmniejszony, jednocześnie nadal go otaczając. Przy każdej styczności krzywizna krzywej jest większa niż krzywizna okręgu, w przeciwnym razie krzywa będzie kontynuowana od styczności na zewnątrz okręgu, a nie wewnątrz. Jednak pomiędzy każdą parą styczności krzywizna musi zmniejszyć się do wartości mniejszej niż okrąg, na przykład w punkcie uzyskanym przez przemieszczenie okręgu, aż nie będzie już zawierał żadnej części krzywej między dwoma punktami styczności i biorąc pod uwagę ostatni punkt kontaktu między przesuniętym okręgiem a krzywą. Dlatego istnieje lokalne minimum krzywizny pomiędzy każdą parą styczności, dające dwa z czterech wierzchołków. Pomiędzy każdą parą lokalnych minimów musi istnieć lokalne maksimum krzywizny (niekoniecznie w punktach styczności), dające dwa pozostałe wierzchołki.
Rozmawiać
Odwrotność twierdzenia o czterech wierzchołkach mówi, że każda ciągła funkcja okręgu o wartościach rzeczywistych, która ma co najmniej dwa lokalne maksima i dwa lokalne minima, jest funkcją krzywizny prostej, zamkniętej krzywej płaskiej. Odwrotność została udowodniona dla funkcji ściśle dodatnich w 1971 roku przez Hermana Glucka jako szczególny przypadek ogólnego twierdzenia o wstępnym przypisywaniu krzywizny n-sfer . Pełne odwrócenie twierdzenia o czterech wierzchołkach zostało udowodnione przez Björna Dahlberga krótko przed śmiercią w styczniu 1998 roku i opublikowane pośmiertnie. Dowód Dahlberga używa argumentu liczby nawijania, który pod pewnymi względami przypomina standardowy dowód topologiczny Podstawowego Twierdzenia Algebry .
Zastosowanie do mechaniki
Jednym z wniosków z twierdzenia jest to, że jednorodny płaski dysk toczący się po poziomej powierzchni pod wpływem grawitacji ma co najmniej 4 punkty równowagi. Dyskretna wersja tego jest taka, że nie może być wielokąta monostatycznego . Jednak w trzech wymiarach istnieją wielościany monostatyczne, a także wypukły, jednorodny obiekt z dokładnie 2 punktami równowagi (jeden stabilny i drugi niestabilny), Gömböc .
Odmiany dyskretne
Istnieje kilka dyskretnych wersji twierdzenia o czterech wierzchołkach, zarówno dla wielokątów wypukłych, jak i niewypukłych. Tutaj jest kilka z nich:
- (Bilinski) Ciąg kątów wielokąta równobocznego wypukłego o co najmniej czterech wierzchołkach ma co najmniej cztery ekstrema .
- Ciąg długości boków wielokąta równokątnego wypukłego o co najmniej czterech bokach ma co najmniej cztery ekstrema .
- (Musin) Okrąg opisany wokół trzech kolejnych wierzchołków wielokąta z co najmniej czterema wierzchołkami nazywany jest ekstremalnym, jeśli zawiera wszystkie pozostałe wierzchołki wielokąta lub nie ma żadnego z nich w swoim wnętrzu. Taki wielokąt wypukły jest ogólny, jeśli nie ma czterech wierzchołków na tym samym okręgu. Wtedy każdy ogólny wielokąt wypukły z co najmniej czterema wierzchołkami ma co najmniej cztery skrajne okręgi.
- ( Legendre – Cauchy ) Dwa wypukłe n -kąty o równej odpowiadającej długości boku mają albo zero albo co najmniej 4 zmiany znaku w sekwencji cyklicznej odpowiednich różnic kątów.
- ( AD Alexandrov ) Dwa wypukłe n- gony o równoległych odpowiadających bokach i równym polu mają albo zero albo co najmniej 4 zmiany znaków w sekwencji cyklicznej odpowiadających różnic długości boków.
Niektóre z tych odmian są silniejsze niż inne, a wszystkie z nich implikują (zwykle) twierdzenie o czterech wierzchołkach przez argument graniczny.
Uogólnienia do krzywej przestrzennej
Stereograficzny występ z obszaru płaszczyzny zachowuje punktów krytycznych geodezyjnej krzywizny . Tak więc proste zamknięte krzywe sferyczne mają cztery wierzchołki. Ponadto na kuli wierzchołki krzywej odpowiadają punktom, w których zanika jej skręcanie . Tak więc w przypadku krzywych przestrzennych wierzchołek jest definiowany jako punkt zanikającego skręcania. W 1994 roku VD Sedykh wykazał, że każda prosta krzywa przestrzeni zamkniętej, która leży na granicy ciała wypukłego, ma cztery wierzchołki. W 2017 roku Mohammad Ghomi uogólnił twierdzenie Sedykha na wszystkie krzywe wiążące lokalnie wypukły dysk.
Zobacz też
Bibliografia
Linki zewnętrzne
- Twierdzenie o czterech wierzchołkach i jego przeciwieństwo — artykuł wyjaśniający, który wyjaśnia prosty dowód twierdzenia o czterech wierzchołkach autorstwa Roberta Ossermana i dowód jego odwrotności przedstawiony przez Dahlberga, zawiera krótki przegląd rozszerzeń i uogólnień oraz szkice biograficzne Mukhopadhyaya, Knesera i Dahlberga.