Exsfera (wielościany) - Exsphere (polyhedra)

W geometrii The exsphere z powierzchni w regularnych wielościanu jest kula zewnątrz bryły, która styka się z twarzą i samoloty zdefiniowane rozszerzenie sąsiednie jest zwrócona na zewnątrz. Jest styczna do lica zewnętrznie i styczna do sąsiednich lic wewnętrznie.

Jest to trójwymiarowy odpowiednik excircle .

Sfera jest ogólniej dobrze zdefiniowana dla każdej ściany, która jest wielokątem foremnym i jest ograniczona przez ściany o tych samych kątach dwuściennych na wspólnych krawędziach. Twarze wielościanów półregularnych często mają różne typy twarzy, które przy każdym typie twarzy definiują różne rozmiary.

Parametry

Exsfera styka się z lico poliedronu foremnego w środku okręgu tej lica. Jeżeli promień ekssfery oznaczamy r _ex , promień tego okręgu r _w oraz kąt dwuścienny pomiędzy ścianą a przedłużeniem sąsiedniej ściany δ , środek ekssfery znajduje się z punktu widzenia na środku jednej z krawędzi twarz, przecinając dwuścienny kąt. W związku z tym

${\displaystyle \tan {\frac {\delta}{2}}={\frac {r_{\mathrm {ex}}}{r_{\mathrm {w}}}}.}$

δ jest 180-stopniowym uzupełnieniem wewnętrznego kąta twarzą w twarz.

Czworościan

W geometrii czworościanu o długości krawędzi a , mamy promień okręgu r _in = a /(2 √ 3 ) (otrzymany przez dwukrotne podzielenie powierzchni czołowej ( a ² √ 3 )/4 przez obwód 3 a ), kąt dwuścienny δ = π - arccos(1/3) , aw konsekwencji r _ex = a / √ 6 .

Sześcian

Promień exsfer 6 ścian sześcianu jest taki sam jak promień sfery wpisanej, ponieważ δ i jej dopełnienie są takie same, 90 stopni.

dwudziestościan

Kąt dwuścienny mający zastosowanie do dwudziestościanu wyprowadza się biorąc pod uwagę współrzędne dwóch trójkątów o wspólnej krawędzi, na przykład jedna ściana z wierzchołkami na

${\ Displaystyle (0,-1,g),(g,0,1),(0,1,g)}$

drugi w

${\ Displaystyle (1,-g,0),(g,0,1),(0,-1,g)}$

gdzie g jest złotym podziałem . Odjęcie współrzędnych wierzchołków definiuje wektory krawędzi,

${\ Displaystyle (g, 1,1-g), (-g, 1, g-1)}$

pierwszej twarzy i

${\ Displaystyle (g-1,g,1), (-g,-1,g-1)}$

z drugiej. Iloczyny poprzeczne krawędzi pierwszej i drugiej ściany dają (nieznormalizowane) wektory normalne ścian

${\ Displaystyle (2g-2,0,2g)\sim (g-1,0,g)}$

pierwszego i

${\ Displaystyle (g ^ {2}-g + 1, -g-(g-1) ^ {2}, 1-g + g ^ {2}) = (2,-2,2) \ SIM (1 ,-1,1)}$

drugiej powierzchni, używając g ² =1+g . Iloczyn skalarny pomiędzy tymi dwiema normalnymi do twarzy otrzymano cosinus dwuścienny kąt

${\ Displaystyle \ cos \ delta = {\ Frac {(g-1) \ cdot 1 + g \ cdot 1 {{\ sqrt {(g-1) ^ {2} + g ^ {2}}} {\ sqrt {3}}}}={\frac {2g-1}{3}}={\frac {\surd 5}{3}}\ok 0,74535599.}$ OEIS :  A208899

${\ Displaystyle \ dlatego \ delta \ około 0,72973 \ \ operatorname {rad} \ około 41,81 ^ {\ ok}}$

${\ Displaystyle \ dlatego \ tan {\ Frac {\ delta} {2}} = {\ Frac {\ sin \ delta} {1+ \ cos \ delta}} = {\ Frac {2} {3+ \ surd 5 }}\ok 0,3819660}$ OEIS :  A132338

Dla dwudziestościanu o długości krawędzi a , promień okręgu trójkątnych ścian wynosi r _in = a /(2 √ 3 ) i ostatecznie promień 20 ekssfery

${\ Displaystyle R_ {\ operatorname {ex} } = {\ Frac {a} {(3+ {\ sqrt {5}}) {\ sqrt {3}}}} \ około 0.1102641a.}$

Zobacz też

• Insfera

Zewnętrzne linki

• Gerber, Leon (1977). „Stowarzyszone i skośno-ortologiczne simpleksy” . Przeł. Jestem. Matematyka. Soc . 231 (1): 47–63. doi : 10.1090/S0002-9947-1977-0445393-6 . JSTOR  1997867 . MR  0445393 .
• Hadżdża, Mowaffaq (2005). „Centra Gergonne i Nagel n-wymiarowego simpleksu”. J. Geoma . 83 (1–2): 46–56. doi : 10.1007/s00022-005-0011-3 . S2CID  123076195 .