Logika doksastyczna - Doxastic logic

Logika doksastyczna jest rodzajem logiki związanej z wnioskowaniem o przekonaniach .

Termin doksastyczny wywodzi się ze starożytnego greckiego δόξα ( doxa , „opinia, przekonanie”), z którego zapożyczono również angielski termin doxa („popularna opinia lub przekonanie”). Zazwyczaj doxastic logika używa notacji oznacza „Uważa się, że jest to przypadek”, a zestaw oznacza się zestaw przekonań . W logice doksastycznej przekonanie traktowane jest jako operator modalny . ${\ Displaystyle {\ Mathcal {B}} x}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle \ mathbb {B}: \ lewo \ {b_ {1}, \ ldots, b_ {n} \ po prawej \}}$

Istnieje całkowity paralelizm między osobą, która wierzy w zdania, a formalnym systemem, który wyprowadza zdania. Korzystanie doxastic logikę, można wyrazić epistemiczną odpowiednik Gödla niezupełności twierdzenia o metalogice , a także twierdzenie lob za i inne metalogiki wyniki w kategoriach wiary.

Rodzaje rozumujących

Aby zademonstrować właściwości zbiorów przekonań, Raymond Smullyan definiuje następujące typy rozumowań:

• Dokładny rozumujący : Dokładny rozumujący nigdy nie wierzy w żadne fałszywe twierdzenie. (aksjomat modalny T )

${\ Displaystyle \ forall p: {\ mathcal {B}} p \ do p}$

• Niedokładny rozumujący : niedokładny rozumujący uważa, że ​​co najmniej jedna fałszywa propozycja.

${\ Displaystyle \ istnieje p: \ neg p \ klin {\ mathcal {B}} p}$

• Zarozumiały rozumujący : zarozumiały rozumujący wierzy, że jego przekonania nigdy nie są niedokładne.

${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} [\ neg \ istnieje p (\ neg p \ klin {\ mathcal {B}} p)] \ quad {\ tekst {lub}} \ quad {\ mathcal {B}} [\forall p({\mathcal {B}}p\do p)]}$

• Konsekwentny rozumujący : Konsekwentny rozumujący nigdy nie wierzy jednocześnie w zdanie i jego negację. (aksjomat modalny D )

${\ Displaystyle \ neg \ istnieje p: {\ mathcal {B}} p \ klin {\ mathcal {B}} \ neg p \ quad {\ tekst {lub}} \ quad \ forall p: {\ mathcal {B} }p\na \neg {\mathcal {B}}\neg p}$

• Normalny rozumujący : Normalny rozumujący to taki, który wierząc jednocześnie wierzy, że wierzy w p (aksjomat modalny 4 ).${\displaystyle p,}$

${\ Displaystyle \ forall p: {\ mathcal {B}} p \ do {\ mathcal {BB}} p}$

• Osobliwy rozumujący : osobliwy rozumujący wierzy w twierdzenie p, jednocześnie wierząc, że nie wierzy Chociaż osobliwy rozumujący może wydawać się dziwnym zjawiskiem psychologicznym (patrz paradoks Moore'a ), osobliwy rozumujący jest z konieczności niedokładny, ale niekoniecznie niespójny.${\displaystyle s.}$

${\ Displaystyle \ istnieje p: {\ mathcal {B}} p \ klin {\ mathcal {B \ neg B}} p}$

• Regularny rozumujący : Regularny rozumujący to taki, który wierząc , ale także wierzy .${\displaystyle p\do q}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}p\do {\mathcal {B}}q}$

${\ Displaystyle \ forall p \ forall q: {\ mathcal {B}} (p \ do q) \ do {\ mathcal {B}} ({\ mathcal {B}} p \ do {\ mathcal {B}} Q)}$

• Rozumowanie refleksyjne : Rozumowanie refleksyjne to takie, dla którego każde zdanie ma jakąś propozycję taką, w którą wierzy osoba prowadząca rozumowanie .${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q\equiv ({\mathcal {B}}q\do p)}$

${\displaystyle \forall p:\istnieje q{\mathcal {B}}(q\equiv ({\mathcal {B}}q\do p))}$

Jeśli refleksyjny myśliciel typu 4 [patrz niżej ] uważa , że uwierzy p. Jest to paralelizm twierdzenia Löba dla rozumujących.${\displaystyle {\mathcal {B}}p\do p}$

• Niestabilny rozumujący : niestabilny rozumujący to taki, który wierzy, że wierzy w jakąś tezę, ale w rzeczywistości w to nie wierzy. Jest to tak samo dziwne zjawisko psychologiczne jak osobliwość; jednak niestabilny sposób rozumowania niekoniecznie jest niespójny.

${\ Displaystyle \ istnieje p: {\ mathcal {B}} {\ mathcal {B}} p \ klin \ neg {\ mathcal {B}} p}$

• Stabilny system rozumowania : stabilny system rozumowania nie jest niestabilny. Oznacza to, że jeśli wierzą, to wierzą Zauważ, że stabilność jest odwrotnością normalności. Powiemy, że logiczne jest przekonany, że są stabilne, gdy dla każdej propozycji wierzą (wierząc: „Jeśli miałbym kiedykolwiek uwierzyć, że uważam to naprawdę uwierzą ”).${\displaystyle p,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}p}$${\displaystyle s.}$${\displaystyle p,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p\do {\mathcal {B}}p}$${\displaystyle p,}$${\displaystyle p}$

${\ Displaystyle \ forall p: {\ mathcal {BB}} p \ do {\ mathcal {B}} p}$

• Skromny rozumujący : Skromny rozumujący to taki, dla którego za każdą uważaną tezę , tylko jeśli wierzy . Skromny rozumujący nigdy nie wierzy, jeśli nie wierzy . Każdy refleksyjny rozumujący typu 4 jest skromny. ( Twierdzenie Löba )${\displaystyle p}$${\displaystyle {\mathcal {B}}p\do p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\mathcal {B}}p\do p}$${\displaystyle p}$

${\ Displaystyle \ forall p: {\ mathcal {B}} ({\ mathcal {B}} p \ do p) \ do {\ mathcal {B}} p}$

• Osoba queer rozumująca : osoba queer rozumująca jest typu G i uważa, że ​​jest niespójna, ale myli się w tym przekonaniu.
• Nieśmiały rozumujący : Nieśmiały rozumujący nie wierzy [boi się uwierzyć ], jeśli wierzy, że wiara prowadzi do sprzecznego przekonania.${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

${\ Displaystyle \ forall p: {\ mathcal {B}} ({\ mathcal {B}} p \ do {\ mathcal {B}} \ bot ) \ do \ neg {\ mathcal {B}} p}$

Rosnący poziom racjonalności

• Wnioskujący typu 1 : Wnioskujący typu 1 ma pełną wiedzę na temat logiki zdań, tj. prędzej czy później wierzy w każdą tautologię (każde zdanie, które można udowodnić za pomocą tabel prawdy ). Również ich zestaw przekonań (przeszłości, teraźniejszości i przyszłości) jest logicznie zamknięty w ramach modus ponens . Jeśli kiedykolwiek uwierzyć, a potem będzie (prędzej czy później) uwierzyć .${\displaystyle p}$${\displaystyle p\do q}$${\displaystyle q}$

${\ Displaystyle \ vdash _ {PC} p \ strzałka w prawo \ \ vdash {\ mathcal {B}} p}$

${\displaystyle \forall p\forall q:({\mathcal {B}}p\klin {\mathcal {B}}(p\do q))\do {\mathcal {B}}q)}$

Ta zasada może być również traktowana jako stwierdzenie, że przekonanie rozkłada się na implikację, ponieważ jest logicznie równoważne z:

${\ Displaystyle \ forall p \ forall q: {\ mathcal {B}} (p \ do q) \ do ({\ mathcal {B}} p \ do {\ mathcal {B}} q)}$.

• Rozumowanie typu 1* : Rozumowanie typu 1* wierzy we wszystkie tautologie; ich zestaw przekonań (przeszłości, teraźniejszości i przyszłości) jest logicznie zamknięty pod modus ponens, a dla wszelkich twierdzeń i jeśli uwierzą , to uwierzą, że jeśli uwierzą , to uwierzą . Wnioskujący typu 1* ma „o trochę więcej” samoświadomości niż wnioskujący typu 1.${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p\do q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

${\ Displaystyle \ forall p \ forall q: {\ mathcal {B}} (p \ do q) \ do {\ mathcal {B}} ({\ mathcal {B}} p \ do {\ mathcal {B}} Q)}$

• Rozumowanie typu 2 : Rozumowanie jest typu 2, jeśli są typu 1 i jeśli dla każdego i (słusznie) wierzą: „Jeśli kiedykolwiek uwierzę w oba i , to uwierzę ”. Będąc typem 1, wierzą również w logicznie równoważne twierdzenie: osoba rozumująca typu 2 wie, że ich przekonania są zamknięte w ramach modus ponens.${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p\do q}$${\displaystyle q}$${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (p \ do q) \ do ({\ mathcal {B}} p \ do {\ mathcal {B}} q).}$

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(({\mathcal {B}}p\klin {\mathcal {B}}(p\do q))\to {\mathcal {B }}Q)}$

• Rozumowanie typu 3 : Rozumowanie typu 3, jeśli jest normalnym wnioskowaniem typu 2.

${\ Displaystyle \ forall p: {\ mathcal {B}} p \ do {\ mathcal {B}} {\ mathcal {B}} p}$

• Rozumowanie typu 4 : Rozumowanie jest typu 4, jeśli są typu 3, a także uważają, że są normalne.

${\displaystyle {\mathcal {B}}[\forall p ({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p)]}$

• Wnioskujący typu G : Wnioskujący typu 4, który uważa, że ​​jest skromny.

${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} [\ forall p ({\ mathcal {B}} ({\ mathcal {B}} p \ do p) \ do {\ mathcal {B}} p)]}$

Samospełniające się przekonania

W przypadku systemów, definiujemy refleksyjność jako oznaczającą, że dla dowolnego (w języku systemu) istnieje takie, które można udowodnić w systemie. Twierdzenie Löba (w formie ogólnej) jest takie, że dla dowolnego systemu zwrotnego typu 4, jeśli jest w systemie udowodnione,${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q\equiv {\mathcal {B}}q\do p}$${\displaystyle {\mathcal {B}}p\do p}$${\displaystyle s.}$

Niespójność wiary we własną stabilność

Jeśli konsekwentny refleksyjny rozumujący typu 4 uważa, że ​​są one stabilne, wtedy staną się niestabilne. Inaczej mówiąc, jeśli stabilny refleksyjny rozumujący typu 4 uważa, że ​​są one stabilne, wtedy staną się niespójne. Dlaczego to? Załóżmy, że stabilny refleksyjny rozumujący typu 4 uważa, że ​​są one stabilne. Pokażemy, że (prędzej czy później) uwierzą w każdą tezę (a więc będą niespójne). Przyjmij dowolne zdanie Rozumujący wierzy, że dzięki twierdzeniu Löba uwierzą (ponieważ wierzą, gdzie jest zdanie, a więc uwierzą, które jest zdanie ). Będąc stabilnymi, wtedy uwierzą${\displaystyle p}$${\displaystyle s.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p\do {\mathcal {B}}p}$${\displaystyle {\mathcal {B}}p}$${\displaystyle {\mathcal {B}}r\do r}$${\ Displaystyle r}$${\displaystyle {\mathcal {B}}p}$${\displaystyle r}$${\displaystyle {\mathcal {B}}p}$${\displaystyle s.}$

Zobacz też

• Epistemiczna logika modalna
• Rewizja wiary
• Powszechna wiedza (logika)
• George Boolos
• Jaakko Hintikka
• Logika modalna
• Raymond Smullyan

Bibliografia

Dalsza lektura

• Lindström, ul. Rabinowicza, Wł. (1999). „DDL Unlimited. Dynamiczna logika doksastyczna dla agentów introspektywnych”. Erkenntnis . 51 (2-3): 353-385. doi : 10.1023/A:1005577906029 .
• Linski L. (1968). „O interpretacji logiki doksastycznej”. Czasopismo Filozofii . 65 (17): 500-502. JSTOR  2024352 .
• Segerberg, Kr. (1999). „Domyślna logika jako dynamiczna logika doksastyczna”. Erkenntnis . 50 (2–3): 333–352. doi : 10.1023/A: 1005546526502 .
• Wansing, H. (2000). „Redukcja logiki doksastycznej do logiki działania”. Erkenntnis . 53 (1–2): 267–283. doi : 10.1023/A:1005666218871 .