Cosinus kierunku - Direction cosine

W geometrii analitycznej , że cosinus kierunku (lub kierunkowe cosinus ) o wektorze są cosinus kątów pomiędzy wektorem i trzy dodatnie układu współrzędnych. Równoważnie są to wkłady każdego składnika bazy do wektora jednostkowego w tym kierunku. Cosinusy kierunku są analogicznym rozszerzeniem zwykłego pojęcia nachylenia do wyższych wymiarów.

Trójwymiarowe współrzędne kartezjańskie

Wektor v w R ³

Cosinusy kierunkowe i kąty kierunkowe dla wektora jednostkowego v /| v |

Jeśli v jest wektorem euklidesowym w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej , R ³ ,

${\ Displaystyle \ mathbf {v} = v_ {x} \ mathbf {e} _ {x} + v_ {y} \ mathbf {e} _ {y} + v_ {z} \ mathbf {e} _ {z} ,}$

gdzie e _x , e _y , e _oo są standardową podstawę w notacji kartezjańskim, to jest kierunek cosinus

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {2} \ alfa i {} = \ cos a = {\ Frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {e} _ {x}} {\ Vert \ mathbf {v } \Vert }}&&&{}={\frac {v_{x}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}} },\\\beta &{}=\cos b={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{y}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{} ={\frac {v_{y}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}},\\\gamma &{ }=\cos c={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{z}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{z }}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}.\end{alignedat}}}$

Wynika z tego, że podnosząc do kwadratu każde równanie i dodając wyniki

${\ Displaystyle \ cos ^ {2} a + \ cos ^ {2} b + \ cos ^ {2} c = \ alfa ^ {2} + \ beta ^ {2} + \ gamma ^ {2} = 1.}$

Tutaj α , β i γ są cosinusami kierunku i współrzędnymi kartezjańskimi wektora jednostkowego v /| v |, a a , b i c są kątami kierunkowymi wektora v .

Kąty kierunkowe a , b i c są kątami ostrymi lub rozwartymi , tj. 0 ≤ a ≤ π, 0 ≤ b ≤ π i 0 ≤ c ≤ π , i oznaczają kąty utworzone między v a wektorami bazowymi, e _x , e _y i e _z .

Ogólne znaczenie

Bardziej ogólnie, kierunek cosinus odnosi się do cosinusa kąta między dowolnymi dwoma wektorami . Są one przydatne do tworzenia macierzy kierunkowych cosinusów, które wyrażają jeden zbiór ortonormalnych wektorów bazowych w terminach innego zbioru, lub do wyrażania znanego wektora w innej bazie.

Zobacz też

• Tensor kartezjański

Bibliografia

• Kay, DC (1988). Rachunek tensorowy . Kontury Schauma. Wzgórze McGrawa. s. 18–19. Numer ISBN 0-07-033484-6.
• Spiegel, MR; Lipschutz, S.; Spellman, D. (2009). Analiza wektorowa . Zarysy Schauma (wyd. 2). Wzgórze McGrawa. s. 15, 25. ISBN 978-0-07-161545-7.
• Tyldesley, JR (1975). Wprowadzenie do analizy tensorowej dla inżynierów i naukowców stosowanych . Longmana. str. 5. Numer ISBN 0-582-44355-5.
• Tang, KT (2006). Metody matematyczne dla inżynierów i naukowców . 2 . Skoczek. str. 13. Numer ISBN 3-540-30268-9.
• Weisstein, Eric W. „Kierunek Cosinus” . MatematykaŚwiat .