Kowariantna transformacja - Covariant transformation

W fizyce , o kowariantna transformacja jest reguła określająca niektóre podmioty, takie jak wektorów lub tensorów , zmiany pod zmianą podstawy . Przekształcenie to opisuje nowe wektory bazowe jako liniowa kombinacja starych wektorów bazowych, jest zdefiniowane jako covariant transformacji . Tradycyjnie, wskaźniki określające wektorów bazowych są umieszczane w dolnych indeksów i tak są wszystkie podmioty, które przekształcają się w ten sam sposób. Odwrotność z kowariantna transformacji jest kontrawariantny transformacja . Ilekroć wektor powinien być niezmienny pod zmianą podstawy, to znaczy powinien on reprezentować tę samą geometryczną lub fizyczną przedmiot posiadający tę samą wielkość i kierunek jak poprzednio, jego elementy muszą przekształcać zgodnie z zasadą kontrawariantny. Tradycyjnie, wskaźniki określające składowe wektora są umieszczane jako górnych indeksach i tak są wszystkie indeksy podmiotów, które przekształcają się w ten sam sposób. Suma indeksów na dopasowanych par produktu z tymi samymi indeksami dolnymi i górnymi są niezmienne przy przekształceniu.

, Sama wektor jest geometryczny ilość zasady, niezależne (niezmienny), wybranej bazie. Wektor V jest podany, na przykład, w elementy v ⁱ w wybranym podłożu e _ı . Na innej podstawie, powiedzmy E ' _j , ten sam wektor v ma różne komponenty v ' ^j i

${\ Displaystyle \ mathbf {V} = \ suma _ {i} v ^ {i} {\ mathbf {e}} _ {i} = \ suma _ {j} {v '\,} ^ {j} \ mathbf {e} _ {j}.}$

W wektorze v powinna być niezmienna do wybranego systemu i niezależnie od wybranego podstawie współrzędnych, czyli jego kierunek „prawdziwy świat” i wielkość powinny pojawić się takie same, niezależnie od wektorów bazowych. Jeśli wykonujemy zmianę podstawy poprzez przekształcenie wektorów e _í do wektorów bazowych e _j , musimy również zapewnić, że składniki PRZECIWKO ⁱ przekształcić w nowe elementy v ^j kompensować.

Niezbędne transformacja v nazywamy przekształcenie kontrawariantny regułą.

W pokazanym przykładzie wykonania, wektor jest opisany za pomocą dwóch różnych układów współrzędnych: prostokątny układ (czarne siatki) koordynuje i system (czerwony) siatki współrzędnej promieniowym. Wektory bazowe zostały wybrane dla obu układów współrzędnych: e _X i E _Y prostokątnego układu współrzędnych, i e _r i e _φ promieniowego układu współrzędnych. Promieniowe wektorami bazowymi e _r i e _φ pojawiają się obracać w kierunku przeciwnym w stosunku do prostokątnego wektorów bazowych E _x i e _y . Kowariantna transformacji, przeprowadza się do wektorów bazowych, jest więc obrót w lewo, na przemian z pierwszych wektorów bazowych do drugiego wektorów bazowych. ${\ Displaystyle \ mathbf {V} = \ suma _ {i \ w \ {x, y \}} v ^ {i} {\ mathbf {e}} _ {i} = \ suma _ {j \ w \ { r \ cp \ {v}} '\,} {J ^} \ mathbf {e} _ j} {.}$

Współrzędne V musi być przekształcony w nowym układzie współrzędnych, a wektor V sam jako matematyczną obiektu pozostaje niezależny od podstawy wybrany, pojawia się skierowane w tym samym kierunku i o tej samej wielkości, niezmiennicze do zmiany współrzędnych , Kontrawariantny przetwarzania zapewnia to, kompensując obrotu pomiędzy różnymi zasadami. Jeśli spojrzymy V z kontekstu promieniowego układu współrzędnych, to wydaje się, że obraca się w prawo od więcej wektorów bazowych e _r i e _cp . w stosunku do tego, jak okazało się w stosunku do prostokątnego wektorami bazowymi e _x i e _y . Tak więc, konieczna kontrawariantny transformacji do V w tym przykładzie z ruchem wskazówek zegara.

Przykłady przemian covariant

Pochodna funkcji przekształca covariantly

Wyraźna postać covariant transformacji najlepiej wprowadzono własności przekształcania pochodnej funkcji. Rozważmy funkcja skalarna F (jak temperatura w miejscu w przestrzeni) zdefiniowanego dla zbioru punktów P , zidentyfikować w danym układzie współrzędnych (np zbiór jest zwany kolektor ). Jeśli przyjąć nowy układ współrzędnych , a następnie dla każdej I , przy współrzędnych może być wyrażony jako funkcja nowe współrzędne, tak Można ekspresji pochodnej f w nowe współrzędne, jeśli chodzi o starych współrzędnych, stosując zasadę łańcucha z następujących pochodna, w ${\ Displaystyle x ^ {i} \; i = 0,1,} \ kropki$${\ Displaystyle {x "} {J ^}, J = 0,1,} \ kropki$${\ Displaystyle {X} ^ {i}}$${\ Displaystyle x ^ {i} \ lewo ({X { '} ^ j} \ w prawo), J = 0,1,} \ kropki$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy f} {\ częściowy {X} ^ {i}}} = {\ Frac {\ częściowy f} {\ częściowy {x '} ^ {j}}} \ {\ Frac {\ częściowy {x "} {J ^}} {\ częściowy {x} ^ {i}}}}$

Jest to wyraźna forma transformacji kowariantna reguły. Oznaczenie normalnym pochodnej względem czasem współrzędnych przecinek w następujący

${\ Displaystyle f _ {, I} \ {\ stackrel {\ operatorname {def}}}} = {\ {\ Frac {\ częściowy f} {\ częściowy x ^ {i}}}}$

gdzie indeks i jest umieszczony w dolnym indeksem ze względu na covariant transformacji.

wektorów bazowych przekształcić covariantly

Wektor może być wyrażona w postaci wektorów bazowych. Na pewnym układzie współrzędnych, możemy wybrać wektor styczny do siatki współrzędnych. Ta podstawa jest nazywany podstawie współrzędnych.

W celu zilustrowania właściwości transformacji, za kolejny zbiór punktów P , identyfikację w danym układzie współrzędnych , gdzie ( kolektora ). Skalar funkcja f , który przypisuje liczbę rzeczywistą do każdego punktu P w tym miejscu, jest funkcją współrzędnych . Krzywa jest zbiór jednego parametru punktów C , powiedzmy z krzywą Î, C (X). Styczna wektor v do krzywej pochodnej wzdłuż krzywej z pochodną pobrana w punkcie P pod uwagę. Należy zauważyć, że można zobaczyć styczny wektor V jako operatora (The kierunkowe pochodna ), które mogą być stosowane do funkcji ${\ Displaystyle x ^ {i}}$${\ Displaystyle i = 0,1,} \ kropki$${\ Displaystyle f \; \ lewo (x ^ {0} x ^ {1}, \ kropki \ prawej)}$${\ Displaystyle DC / d \ N}$

${\ Displaystyle \ mathbf {v}, [F], \ {\ stackrel {\ operatorname {def}} {=}} \ {\ Frac {df} {d \ N}} = {\ Frac {d \, \,} {d \ N}} f (C (\ N))}$

Równolegle pomiędzy wektorem stycznym i operator może również pracował w układzie współrzędnych

${\ Displaystyle \ mathbf {v}, [F] = {\ Frac {dx ^ {i}} {d \ N}} {\ Frac {\ częściowy f} {\ częściowy x ^ {i}}}}$

czy chodzi o operatorów ${\ Displaystyle \ częściowy / \ częściowy x ^ {i}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {V} = {\ Frac {dx ^ {i}} {d \ N}} {\ Frac {\ częściowy \; \,} {\ częściowy x ^ {i}}} = {\ Frac {dx ^ {i}} {d \ N}} \ mathbf {e} _ {i}}$

gdzie pisaliśmy , wektory styczne do krzywych, które są po prostu sama siatka współrzędnych. ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {i} = \ częściowy / \ częściowy x ^ {i}}$

Jeśli przyjmiemy nowy układ współrzędnych , a następnie dla każdego I , stary współrzędnych może być wyrażona jako funkcja nowego systemu, więc niech będzie podstawę, wektor styczny w tym nowym układzie współrzędnych. Możemy wyrazić w nowym systemie, stosując regułę łańcuchową na x . Jako funkcję współrzędnych znaleźć następujące transformacji ${\ Displaystyle {x '} ^ {i} \; i = 0,1,} \ kropki$${\ Displaystyle {X ^ {i}}}$${\ Displaystyle x ^ {i} \ lewo ({X { '} ^ j} \ w prawo), J = 0,1,} \ kropki$${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {i} = {\ częściowy} / {\ częściowy {x '} ^ {i}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {i}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {i} = {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy {x '} ^ {i}}} = {\ Frac {\ częściowy x ^ {j}} {\ częściowy {x '} ^ {i}}} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x ^ {j}}} = {\ Frac {\ częściowy x ^ {j}} {\ częściowy {x'} ^ {i }}} \ mathbf {e} _ {j}}$

który jest w istocie taka sama jak covariant transformacji dla pochodnej funkcji.

transformacja kontrawariantny

Te składniki od A (stycznym) Wektor przekształcić w inny sposób, zwanej transformacji kontrawariantny. Rozważmy wektor styczny v i wywołać jego składników na bazie . Na innej podstawie nazywamy składniki , tak ${\ Displaystyle v ^ {i}}$${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {i}}$${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {i}}$${\ Displaystyle {v '} ^ {i}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {V} = v ^ {i} \ mathbf {e} _ {i} = {v '} ^ {i} \ mathbf {e} _ {i}}$

w którym

${\ Displaystyle v ^ {i} = {\ Frac {dx ^ {i}} {d \ N}} \ {\ mbox {i}} \ {v '} ^ {i} = {\ Frac {D {x '} ^ {i}} {d \ N}}}$

Jeśli wyrażamy nowe komponenty pod względem starych, a następnie

${\ Displaystyle {v '} ^ {i} = {\ Frac {d {x'} ^ {i}} {d \ N \, \;}} = {\ Frac {\ częściowy {x '} ^ {i }} {\ częściowy x ^ {j}}} {\ Frac {dx ^ {j}} {d \ N}} = {\ Frac {\ częściowy {x '} ^ {i}} {\ częściowy x ^ { J}}} {v}, {J ^}}$

Jest to wyraźna forma transformacji zwanej kontrawariantny transformacja i zauważamy, że jest inaczej i po prostu odwrotnością reguły kowariantna. W celu odróżnienia ich od covariant (stycznych) wektorów, indeks znajduje się na górze.

Formy różniczkowe przekształcić contravariantly

Przykładem kontrawariantny przekształcenia podany jest przez postać różnica DF . Na F w funkcji współrzędnych , DF może być wyrażona w kategoriach . Mechanizmy różnicowe dx przekształcać według kontrawariantny od reguły ${\ Displaystyle x ^ {i}}$${\ Displaystyle dx ^ {i}}$

${\ Displaystyle d {x '} ^ {i} = {\ Frac {\ częściowy {x'} ^ {i}} {\ częściowy {x} {J ^}}} dx {} {J ^}}$

właściwości Podwójne

Podmioty, które przetwarzają covariantly (jak wektorów bazowych) oraz te, które przekształcają contravariantly (jak składniki wektora i różniczkowych formach) są „prawie takie same”, a jednocześnie są one różne. Mają „dual” właściwości. Co za tym stoi, jest matematycznie znany jako podwójnego miejsca , które zawsze idzie w parze z danym liniowej przestrzeni wektorowej .

Ponosi żadnej T. przestrzeń wektorową Funkcja F na T nazywany jest liniowym, jeżeli z jakichkolwiek wektorów v , w a i skalarne:

${\ Displaystyle {\ {zaczynać wyrównane} f (\ mathbf {v} + \ mathbf {W}) i = f (\ mathbf {v}) + f (\ mathbf {W}) \\ f (\ a \ mathbf {v}) i = \ a f (\ mathbf {v},) \ {koniec wyrównane}}}$

Prostym przykładem jest to funkcja, która przypisuje wartości wektora jednego z jego składników (zwany w funkcji projekcji ). Ma wektor jako argument i przypisuje liczbę rzeczywistą, wartość składnika.

Wszystkie takie skalarne wartościach funkcje liniowe tworzą przestrzeń wektorową, zwanego podwójnego miejsca T. suma f + g ponownie funkcją liniową do liniowego f i g , a samo namnażanie do skalarnej alfa f .

Biorąc pod uwagę podstawę dla T, możemy zdefiniować podstawę, zwany podwójną podstawę dla podwójnej przestrzeni w sposób naturalny poprzez zestaw funkcji liniowych wymienionych powyżej: Funkcje projekcyjnych. Każda funkcja występ (indeksowane przez co) tworzy liczbę 1, gdy stosuje się jeden z wektorów bazowych . Na przykład, daje 1 na i zero gdzie indziej. Zastosowanie tej funkcji liniowej do wektora daje (używając jego liniowość) ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {i}}$${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {i}}$${\ Displaystyle \ omega ^ {0}}$${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {0}}$${\ Displaystyle {\ omega} ^ {0}}$${\ Displaystyle \ mathbf {V} = v ^ {i} \ mathbf {e} _ {i}}$

${\ Displaystyle \ omega ^ {0} (\ mathbf {v}) = \ omega ^ {0} (v ^ {i} \ mathbf {e} _ {i}) = v ^ {i} \ omega ^ {0 } (\ mathbf {e} _ {i}) = v ^ {0}}$

tak właśnie wartość pierwszej współrzędnej. Z tego powodu jest on nazywany funkcją projekcji .

Istnieje tak wiele wektory podwójnej podstawy jak są wektorami bazowymi , więc podwójną przestrzeń ma takie same wymiary jak sam przestrzeni liniowej. Jest to „prawie taka sama przestrzeń”, chyba że elementy podwójnej przestrzeni (zwane podwójne wektory ) przekształcić covariantly i elementy przestrzeń styczna wektora przekształcić contravariantly. ${\ Displaystyle \ omega ^ {i}}$${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {i}}$

Czasami dodatkowy zapis został wprowadzony w których rzeczywista wartość funkcji liniowej Ď na wektor styczny u jest podana jako

${\ Displaystyle \ Sigma [\ mathbf {u}]: = \ langle \ Sigma \ mathbf {u} \ rangle}$

gdzie jest liczbą rzeczywistą. Ten zapis podkreśla bilinear charakter postaci. Jest liniowy Ď ponieważ jest to funkcja liniowa, i jest liniowy u ponieważ jest elementem przestrzeni wektorowej. ${\ Displaystyle \ langle \ Sigma \ mathbf {u} \ rangle}$

Ko- i kontrawariantny elementy tensor

bez współrzędnych

Napinacz od typu ( R , s ) może być zdefiniowana jako wartościach rzeczywistych multilinear funkcji r dwoma wektorami i s wektorów. Ponieważ wektory i podwójne wektory mogą być zdefiniowane bez uzależnienia od systemu współrzędnych tensora zdefiniowane w ten sposób jest niezależny od wyboru układu współrzędnych.

Oznaczenie tensora jest

${\ Displaystyle {\ {zaczynać wyrównane} & t \ lewo (\ Sigma \ ldots \ rho \ mathbf {u} \ ldots \ mathbf {v}, \ prawej) \\\ równoważnika {T} i {^ { \ Sigma \ ldots \ rho}} _ {\ mathbf {u} \ ldots \ mathbf {v}} \ koniec {wyrównane}}}$

o podwójnej formy wektorów (różnicowy) p , Ď i stycznych wektorów . W drugiej notacji rozróżnienie między wektorami i form różnicowych jest bardziej oczywiste. ${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ mathbf {v}}$

ze współrzędnymi

Ponieważ tensor zależy liniowo od jej argumentów, jest całkowicie zdeterminowany jeśli ktoś zna wartości na zasadach i${\ Displaystyle \ omega ^ {i} \ ldots \ omega ^ J {}}$${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {k} \ ldots \ mathbf {e} _ {l}}$

${\ Displaystyle T (\ omega ^ {i} \ ldots \ omega ^ {j} \ mathbf {e} _ {k} \ ldots \ mathbf {e} _ {l}) = {T ^ {i \ ldots J}} _ {k \ ldots l}}$

Liczby są nazywane składowe tensora na wybranej bazie . ${\ Displaystyle {T ^ {i \ ldots j}} _ {k \ ldots l}}$

Jeśli wybierzemy inną podstawę (które są kombinacją liniową oryginalnej podstawy), możemy użyć właściwości liniowych tensora i okaże się, że składowe tensora w górnych indeksach przekształcić jako podwójne wektorów (tak kontrawariantny), natomiast niższy wskaźniki przekształci w podstawie wektorów stycznych, a zatem są kowariantna. Dla tensora rangi 2, możemy sprawdzić,

${\ Displaystyle {A '} _ {ij} = {\ Frac {\ częściowy x ^ {l}} {\ częściowy {x'} ^ {i}}} {\ Frac {\ częściowy x ^ {m}} { \ częściowy {x "} {J ^}}} A_ {}} lm$ kowariantna tensor

${\ Displaystyle {A '\,} ^ {ij} = {\ Frac {\ częściowy {x'} ^ {i}} {\ częściowy x ^ {l}}} {\ Frac {\ częściowy {x '} ^ {j}} {\ częściowy x ^ {m}}} a ^ {}} lm$ kontrawariantny tensor

Dla mieszanego współ- i kontrawariantny tensora rangi 2

${\ Displaystyle {A '\,} ^ {i} {} _ {j} = {\ Frac {\ częściowy {x'} ^ {i}} {\ częściowy x ^ {l}}} {\ Frac {\ częściowy x ^ {m}} {\ częściowy {x "} {J ^}}} a ^ {l} {} _ {m}}$ mieszany ko- i kontrawariantny tensor

Zobacz też

• Ogólne kowariancji
• Lorentz kowariancji