Teoria ciągłości perkolacji - Continuum percolation theory

W matematyce i teorii prawdopodobieństwa , teoria kontinuum przesączania jest gałąź matematyki, który rozciąga się dyskretne perkolacji teorii na ciągłej powierzchni (często euklidesowa przestrzeń ℝ ⁿ ). Mówiąc dokładniej, leżące poniżej punkty dyskretnej perkolacji tworzą typy sieci, podczas gdy leżące poniżej punkty perkolacji ciągłej są często rozmieszczone losowo w pewnej ciągłej przestrzeni i tworzą rodzaj procesu punktowego . Dla każdego punktu często umieszczany jest losowy kształt, a kształty nakładają się na siebie, tworząc skupiska lub komponenty. Podobnie jak w przypadku perkolacji dyskretnej, wspólnym celem badań nad perkolacją ciągłą jest badanie warunków występowania nieskończonych lub olbrzymich komponentów. Inne wspólne koncepcje i techniki analizy istnieją w tych dwóch typach teorii perkolacji, a także w badaniu losowych grafów i losowych grafów geometrycznych .

Perkolacja ciągła powstała z wczesnego modelu matematycznego dla sieci bezprzewodowych , który wraz z rozwojem kilku technologii sieci bezprzewodowych w ostatnich latach został uogólniony i zbadany w celu określenia teoretycznych granic przepustowości i wydajności informacji w sieciach bezprzewodowych. Oprócz tego ustawienia, perkolacja kontinuum zyskała zastosowanie w innych dyscyplinach, w tym w biologii, geologii i fizyce, takich jak badanie materiałów porowatych i półprzewodników , stając się jednocześnie przedmiotem matematycznego zainteresowania.

Wczesna historia

We wczesnych latach sześćdziesiątych Edgar Gilbert zaproponował model matematyczny w sieciach bezprzewodowych, który dał początek teorii ciągłej perkolacji, uogólniając w ten sposób perkolację dyskretną. Punkty leżące u podstaw tego modelu, czasami znane jako model dysku Gilberta, zostały rozrzucone równomiernie w nieskończonej płaszczyźnie ℝ ² zgodnie z jednorodnym procesem Poissona . Gilbert, który zauważył podobieństwa między perkolacją dyskretną i kontinuum, wykorzystał następnie koncepcje i techniki z przedmiotu prawdopodobieństwa procesów rozgałęzień, aby wykazać, że istnieje wartość progowa dla nieskończonego lub „gigantycznego” składnika.

Definicje i terminologia

Dokładne nazwy, terminologia i definicje tych modeli mogą się nieznacznie różnić w zależności od źródła, co znajduje również odzwierciedlenie w zastosowaniu notacji procesu punktowego .

Typowe modele

Istnieje wiele dobrze zbadanych modeli perkolacji kontinuum, które często są oparte na jednorodnych procesach punktu Poissona .

Model dysku

Rozważ zbiór punktów { x _i } na płaszczyźnie ℝ ^2, które tworzą jednorodny proces Poissona Φ o stałej (punktowej) gęstości λ . Dla każdego punktu procesu Poissona (tj. X _i ∈ Φ , umieść dysk D _i, którego środek znajduje się w punkcie x _i . Jeśli każdy dysk D _i ma losowy promień R _i (ze wspólnego rozkładu ), który jest niezależny od wszystkie inne promienie i wszystkie leżące pod nimi punkty { x _i } , to wynikowa struktura matematyczna jest znana jako losowy model dysku.

Model boolowski

Biorąc pod uwagę losowy model dysku, jeśli weźmie się sumę wszystkich dysków { D _i } , to wynikowa struktura ⋃ _i D _i jest znana jako model Boole'a-Poissona (znany również jako po prostu model Boole'a ), który jest powszechnie badany model w perkolacji kontinuum oraz geometrii stochastycznej . Jeśli wszystkie promienie są ustawione na jakąś wspólną stałą, powiedzmy r > 0 , to wynikowy model jest czasami nazywany modelem dysku Gilberta (Boolean).

Symulacja 4 modeli Poissona – Boole'a (o stałym promieniu lub dysku Gilberta) wraz ze wzrostem gęstości przy największych skupieniach zaznaczonych na czerwono.

Model zarodka-ziarna

Model dysku można uogólnić na bardziej dowolne kształty, w których zamiast dysku, losowy zwarty (stąd ograniczony i zamknięty w ℝ ² ) kształt S _i jest umieszczany w każdym punkcie x _i . Ponownie, każdy kształt S _i ma wspólny rozkład i jest niezależny od wszystkich innych kształtów i leżącego u jego podstaw procesu punktowego (Poissona). Model ten jest znany jako model zarodka ziarnistego, w którym punktami leżącymi u podstaw { x _i } są zarazki, a przypadkowe zwarte kształty S _i to ziarna . Zestaw zjednoczenie wszystkich kształtów tworzy logiczną modelu zarodkowej ziarna. Typowe wybory dla ziaren obejmują dyski, losowy wielokąt i segmenty o losowej długości.

Modele boolowskie są również przykładami procesów stochastycznych zwanych procesami pokrycia. Powyższe modele można rozciągnąć z płaszczyzny ℝ ² do ogólnej przestrzeni euklidesowej ℝ ⁿ .

Komponenty i krytyczność

W modelu Boolean-Poissona dyski mogą być izolowanymi grupami lub grupami dysków, które nie stykają się z żadnymi innymi grupami dysków. Te grudki są znane jako składniki. Jeśli powierzchnia (lub objętość w wyższych wymiarach) składnika jest nieskończona, mówi się, że jest to element nieskończony lub „gigantyczny”. Głównym celem teorii perkolacji jest ustalenie warunków, w których w modelach istnieją gigantyczne komponenty, co jest analogiczne do badania sieci losowych. Jeśli nie istnieje żaden duży komponent, mówi się, że model jest podkrytyczny. Warunki krytyczności gigantycznego komponentu w naturalny sposób zależą od parametrów modelu, takich jak gęstość leżącego u podstaw procesu punktowego.

Teoria obszaru wykluczonego

Wykluczony obszar umieszczonego obiektu jest definiowany jako minimalny obszar wokół obiektu, w którym nie można umieścić dodatkowego obiektu bez nakładania się na pierwszy obiekt. Na przykład w układzie losowo zorientowanych jednorodnych prostokątów o długości l , szerokości w i współczynniku kształtu r = l / w średni obszar wykluczony jest określony przez:

${\ Displaystyle A_ {r} = 2lw \ lewo (1 + {\ Frac {4} {\ pi ^ {2}}} \ prawej) + {\ Frac {2} {\ pi}} \ lewo (l ^ { 2} + w ^ {2} \ right) = 2l ^ {2} \ left [{\ frac {1} {r}} \ left (1 + {\ frac {4} {\ pi ^ {2}}} \ right) + {\ frac {1} {\ pi}} \ left (1 + {\ frac {1} {r ^ {2}}} \ right) \ right]}$

W układzie identycznych elips z półosiami a i b oraz stosunkiem r = za / b , a obwód C , średnia wykluczonych obszarów jest określona wzorem:

${\ Displaystyle A_ {r} = 2 \ pi ab + {\ Frac {C ^ {2}} {2 \ pi}}}$

Teoria obszaru wykluczonego stwierdza, że ​​krytyczna gęstość liczbowa (próg perkolacji) N _c systemu jest odwrotnie proporcjonalna do średniej wykluczonej powierzchni A _r :

${\ Displaystyle N _ {\ mathrm {c}} \ propto A_ {r} ^ {- 1}}$

Za pomocą symulacji Monte-Carlo wykazano, że próg perkolacji zarówno w jednorodnych, jak i niejednorodnych układach prostokątów lub elips jest zdominowany przez średnie wykluczone obszary i można go dość dobrze przybliżyć zależnością liniową

${\ Displaystyle N _ {\ mathrm {c}} -N _ {\ mathrm {c} 0} \ propto A_ {r} ^ {- 1}}$

ze stałą proporcjonalności w zakresie 3,1–3,5.

Aplikacje

Model boolowski jako model pokrycia w sieci bezprzewodowej.

Zastosowania teorii perkolacji są różnorodne i sięgają od nauk materiałowych po systemy komunikacji bezprzewodowej . Często praca polega na wykazaniu, że w systemie zachodzi pewnego rodzaju przemiana fazowa .

Sieci bezprzewodowe

Sieci bezprzewodowe są czasami najlepiej reprezentowane za pomocą modeli stochastycznych ze względu na ich złożoność i nieprzewidywalność, stąd perkolacja kontinuum została wykorzystana do opracowania stochastycznych modeli geometrii sieci bezprzewodowych . Na przykład narzędzia teorii ciągłej perkolacji i procesy pokrycia zostały wykorzystane do badania zasięgu i łączności sieci czujników . Jednym z głównych ograniczeń tych sieci jest zużycie energii, gdzie zwykle każdy węzeł ma baterię i wbudowaną formę zbierania energii. Aby zmniejszyć zużycie energii w sieciach czujników, zasugerowano różne schematy uśpienia, które pociągają za sobą przejście podkolekcji węzłów w tryb uśpienia o niskim zużyciu energii. Te schematy snu oczywiście wpływają na zasięg i łączność sieci czujników. Zaproponowano proste modele oszczędzania energii, takie jak prosty nieskoordynowany model „migania”, w którym (w każdym przedziale czasu) każdy węzeł niezależnie wyłącza się (lub wyłącza) z pewnym ustalonym prawdopodobieństwem. Korzystając z narzędzi teorii perkolacji, przeanalizowano migający boolowski model Poissona w celu zbadania skutków opóźnienia i łączności tak prostego schematu zasilania.

Zobacz też

• Stochastyczne modele geometrii sieci bezprzewodowych
• Losowe wykresy
• Model Boole'a (teoria prawdopodobieństwa)

Bibliografia