Przejście fazowe - Phase transition

Ten diagram pokazuje nomenklaturę dla różnych przejść fazowych.

W chemii , termodynamice i wielu innych pokrewnych dziedzinach, przejścia fazowe (lub zmiany fazowe ) to fizyczne procesy przejścia między stanem ośrodka, identyfikowanym przez niektóre parametry, a innym, o różnych wartościach parametrów. Powszechnie termin ten jest używany w odniesieniu do zmian pomiędzy podstawowymi stanami materii : stałym , ciekłym i gazowym , a w rzadkich przypadkach także plazmą .

Na przykład faza układu termodynamicznego i stany materii mają jednakowe właściwości fizyczne . Podczas przemiany fazowej danego medium pewne właściwości medium zmieniają się, często w sposób nieciągły, na skutek zmiany warunków zewnętrznych, takich jak temperatura , ciśnienie lub inne. Na przykład ciecz może stać się gazem po podgrzaniu do temperatury wrzenia , co powoduje nagłą zmianę objętości. Pomiar warunków zewnętrznych, w których zachodzi przemiana, nazywa się przejściem fazowym. Przemiany fazowe powszechnie występują w przyrodzie i są obecnie stosowane w wielu technologiach.

Rodzaje przejść fazowych

Typowy diagram fazowy. Linia przerywana przedstawia anomalne zachowanie wody .

Przykłady przejść fazowych obejmują:

  • Przejścia między fazą stałą, ciekłą i gazową pojedynczego składnika pod wpływem temperatury i/lub ciśnienia :
Przemiany fazowe materii ( )
Do
Z
Solidny Płyn Gaz Osocze
Solidny Topienie Sublimacja
Płyn Zamrażanie Odparowanie
Gaz Zeznanie Kondensacja Jonizacja
Osocze Rekombinacja
Zobacz także prężność pary i wykres fazowy
Mały kawałek szybko topiącego się stałego argonu pokazujący przejście ze stanu stałego w ciekły. Biały dym to skondensowana para wodna, wykazująca przejście fazowe z gazu w ciecz.
Porównanie diagramów fazowych dwutlenku węgla (czerwony) i wody (niebieski) wyjaśniające ich różne przejścia fazowe w 1 atmosferze

Przemiany fazowe występują, gdy termodynamiczna energia swobodna układu jest nieanalityczna dla pewnego wyboru zmiennych termodynamicznych (por. fazy ). Stan ten na ogół wynika z interakcji dużej liczby cząstek w układzie i nie występuje w układach, które są zbyt małe. Należy zauważyć, że mogą wystąpić przejścia fazowe i są one zdefiniowane dla układów nietermodynamicznych, w których temperatura nie jest parametrem. Przykłady obejmują: kwantowe przejścia fazowe, dynamiczne przejścia fazowe i topologiczne (strukturalne) przejścia fazowe. W tego typu systemach inne parametry zastępują temperaturę. Na przykład prawdopodobieństwo połączenia zastępuje temperaturę w sieciach perkolacyjnych.

W punkcie przejścia fazowego (na przykład w temperaturze wrzenia ) dwie fazy substancji, ciecz i para , mają identyczne energie swobodne i dlatego istnieje jednakowe prawdopodobieństwo ich istnienia. Poniżej temperatury wrzenia ciecz jest bardziej stabilnym stanem z tych dwóch, podczas gdy powyżej preferowana jest forma gazowa.

Czasami możliwa jest diabatyczna zmiana stanu układu (w przeciwieństwie do adiabatycznego ) w taki sposób, że można go przesunąć poza punkt przejścia fazowego bez przechodzenia przejścia fazowego. Powstały stan jest metastabilny , tj. mniej stabilny niż faza, do której nastąpiłoby przejście, ale też nie jest niestabilny. Dzieje się tak na przykład w przegrzaniu , przechłodzeniu i przesyceniu .

Klasyfikacje

Klasyfikacja Ehrenfest

Paul Ehrenfest sklasyfikował przejścia fazowe na podstawie zachowania termodynamicznej energii swobodnej w funkcji innych zmiennych termodynamicznych. Zgodnie z tym schematem przejścia fazowe zostały oznaczone najniższą pochodną energii swobodnej, która jest nieciągła w przejściu. Przemiany fazowe pierwszego rzędu wykazują nieciągłość w pierwszej pochodnej energii swobodnej względem pewnej zmiennej termodynamicznej. Różne przejścia ciało stałe/ciecz/gaz są klasyfikowane jako przejścia pierwszego rzędu, ponieważ wiążą się z nieciągłą zmianą gęstości, która jest (odwrotnością) pierwszej pochodnej energii swobodnej w odniesieniu do ciśnienia. Przejścia fazowe drugiego rzędu są ciągłe w pierwszej pochodnej ( parametr rzędu , który jest pierwszą pochodną energii swobodnej względem pola zewnętrznego, jest ciągły w poprzek przejścia), ale wykazują nieciągłość w drugiej pochodnej energii swobodnej. Należą do nich ferromagnetyczne przejście fazowe w materiałach takich jak żelazo, gdzie namagnesowanie , które jest pierwszą pochodną energii swobodnej w odniesieniu do przyłożonego natężenia pola magnetycznego, wzrasta w sposób ciągły od zera, gdy temperatura spada poniżej temperatury Curie . Podatność magnetyczna , druga pochodnej energii swobodnej ze pola zmienia nieciągły. Zgodnie ze schematem klasyfikacji Ehrenfest, zasadniczo mogą występować przejścia fazowe trzeciego, czwartego i wyższego rzędu.

Klasyfikacja Ehrenfesta domyślnie dopuszcza ciągłe przemiany fazowe, w których zmienia się charakter wiązania materiału, ale nie ma nieciągłości w żadnej pochodnej energii swobodnej. Przykładem tego jest granica stanu nadkrytycznego ciecz-gaz .

Nowoczesne klasyfikacje

We współczesnym schemacie klasyfikacji przejścia fazowe dzielą się na dwie szerokie kategorie, nazwane podobnie do klas Ehrenfest:

Przemiany fazowe pierwszego rzędu to te, które obejmują ciepło utajone . Podczas takiego przejścia system albo absorbuje, albo uwalnia stałą (i zazwyczaj dużą) ilość energii na objętość. Podczas tego procesu temperatura systemu pozostanie stała w miarę dodawania ciepła: system znajduje się w „systemie fazy mieszanej”, w którym niektóre części systemu zakończyły przejście, a inne nie. Znanymi przykładami są topienie lodu lub gotowanie wody (woda nie zamienia się natychmiast w parę , lecz tworzy burzliwą mieszaninę płynnej wody i bąbelków pary). Yoseph Imry i Michael Wortis wykazali, że wygaszone zaburzenie może poszerzyć przejście pierwszego rzędu. Oznacza to, że transformacja jest zakończona w skończonym zakresie temperatur, ale zjawiska takie jak przechłodzenie i przegrzanie przetrwają, a histereza jest obserwowana w cyklach termicznych.

Przemiany fazowe drugiego rzędu są również nazywane „ciągłymi przejściami fazowymi” . Charakteryzują się rozbieżną podatnością, nieskończoną długością korelacji oraz potęgowym rozpadem korelacji bliskim krytyczności . Przykładami przejść fazowych drugiego rzędu są przejście ferromagnetyczne, przejście nadprzewodnikowe (dla nadprzewodnika typu I przejście fazowe jest drugiego rzędu przy zerowym polu zewnętrznym, a dla nadprzewodnika typu II przejście fazowe jest drugiego rzędu dla obu normalnych- przejścia stan-stan mieszany i stan mieszany-stan nadprzewodzący) oraz przejście nadciekłe . W przeciwieństwie do lepkości, rozszerzalność cieplna i pojemność cieplna materiałów amorficznych wykazują stosunkowo nagłą zmianę temperatury zeszklenia, co umożliwia dokładną detekcję za pomocą pomiarów różnicowej kalorymetrii skaningowej . Lev Landau przedstawił fenomenologiczną teorię przejść fazowych drugiego rzędu.

Poza izolowanymi, prostymi przejściami fazowymi, istnieją linie przejść, a także punkty wielokrytyczne , przy zmiennych parametrach zewnętrznych, takich jak pole magnetyczne czy skład.

Kilka przejść jest znanych jako przejścia fazowe nieskończonego rzędu . Są ciągłe, ale nie łamią symetrii . Najbardziej znanym przykładem jest przejście Kosterlitza–Thoullessa w dwuwymiarowym modelu XY . Do tej klasy należy wiele kwantowych przejść fazowych , np. w dwuwymiarowych gazach elektronowych .

Przejście ciecz-szkło obserwuje się w wielu polimerach i innych cieczach, które mogą ulegać przechłodzeniu znacznie poniżej temperatury topnienia fazy krystalicznej. Jest to nietypowe pod kilkoma względami. Nie jest to przejście między termodynamicznymi stanami podstawowymi: powszechnie uważa się, że prawdziwy stan podstawowy jest zawsze krystaliczny. Szkło jest stanem nieuporządkowanym , a jego entropia, gęstość itd. zależą od historii termicznej. Dlatego zeszklenie jest przede wszystkim zjawiskiem dynamicznym: po schłodzeniu cieczy wewnętrzne stopnie swobody sukcesywnie wypadają z równowagi. Niektóre metody teoretyczne przewidują przejście fazowe w hipotetycznej granicy nieskończenie długich czasów relaksacji. Żadne bezpośrednie dowody eksperymentalne nie potwierdzają istnienia tych przejść.

Wykazano, że przejście w żelowaniu cząstek koloidalnych jest przejściem fazowym drugiego rzędu w warunkach nierównowagowych .

Charakterystyczne właściwości

Współistnienie faz

Przejście pierwszego rzędu z poszerzonym nieporządkiem zachodzi w skończonym zakresie temperatur, w którym frakcja niskotemperaturowej fazy równowagi rośnie od zera do jednego (100%) w miarę obniżania się temperatury. Ta ciągła zmienność współistniejących frakcji z temperaturą stwarzała interesujące możliwości. Podczas chłodzenia niektóre ciecze zeszkliją się w szkło, zamiast przekształcać się w fazę kryształu równowagi. Dzieje się tak, jeśli szybkość chłodzenia jest większa niż krytyczna szybkość chłodzenia i jest przypisywana temu, że ruchy molekularne stają się tak wolne, że cząsteczki nie mogą przestawić się na pozycje kryształów. To spowolnienie stanie poniżej temperatury tworzenia szkła T g , co może zależeć od zastosowanego ciśnienia. Jeśli pierwszorzędowa zamrażania przejście zachodzi w szerokim zakresie temperatur, a T g mieści się w podanym zakresie, to nie jest interesująca możliwość, że przejście jest zatrzymany, kiedy jest to częściowe lub niepełne. Rozszerzenie tych pomysłów na przejścia magnetyczne pierwszego rzędu zatrzymywane w niskich temperaturach zaowocowało obserwacją niepełnych przejść magnetycznych, przy współistnieniu dwóch faz magnetycznych, aż do najniższej temperatury. Po raz pierwszy zgłoszone w przypadku przejścia ferromagnetycznego w antyferromagnetyczne, takie trwałe współistnienie faz zostało teraz zgłoszone w różnych przejściach magnetycznych pierwszego rzędu. Należą do nich materiały manganitowe o kolosalnej magnetorezystancji, materiały magnetokaloryczne, materiały magnetyczne z pamięcią kształtu i inne materiały. Interesującą cechą tych obserwacji T g mieszczących się w zakresie temperatur, w których zachodzi przejście, jest to, że na przejście magnetyczne pierwszego rzędu wpływa pole magnetyczne, podobnie jak na przejście strukturalne ma wpływ ciśnienie. Względna łatwość, z jaką pole magnetyczne może być sterowane, w przeciwieństwie do ciśnienia wskazuje na możliwość, że można badać wzajemne między T g i T C w wyczerpujący sposób. Współistnienie faz w przejściach magnetycznych pierwszego rzędu umożliwi następnie rozwiązanie nierozstrzygniętych problemów w zrozumieniu okularów.

Punkt krytyczny

W każdym układzie zawierającym fazę ciekłą i gazową istnieje specjalna kombinacja ciśnienia i temperatury, znana jako punkt krytyczny , w którym przejście między cieczą a gazem staje się przejściem drugiego rzędu. W pobliżu punktu krytycznego płyn jest wystarczająco gorący i sprężony, aby rozróżnienie między fazą ciekłą i gazową prawie nie istniało. Wiąże się to ze zjawiskiem krytycznej opalescencji , mlecznego wyglądu cieczy na skutek wahań gęstości na wszystkich możliwych długościach fal (w tym światła widzialnego).

Symetria

Przemiany fazowe często obejmują proces łamania symetrii . Na przykład ochłodzenie płynu w krystaliczne ciało stałe łamie ciągłą symetrię translacji : każdy punkt w płynie ma te same właściwości, ale każdy punkt w krysztale nie ma takich samych właściwości (chyba że punkty są wybrane z punktów sieci sieć krystaliczna). Zazwyczaj faza wysokotemperaturowa zawiera więcej symetrii niż faza niskotemperaturowa z powodu spontanicznego łamania symetrii , z wyjątkiem pewnych przypadkowych symetrii (np. powstawanie ciężkich cząstek wirtualnych , które występuje tylko w niskich temperaturach).

Parametry zamówienia

Parametr uporządkowania jest miarą stopnia, aby na granicach w układzie przejścia fazowego; zwykle waha się od zera w jednej fazie (zwykle powyżej punktu krytycznego) do wartości niezerowej w drugiej. W punkcie krytycznym podatność parametru zamówienia zwykle będzie rozbieżna.

Przykładem parametru porządku jest namagnesowanie netto w układzie ferromagnetycznym przechodzącym przemianę fazową. W przypadku przejść ciecz/gaz parametrem porządku jest różnica gęstości.

Z teoretycznego punktu widzenia parametry porządku wynikają z łamania symetrii. Kiedy tak się dzieje, trzeba wprowadzić jedną lub więcej dodatkowych zmiennych, aby opisać stan systemu. Na przykład w fazie ferromagnetycznej należy podać namagnesowanie netto , którego kierunek został wybrany spontanicznie, gdy układ ostygł poniżej punktu Curie . Należy jednak pamiętać, że parametry kolejności można również zdefiniować dla przejść nie łamiących symetrii.

Niektóre przejścia fazowe, takie jak nadprzewodnictwo i ferromagnetyka, mogą mieć parametry uporządkowania dla więcej niż jednego stopnia swobody. W takich fazach parametr porządku może przybrać postać liczby zespolonej, wektora, a nawet tensora, którego wielkość przy przejściu fazowym spada do zera.

Istnieją również dwojakie opisy przejść fazowych pod względem parametrów zaburzeń. Wskazują one na obecność wzbudzeń podobnych do linii, takich jak wir lub linie defektów .

Znaczenie w kosmologii

Przejścia fazowe łamiące symetrię odgrywają ważną rolę w kosmologii . Gdy Wszechświat rozszerzał się i ochładzał, próżnia przechodziła serię łamiących symetrię przejść fazowych. Na przykład przejście elektrosłabe złamało symetrię SU(2)×U(1) pola elektrosłabego na symetrię U(1) współczesnego pola elektromagnetycznego . To przejście jest ważne, aby wyjaśnić asymetrię między ilością materii i antymaterii we współczesnym wszechświecie, zgodnie z teorią elektrosłabej bariogenezy .

Postępujące przejścia fazowe w rozszerzającym się wszechświecie są zaangażowane w rozwój porządku we wszechświecie, co ilustruje praca Erica Chaissona i Davida Layzera .

Zobacz także teorie porządku relacyjnego oraz porządek i nieporządek .

Wykładniki krytyczne i klasy uniwersalności

Ciągłe przejścia fazowe są łatwiejsze do zbadania niż przejścia pierwszego rzędu ze względu na brak ciepła utajonego i odkryto, że mają wiele interesujących właściwości. Zjawiska związane z ciągłymi przejściami fazowymi nazywane są zjawiskami krytycznymi, ze względu na ich powiązanie z punktami krytycznymi.

Okazuje się, że ciągłe przejścia fazowe można scharakteryzować parametrami zwanymi wykładnikami krytycznymi . Najważniejszym z nich jest być może wykładnik opisujący rozbieżność długości korelacji termicznej zbliżając się do przejścia. Na przykład zbadajmy zachowanie pojemności cieplnej w pobliżu takiego przejścia. Zmieniamy temperaturę T układu, utrzymując wszystkie inne zmienne termodynamiczne na stałym poziomie i stwierdzamy, że przejście zachodzi w pewnej krytycznej temperaturze T c . Gdy T jest blisko T c , pojemność cieplna C typowo ma prawo moc zachowanie:

Pojemność cieplna materiałów amorficznych ma takie zachowanie w pobliżu temperatury zeszklenia, gdzie uniwersalny wykładnik krytyczny α = 0,59. Podobne zachowanie, ale z wykładnikiem ν zamiast α , dotyczy długości korelacji.

Wykładnik ν jest dodatni. Inaczej jest z α . Jego rzeczywista wartość zależy od rodzaju przejścia fazowego, które rozważamy.

Powszechnie uważa się, że wykładniki krytyczne są takie same powyżej i poniżej temperatury krytycznej. Obecnie wykazano, że niekoniecznie jest to prawdą: gdy ciągła symetria jest wyraźnie rozbita na symetrię dyskretną przez nieistotne (w sensie grupy renormalizacji) anizotropie, wówczas niektóre wykładniki (takie jak wykładnik podatności) nie są identyczny.

Dla -1 < α < 0 pojemność cieplna ma „załamanie” w temperaturze przejścia. Jest to zachowanie ciekłego helu przy przejściu lambda ze stanu normalnego do stanu nadciekłego , dla którego eksperymenty wykazały α = -0,013 ± 0,003. Co najmniej jeden eksperyment przeprowadzono w warunkach zerowej grawitacji orbitującego satelity, aby zminimalizować różnice ciśnień w próbce. Ta eksperymentalna wartość α zgadza się z przewidywaniami teoretycznymi opartymi na teorii zaburzeń wariacyjnych .

Dla 0 < α < 1, pojemność cieplna różni się w temperaturze przejścia (chociaż, ponieważ α < 1, entalpia pozostaje skończona). Przykładem takiego zachowania jest ferromagnetyczne przejście fazowe 3D. W trójwymiarowym modelu Isinga dla magnesów jednoosiowych szczegółowe badania teoretyczne przyniosły wykładnik α ≈ +0,110.

Niektóre systemy modelowe nie są zgodne z zachowaniem prawa potęgowego. Na przykład teoria pola średniego przewiduje skończoną nieciągłość pojemności cieplnej w temperaturze przejścia, a dwuwymiarowy model Isinga ma rozbieżność logarytmiczną . Są to jednak systemy ograniczające przypadki i wyjątek od reguły. Rzeczywiste przejścia fazowe wykazują zachowanie potęgowe.

Kilka innych krytycznych wykładników, β , γ , δ , ν i η , jest zdefiniowanych w celu zbadania zachowania mocy mierzalnej wielkości fizycznej w pobliżu przejścia fazowego. Wykładniki są powiązane relacjami skalowania, takimi jak

Można wykazać, że istnieją tylko dwa niezależne wykładniki, np. ν i η .

Niezwykłym faktem jest to, że przejścia fazowe zachodzące w różnych układach często mają ten sam zestaw krytycznych wykładników. Zjawisko to znane jest jako uniwersalność . Na przykład stwierdzono, że wykładniki krytyczne w punkcie krytycznym ciecz-gaz są niezależne od składu chemicznego płynu.

Co bardziej imponujące, ale zrozumiałe z góry, są one dokładnym dopasowaniem do krytycznych wykładników ferromagnetycznego przejścia fazowego w magnesach jednoosiowych. Mówi się, że takie systemy należą do tej samej klasy uniwersalności. Uniwersalność jest przewidywaniem teorii grup renormalizacji przejść fazowych, która stwierdza, że ​​właściwości termodynamiczne układu w pobliżu przejścia fazowego zależą tylko od niewielkiej liczby cech, takich jak wymiarowość i symetria, i są niewrażliwe na leżące u ich podstaw właściwości mikroskopowe system. Ponownie, rozbieżność długości korelacji jest zasadniczą kwestią.

Krytyczne spowolnienie i inne zjawiska

Istnieją również inne krytyczne zjawiska; np. oprócz funkcji statycznych istnieje również dynamika krytyczna . W konsekwencji przy przejściu fazowym można zaobserwować krytyczne spowolnienie lub przyspieszenie . Duże statyczne klasy uniwersalności ciągłego przejścia fazowego podzielone na mniejsze dynamiczne klasy uniwersalności . Oprócz wykładników krytycznych istnieją również uniwersalne zależności dla pewnych funkcji statycznych lub dynamicznych pól magnetycznych oraz różnice temperatur od wartości krytycznej.

Teoria perkolacji

Innym zjawiskiem, które pokazuje przejścia fazowe i wykładniki krytyczne, jest perkolacja . Najprostszym przykładem jest być może perkolacja w dwuwymiarowej sieci kwadratowej. Miejsca są losowo zajęte z prawdopodobieństwem p. Dla małych wartości p zajmowane stanowiska tworzą tylko niewielkie skupiska. Przy pewnym progu p c powstaje gigantyczna gromada i mamy przejście fazowe drugiego rzędu. Zachowanie P ∞ w pobliżu p c to P ~ ( pp c ) β , gdzie β jest wykładnikiem krytycznym. Wykorzystując teorię perkolacji można zdefiniować wszystkie krytyczne wykładniki występujące w przejściach fazowych. Pola zewnętrzne można również zdefiniować dla systemów perkolacyjnych drugiego rzędu, jak również dla systemów perkolacyjnych pierwszego rzędu. Perkolacja okazała się przydatna do badania ruchu miejskiego i identyfikacji powtarzających się wąskich gardeł.

Przemiany fazowe w układach biologicznych

Przemiany fazowe odgrywają wiele ważnych ról w układach biologicznych. Przykładem może być tworzenie dwuwarstwy lipidowej , przejście typu coil-globule w procesie fałdowania białek i topienia DNA , przejścia typu ciekłokrystalicznego w procesie kondensacji DNA oraz kooperatywne wiązanie ligandów z DNA i białkami o charakterze przejścia fazowego.

W błonach biologicznych przejście fazowe z żelu do ciekłokrystalicznego odgrywa kluczową rolę w fizjologicznym funkcjonowaniu biomembran. W fazie żelowej, ze względu na niską płynność błonowych lipidowych łańcuchów tłuszczowo-acylowych, białka błonowe mają ograniczony ruch i tym samym nie mogą pełnić swojej fizjologicznej roli. Rośliny są krytycznie zależne od fotosyntezy przez błony tylakoidów chloroplastów, które są narażone na niskie temperatury otoczenia. Błony tylakoidowe zachowują wrodzoną płynność nawet w stosunkowo niskich temperaturach ze względu na wysoki stopień nieuporządkowania tłuszczowo-acylowego, na który pozwala wysoka zawartość kwasu linolenowego, 18-węglowy łańcuch z 3-podwójnymi wiązaniami. Temperaturę przemiany fazowej żel-ciekłokrystaliczny błon biologicznych można określić za pomocą wielu technik, w tym kalorymetrii, fluorescencji, rezonansu paramagnetycznego elektronów ze znacznikiem spinowym i NMR , rejestrując pomiary danego parametru w serii temperatur próbki. Zaproponowano również prostą metodę jej wyznaczania na podstawie intensywności linii 13-C NMR.

Zaproponowano, że niektóre systemy biologiczne mogą leżeć w pobliżu punktów krytycznych. Przykłady obejmują sieci neuronowe w siatkówce salamandry, sieci ekspresji genów w stadach ptaków u Drosophila i fałdowanie białek. Nie jest jednak jasne, czy alternatywne przyczyny mogłyby wyjaśnić niektóre zjawiska wspierające argumenty za krytycznością. Zasugerowano również, że organizmy biologiczne mają dwie kluczowe właściwości przejść fazowych: zmianę zachowania makroskopowego i spójność systemu w punkcie krytycznym.

Charakterystyczną cechą przejść fazowych drugiego rzędu jest pojawianie się fraktali w niektórych właściwościach bezskalowych. Od dawna wiadomo, że globulki białkowe powstają w wyniku interakcji z wodą. Istnieje 20 aminokwasów, które tworzą grupy boczne na łańcuchach peptydowych białek, od hydrofilowych do hydrofobowych, co powoduje, że te pierwsze leżą blisko powierzchni kulistej, podczas gdy te drugie leżą bliżej centrum kulistego. Dwadzieścia fraktali odkryto na związanych z rozpuszczalnikiem obszarach powierzchni > 5000 segmentów białkowych. Istnienie tych fraktali dowodzi, że białka funkcjonują w pobliżu krytycznych punktów przejść fazowych drugiego rzędu.

W grupach organizmów w stresie (przy zbliżaniu się do krytycznych przejść) korelacje mają tendencję do wzrostu, podczas gdy w tym samym czasie wzrastają również fluktuacje. Efekt ten jest wspierany wieloma eksperymentami i obserwacjami grup ludzi, myszy, drzew i trawiastych roślin.

Eksperymentalny

Do badania różnych efektów stosuje się różne metody. Wybrane przykłady to:

Zobacz też

Bibliografia

Dalsza lektura

Zewnętrzne linki