Przyczynowy filtr - Causal filter

W przetwarzaniu sygnału , A filtr przyczynowy jest liniowa i czasu niezmienny układ przyczynowego . Słowo przyczynowy wskazuje, że wyjście filtra zależy tylko od przeszłości i obecnych nakładów. Filtr , którego moc zależy również od przyszłych nakładów jest non-przyczynowy , podczas którego wyjście filtra zależy jedynie od przyszłych nakładów jest anty-przyczynowy . Systemy (w tym filtry), które są do zrealizowania (czyli działające w czasie rzeczywistym ) musi być przyczynowe, ponieważ takie systemy nie mogą działać w przyszłości wejścia. W efekcie oznacza to, że próbki wyjściowej, która najlepiej reprezentuje wejście w czasie${\ Displaystyle t}$wychodzi nieco później. Powszechną praktyką projektowania dla filtrów cyfrowych jest stworzenie filtru do uzyskania poprzez skrócenie i / lub przesunięcie czasu non-przyczynowego odpowiedzi impulsowej. Jeśli tłuszcz jest to konieczne, to często realizowane jako iloczyn odpowiedzi impulsowej z funkcji okna .

Przykładowy filtr anty-przyczynowego jest maksymalna fazy filtr, który może być określony jako stabilnej , filtr anty-przyczynowego którego odwrotny jest stabilny i anty-przyczynowego.

Każdy składnik przyczynowego wyjścia filtru rozpoczyna się, gdy zaczyna jej bodziec. Wyjścia filtra non-przyczynowego rozpocząć przed rozpoczęciem bodziec.

Przykład

Poniższa definicja jest ruchoma (lub „ślizgową”) średnia danych wejściowych . Stała współczynnik 1/2 dla uproszczenia pominięto: ${\ Displaystyle s (x) \}$

${\ Displaystyle f (x) = \ int _ {x 1} ^ {x + 1} S (\ tau) \ d \ tau \ = \ int _ {- 1} ^ {+ 1} a (x + \ Tau) \ d \ tau \}$

gdzie x może reprezentować przestrzennych współrzędnych, tak jak w przetwarzaniu obrazu. Ale jeśli reprezentuje czas , a następnie średnia ruchoma jest zdefiniowana w ten sposób non-przyczynowego (zwany również nie do zrealizowania ), ponieważ zależy od przyszłych wejść, takich jak . Zrealizowania wyjście ${\ Displaystyle x \}$${\ Displaystyle (t) \}$${\ Displaystyle f (t) \}$${\ Displaystyle s (t + 1) \}$

${\ Displaystyle f (t, 1) = \ int _ {- 2} ^ {0} S (t + \ tau) \ d \ tau = \ int _ {0} ^ {+ 2} a (T \ tau ) \ d \ tau \}$

która jest opóźniona wersja wyjścia nie do uzyskania.

Każdy filtr liniowy (np średniej ruchomej) może być scharakteryzowana za pomocą funkcji h ( T ) zwany jej odpowiedzi impulsowej . Jego wyjście jest splot

${\ Displaystyle f (t) = (h * s) (t) = \ _ int {-. \ Infty} ^ {\ infty} H (\ tau) y (t \ tau) \ d \ tau \, }$

W tych warunkach, wymaga przyczynowość

${\ Displaystyle f (t) = \ _ int {0} ^ {\ infty} H (\ tau) y (t \ tau) \ d \ tau}$

i ogólnie równość tych dwóch wyrażeń wymaga h ( t ) = 0 dla wszystkich t  <0.

Charakterystyka filtrów przyczynowych w dziedzinie częstotliwości

Niech H ( t ) jest filtrem przyczynowego z odpowiadającą transformacji Fouriera H (co). Definiowanie funkcji

${\ Displaystyle g (t) = {H (t) + H ^ {*} (- T) \ przez 2}}$

który nie jest przyczynowego. Z drugiej strony, g ( t ) jest hermitowskie , a co za tym idzie, jego transformatę Fouriera G (ω) to o wartościach rzeczywistych. Teraz mamy następującą zależność

${\ Displaystyle H (t) = 2 \ \ teta (t) \ cdot g (t) \}$

gdzie Θ ( t ) jest funkcją skoku jednostki Heaviside .

Oznacza to, że transformacja Fouriera h ( t ) i g ( t ) są powiązane w następujący

${\ Displaystyle H (\ omega) = \ lewo (\ delta (\ omega) - {i \ na \ pi \ omega} \ prawo) * G (\ omega) = G (\ omega) -i \ cdot {\ widehat {G}} (\ omega) \}$

gdzie jest transformaty Hilberta wykonane w dziedzinie częstotliwości (a nie w domenie czasu). Znak może zależeć od definicji transformaty Fouriera. ${\ Displaystyle {\ widehat {G}} (\ omega) \}$${\ Displaystyle {\ widehat {G}} (\ omega) \}$

Biorąc transformacji Hilberta powyższego równania daje tę zależność pomiędzy „H” i jego transformacji Hilberta:

${\ Displaystyle {\ widehat {H}} (\ omega) = IH (\ omega)}$

Referencje

• Press, William H .; Teukolsky Saul, A .; Vetterling William T .; Flannery, Brian P. (wrzesień 2007), Numerical Recipes (3rd ed.), Cambridge University Press, s. 767, ISBN  9780521880688
• Rowell (styczeń 2009), Wyznaczanie przyczynowości w systemie z jego Pasmo przenoszenia (PDF) , MIT OpenCourseWare