Przestrzeń Cauchy'ego - Cauchy space

W ogólnej topologii i analizie , przestrzeń Cauchy'ego jest uogólnieniem przestrzeni metrycznych i jednolitych, dla których pojęcie zbieżności Cauchy'ego nadal ma sens. Przestrzenie Cauchy'ego zostały wprowadzone przez HH Kellera w 1968 r. Jako aksjomatyczne narzędzie wywodzące się z idei filtru Cauchy'ego w celu badania kompletności w przestrzeniach topologicznych . Kategoria przestrzeni Cauchy'ego i Cauchy'ego ciągłych map jest kartezjański zamknięty i zawiera kategorię przestrzeni zbliżeniowych .

Definicja

Przez cały czas, to zestaw, oznacza zestaw zasilający z a wszystkie filtry są traktowane jako prawidłowe / non-zdegenerowany (tzn filtr nie może zawierać zbiór pusty). ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ wp (X)}$${\ displaystyle X,}$

Przestrzeń Cauchy'ego to para składająca się ze zbioru razem rodziny (właściwych) filtrów posiadających wszystkie następujące właściwości: ${\ displaystyle (X, C)}$${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle C \ subseteq \ wp (\ wp (X))}$${\ displaystyle X}$

1. Dla każdego dyskretnego ultrafiltra w oznaczonym jako jest w . ${\ Displaystyle x \ w X,}$${\ displaystyle x,}$${\ Displaystyle U (x),}$${\ displaystyle C}$
2. Jeśli jest to właściwe filtr, i jest podzbiorem następnie ${\ displaystyle F \ w C,}$ ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G,}$${\ Displaystyle G \ w C.}$
3. Jeśli i jeśli każdy członek przecina każdy członek wtedy ${\ Displaystyle F, G \ w C}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G,}$${\ Displaystyle F \ nasadka G \ w C.}$

Element nazywany jest filtrem Cauchy'ego , a mapa między przestrzeniami Cauchy'ego i jest ciągły Cauchy'ego, jeśli ; to znaczy, obraz każdego filtra Cauchy'ego w jest podstawą filtra Cauchy'ego w ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle (X, C)}$${\ displaystyle (Y, D)}$${\ Displaystyle \ uparrow f (X) \ subseteq D}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle Y.}$

Właściwości i definicje

Każda przestrzeń Cauchy'ego jest również przestrzenią zbieżności , w której filtr zbiega się do, jeśli jest to Cauchy'ego. W szczególności przestrzeń Cauchy'ego ma naturalną topologię . ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle F \ cap U (x)}$

Przykłady

• Dowolna przestrzeń jednorodna (stąd każda przestrzeń metryczna , topologiczna przestrzeń wektorowa lub grupa topologiczna ) jest przestrzenią Cauchy'ego; zobacz filtr Cauchy'ego dla definicji.
• Grupa uporządkowana sieciowo niesie naturalną strukturę Cauchy'ego.
• Każdy zbiór skierowany może być wykonany w postaci powierzchni Cauchy'ego, uznając filtr być Cauchy'ego jeśli podano dowolnego elementu , jest elementem , tak że jest albo pojedyncza lub podzbiór ogona Następnie podano jakiekolwiek inne miejsce Cauchy- się Cauchy- ciągłe funkcje od celu są takie same, jak w sieci Cauchy'ego w indeksowane lf jest kompletne , to taka funkcja może być rozszerzony na jego zakończeniu może być zapisana ; wartość przedłużenia będzie równa limitowi netto. W przypadku, gdy jest zestaw z liczb naturalnych (tak, że siatka Cauchy- indeksowane jest taka sama jak sekwencja Cauchy'ego ), a następnie odbiera tę samą strukturę Cauchy'ego w przestrzeni metrycznej ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle n \ in A}$${\ Displaystyle U \ w F}$${\ displaystyle U}$${\ Displaystyle \ {m: m \ geq n \}.}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle A.}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A,}$${\ displaystyle A \ cup \ {\ infty \}}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ {1, 2, 3, \ ldots \}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ {1,1 / 2,1 / 3, \ ldots \}.}$

Kategoria przestrzeni Cauchy'ego

Naturalnym pojęciem morfizmu między przestrzeniami Cauchy'ego jest funkcja ciągła Cauchy'ego , koncepcja, która była wcześniej badana dla przestrzeni jednorodnych.

Zobacz też

• Charakterystyka kategorii przestrzeni topologicznych
• Przestrzeń konwergencji  - uogólnienie pojęcia zbieżności, które znajduje się w ogólnej topologii
• Filtry w topologii  - użycie filtrów do opisania i scharakteryzowania wszystkich podstawowych pojęć i wyników topologicznych.
• Przestrzeń bliskości  - struktura opisująca pojęcie „bliskości” między podzbiorami.

Bibliografia

• Eva Lowen-Colebunders (1989). Klasy funkcji map ciągłych Cauchy'ego . Dekker, Nowy Jork, 1989.
• Schechter, Eric (1996). Podręcznik analizy i jego podstawy . San Diego, Kalifornia: Academic Press. ISBN   978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .