Castelnuovo-Mumford regularność - Castelnuovo–Mumford regularity

W geometrii algebraicznej The regularność Castelnuovo-Mumford o spójnej snopa F na przestrzeni rzutowej P ⁿ jest najmniejszą liczbę całkowitą R tak, że jest R-regularny , co oznacza, że

${\ Displaystyle H ^ {i} (\ mathbf {P} ^ {A}, M (n)) = 0 \}$

ilekroć ja  > 0. Regularność jest podprogram określa się prawidłowość jego snop ideałów. Regularność kontroluje kiedy funkcja Hilbert z snopa staje wielomianu; dokładniej słabe H ⁰ ( p ⁿ , M ( m )) jest wielomianem względem m , gdy m wynosi co najmniej regularność. Koncepcja r -regularity został wprowadzony przez Mumford  ( 1966 , wykład 14), który przypisuje następujące wyniki do Guido Castelnuovo  ( 1893 ):

• R -regular wiązka jest y -regular dla każdego s ≥ R .
• Jeśli jest spójna snop r -regular potem F ( r ) jest generowana przez jego sekcji globalnych .

sortowane moduły

Podobnym idea istnieje w przemiennej algebry . Załóżmy, że R = k [ x ₀ , ..., x _n ] jest wielomianem pierścień na polu K i M jest skończoną generowane stopniem R -module . Załóżmy, że M ma minimalną rozdzielczość Graded bezpłatny

${\ Displaystyle \ cdots \ rightarrow F_ {j} \ rightarrow \ cdots \ rightarrow F_ {0} \ rightarrow M \ 0} rightarrow$

i pozwolić b _J być maksymalnie stopni generatorów F _j . Jeśli R jest liczbą całkowitą tak, że b _j - j ≤ R dla wszystkich j , a M jest uważany R -regular. Regularność M jest najmniejsza takie R .

Te dwa pojęcia prawidłowości pokrywają gdy F jest spójna wiązka taka, że Ass ( F ) nie zawiera żadnych zamkniętych punktów. Następnie oceniana moduł M = _{d∈ Z} H ⁰ ( p ⁿ , K ( d ))${\ Displaystyle \ Oplus}$ to skończona generowane i ma sama regularność jako F .

Referencje

• Castelnuovo, G. (1893), "Sui multipli di una serie lineare di gruppi di punti appartenente ad una Curva algebrica", Red. Circ. Mata. Palermo , 7 : 89-110, JFM  25.1035.02
• Eisenbud, David (1995), algebrę z widokiem w stronę geometrii algebraicznej , Graduate Teksty w Matematyki , 150 , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-94269-8 , MR  1322960
• Eisenbud, David (2005), Geometria syzygies , absolwent Teksty w Matematyki, 229 , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / b137572 , ISBN  978-0-387-22215-8 , MR  2103875
• Mumford, David (1966), Wykłady na łukach na powierzchni algebraiczna , Annals of Mathematics Studies, 59 , Princeton University Press , ISBN  978-0-691-07993-6 , MR  0209285