Rozdzielczość Cartana-Eilenberga - Cartan–Eilenberg resolution

W algebrze homologicznej The rozdzielczości Cartan-Eilenberg jest w pewnym sensie rozdzielczości z kompleksu łańcucha . Może być używany do konstruowania funktorów hiperpochodnych . Został nazwany na cześć Henri Cartana i Samuela Eilenberga .

Definicja

Niech będzie kategorią abelową z wystarczającą liczbą rzutów i niech będzie kompleksem łańcuchowym z obiektami w . Następnie rozdzielczości Cartana-Eilenberg z górna pół-płaszczyzny podwójny kompleks (czyli o ) składający się z projekcyjnych obiektów oraz łańcuch „rozszerzona” map w taki sposób, ${\ Displaystyle {\ Mathcal {A}}}$${\ Displaystyle A_ {*}}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {A}}}$${\ Displaystyle A_ {*}}$ ${\displaystyle P_{*,*}}$${\displaystyle P_{p,q}=0}$${\displaystyle q<0}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {A}}}$${\ Displaystyle \ varepsilon \ dwukropek P_ {p, *} \ do A_ {*}}$

• Jeśli wtedy p -ta kolumna ma wartość zero, tj. dla wszystkich q .${\ Displaystyle A_ {p} = 0}$${\displaystyle P_{p,q}=0}$

• Dla dowolnej kolumny stałej , ${\displaystyle P_{p,*}}$
  • Kompleks granic otrzymany przez zastosowanie różniczki poziomej do ( pierwsza kolumna ) tworzy rozdzielczość rzutową granic .${\ Displaystyle B_ {p} (P, d ^ {h}): = d ^ {h} (P_ {p + 1. *})}$${\displaystyle P_{p+1,*}}$${\displaystyle p+1}$${\displaystyle P_{*,*}}$${\ Displaystyle B_ {p} (\ varepsilon): B_ {p} (P, d ^ {h}) \ do B_ {p} (A)}$${\ Displaystyle A_ {p}}$
  • Kompleks uzyskany przez wzięcie homologii każdego rzędu w odniesieniu do różniczki poziomej tworzy rozdzielczość projekcyjną homologii stopnia p .${\ Displaystyle H_ {p} (P, d ^ {h})}$${\ Displaystyle H_ {p} (\ varepsilon): H_ {p} (P, d ^ {h}) \ do H_ {p} (A)}$${\ Displaystyle A}$

Można wykazać, że dla każdego p kolumna jest rozdzielczością rzutową . ${\displaystyle P_{p,*}}$${\ Displaystyle A_ {p}}$

Istnieje analogiczna definicja używająca rozdzielczości iniekcyjnych i kompleksów kołańcuchowych.

Istnienie rezolucji Cartana–Eilenberga można udowodnić za pomocą lematu podkowy .

Funktory hiperpochodne

Mając prawy funktor dokładny , można zdefiniować lewe hiper-pochodne funktory na łańcuchu zespolonym przez ${\ Displaystyle F \ dwukropek {\ mathcal {A}} \ do {\ mathcal {B}}}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle A_ {*}}$

• Konstruowanie rezolucji Cartana-Eilenberga ,${\ Displaystyle \ varepsilon: P_ {*, *} \ do A_ {*}}$
• Zastosowanie funktora do , i${\ Displaystyle F}$${\displaystyle P_{*,*}}$
• Biorąc homologię powstałego kompleksu całkowitego.

Podobnie można również zdefiniować prawe funktory hiperpochodne dla lewych funktorów dokładnych.

Zobacz też

• Hiperhomologia

Bibliografia

• Weibel, Charles A. (1994), Wprowadzenie do algebry homologicznej , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55987-4, MR  1269324