Karl Georg Christian von Staudt - Karl Georg Christian von Staudt

Karl GC von Staudt
Karl von Staudt (1798 - 1867)
Urodzić się	24 stycznia 1798 ( 1798-01-24 ) Wolne Miasto Cesarskie Rothenburg (dzisiejszy Rothenburg ob der Tauber , Niemcy )
Zmarł	1 czerwca 1867 (w wieku 69 lat) ( 1867-07 ) Erlangen
Narodowość	Niemiecki
Alma Mater	Uniwersytet w Erlangen
Znany z	Algebra rzutów twierdzenie von Staudta-Clausena
Kariera naukowa
Pola	Astronomia Matematyka
Doradca doktorski	Gaus
Wpływy	Gaus
Pod wpływem	Eduardo Torroja Caballe Corrado Segre Mario Pieri

Karl Georg Christian von Staudt (24 stycznia 1798 – 1 czerwca 1867) był niemieckim matematykiem, który wykorzystał geometrię syntetyczną do stworzenia podstaw arytmetyki.

Życie i wpływy

Karl urodził się w Wolnym Cesarskim Mieście Rothenburg, które obecnie nazywa się Rothenburg ob der Tauber w Niemczech. Od 1814 uczył się w gimnazjum w Ausbach. Uczęszczał na Uniwersytet w Getyndze od 1818 do 1822, gdzie studiował u Gaussa, który był dyrektorem obserwatorium. Staudt dostarczył efemerydy dla orbit Marsa i asteroidy Pallas . Kiedy w 1821 roku zaobserwowano kometę Nicollet-Pons, podał elementy jej orbity . Te osiągnięcia w astronomii przyniosły mu doktorat na Uniwersytecie w Erlangen w 1822 roku.

Kariera zawodowa Staudta rozpoczęła się jako instruktor szkoły średniej w Würzburgu do 1827 r., a następnie w Norymberdze do 1835 r. Ożenił się z Jeanette Dreschler w 1832 r. Mieli syna Eduarda i córkę Matyldę, ale Jeanette zmarła w 1848 r.

Książka Geometrie der Lage (1847) była punktem zwrotnym w geometrii rzutowej . Jak napisał Burau (1976):

Staudt jako pierwszy przyjął w pełni rygorystyczne podejście. Bez wyjątku jego poprzednicy wciąż mówili o odległościach, prostopadłościach, kątach i innych bytach, które nie odgrywają żadnej roli w geometrii rzutowej.

Co więcej, ta książka (strona 43) używa pełnego czworokąta do „skonstruowania czwartej harmonicznej związanej z trzema punktami na linii prostej”, sprzężonej harmonicznej rzutowej .

Rzeczywiście, w 1889 roku Mario Pieri przetłumaczył von Staudta, zanim napisał swoją I Principii della Geometrie di Posizione Composti in un Systema Logico-deduttivo (1898). W 1900 Charlotte Scott z Bryn Mawr College sparafrazowała większość prac von Staudta po angielsku dla The Mathematical Gazette . Kiedy Wilhelm Blaschke opublikował swój podręcznik Geometria rzutowa w 1948 roku, naprzeciw Vorwort umieszczono portret młodego Karla .

Staudt wyszedł poza rzeczywistą geometrię rzutową i wszedł w złożoną przestrzeń rzutową w swoich trzech tomach Beiträge zur Geometrie der Lage opublikowanych w latach 1856-1860.

W 1922 HF Baker pisał o pracy von Staudta:

To właśnie dla von Staudta eliminacja idei odległości i zgodności była świadomym celem, gdyby również uznanie wagi tego mogło być znacznie opóźnione, gdyby nie praca Cayleya i Kleina nad projekcyjną teorią odległości. . Uogólnione i połączone z późniejszą rozprawą Riemanna, tomy v. Staudta muszą być uważane za podstawę tego, czym ze swej geometrycznej strony może się jeszcze stać teoria względności w fizyce.

Von Staudt jest również pamiętany ze względu na poglądy na przekroje stożkowe i stosunek bieguna do bieguna :

Von Staudt dokonał ważnego odkrycia, że ​​relacja, jaką tworzy stożka między biegunami a biegunami, jest w rzeczywistości bardziej fundamentalna niż sama stożkowa i może być ustanawiana niezależnie. Ta "biegunowość" może być następnie użyta do zdefiniowania stożka, w sposób, który jest doskonale symetryczny i natychmiast samopodwójny: stożka jest po prostu miejscem punktów, które leżą na ich biegunach lub otoczką linii przechodzących przez ich bieguny. . Podejście von Staudta do kwadryki jest analogiczne, w trzech wymiarach.

Algebra rzutów

W 1857 r., w drugim Beiträge , von Staudt stworzył drogę do numerowania przez geometrię zwaną algebrą rzutów ( niem . Wurftheorie ). Opiera się na zasięgu projekcyjnym i relacji sprzężeń harmonicznych projekcyjnych . Poprzez operacje dodawania punktów i mnożenia punktów uzyskuje się „algebrę punktów”, jak w rozdziale 6 podręcznika Veblen & Young o geometrii rzutowej. Zazwyczaj prezentacja opiera się na współczynniku krzyżowym ( CA,BD ) czterech punktów współliniowych. Na przykład Coolidge napisał:

Jak dodamy do siebie dwie odległości? Podajemy im ten sam punkt początkowy, znajdujemy punkt w połowie odległości między ich punktami końcowymi, to znaczy sprzężenie harmoniczne nieskończoności w odniesieniu do ich punktów końcowych, a następnie znajdujemy sprzężenie harmoniczne punktu początkowego w odniesieniu do tego środka. punkt i nieskończoność. Uogólniając to, jeśli chcemy dodać rzuty ( CA,BD ) i ( CA,BD' ), znajdujemy M sprzężenie harmoniczne C w odniesieniu do D i D' , a następnie S sprzężenie harmoniczne A w odniesieniu do C i M  :

${\ Displaystyle (CA, BD) + (CA, BD') = (CA, BS).\ }$

W ten sam sposób możemy znaleźć definicję iloczynu dwóch rzutów. Ponieważ iloczyn dwóch liczb ma taki sam stosunek do jednej z nich, jak druga do jedności, stosunek dwóch liczb jest stosunkiem krzyżowym, jaki mają one jako para do nieskończoności i zera, tak więc Von Staudt w poprzednim zapisie: definiuje iloczyn dwóch rzutów przez

${\ Displaystyle (CA, BD) \ cdot (CA, DD') = (CA, BD').}$

Definicje te obejmują długą serię kroków, aby pokazać, że tak zdefiniowana algebra podlega zwykłym prawom przemiennym, asocjacyjnym i dystrybutywnym oraz że nie ma dzielników zera.

Stwierdzenie podsumowujące podaje Veblen & Young jako Twierdzenie 10: „Zbiór punktów na prostej z usuniętymi tworzy pole w stosunku do wcześniej zdefiniowanych operacji”. Jak zauważa Freudenthal ${\displaystyle P_{\infty}}$

...do Hilberta nie ma innego przykładu na tak bezpośrednie wyprowadzenie praw algebraicznych z aksjomatów geometrycznych, jakie można znaleźć w Beiträge von Staudta .

Kolejna afirmacja pracy von Staudta ze sprzężonymi harmonicznymi ma postać twierdzenia:

Jedyną korespondencją jeden do jednego między rzeczywistymi punktami na linii, która zachowuje harmoniczną relację między czterema punktami, jest rzutowość nieosobliwa.

Algebra rzutów została opisana jako „arytmetyka projekcyjna” w Czterech filarach geometrii (2005). W sekcji zatytułowanej „Arytmetyka projekcyjna”, mówi

Prawdziwa trudność polega na tym, że na przykład konstrukcja a + b różni się od konstrukcji b + a , więc jest to "zbieg okoliczności", jeśli a + b = b + a . Podobnie jest to "zbieg okoliczności", jeśli ab = ba , któregoś innego prawa algebry jest spełniony . Na szczęście możemy wykazać, że wymagane koincydencje faktycznie występują, ponieważ implikują je pewne geometryczne koincydencje, a mianowicie twierdzenia Pappusa i Desarguesa.

Jeśli interpretować pracę von Staudta jako konstrukcję liczb rzeczywistych , to jest ona niekompletna. Jedną z wymaganych właściwości jest to, że sekwencja ograniczona ma punkt skupienia . Jak zauważył Hans Freudenthal :

Aby móc uznać podejście von Staudta za rygorystyczną podstawę geometrii rzutowej, wystarczy wyraźnie dodać aksjomaty topologiczne, które są milcząco używane przez von Staudta. ... jak można sformułować topologię przestrzeni rzutowej bez wsparcia metryki? Von Staudt był jeszcze daleki od postawienia tego pytania, które ćwierć wieku później stanie się pilne. ... Felix Klein zauważył lukę w podejściu von Staudta; zdawał sobie sprawę z konieczności sformułowania topologii przestrzeni rzutowej niezależnie od przestrzeni euklidesowej.... Włosi jako pierwsi znaleźli naprawdę satysfakcjonujące rozwiązania problemu czysto rzutowej podstawy geometrii rzutowej, którą próbował rozwiązać von Staudt .

Jednym z włoskich matematyków był Giovanni Vailati, który badał właściwość porządku kołowego rzeczywistej linii rzutowej. Nauka o tym porządku wymaga czwartorzędowej relacji zwanej relacją separacji . Wykorzystując tę ​​relację, można odnieść się do koncepcji sekwencji monotonicznej i limitu w cyklicznej „linii”. Zakładając, że każda sekwencja monotoniczna ma granicę, linia staje się całkowitą przestrzenią . Rozwój ten został zainspirowany dedukcjami aksjomatów pola von Staudta jako inicjatywą wyprowadzania własności ℝ z aksjomatów w geometrii rzutowej.

Pracuje

• 1831: Über die Kurven, 2. Ordnung . Norymberga
• 1845: De numeris Bernoullianis: commentationem alteram pro loco in facultate philosophica rite obtinendo , Carol. G. Chr. de Staudt. Erlangae: Junge.
• 1845: De numeris Bernoullianis: loci in senatu akademicki ryt obtinendi causa commentatus est, Carol. G. Chr. de Staudt. Erlangae: Junge.

Poniższe linki prowadzą do historycznych monografii matematycznych Uniwersytetu Cornell :

• 1847: Geometria der Lage . Norymberga.
• 1856: Beiträge zur Geometrie der Lage, Erstes Heft . Norymberga.
• 1857: Beiträge zur Geometrie der Lage, Zweites Heft . Norymberga.
• 1860: Beiträge zur Geometrie der Lage, Drittes Heft . Norymberga.

Zobacz też

• Krzywa W

Bibliografia

• O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , „Karl George Christian von Staudt” , archiwum historii matematyki MacTutor , University of St Andrews
• Veblena, Oswalda; Młody, JWA (1938). Geometria rzutowa . Boston: Ginn & Co. ISBN 978-1-4181-8285-4.
• John Wesley Young (1930) Geometria rzutowa , rozdział 8: Algebra punktów i wprowadzenie metod analitycznych, Open Court for Mathematical Association of America .