Współrzędne Boyera-Lindquista - Boyer–Lindquist coordinates

Z opisu matematycznego ogólnym wzgl , że współrzędne Boyer-Lindquist i to uogólnienie współrzędnych stosowanych dla metryki z czarną dziurę Schwarzschilda , które mogą być zastosowane do ekspresji metryczny z Kerr czarną dziurę .

Hamiltonian dla ruchu cząstki testowej w czasoprzestrzeni Kerra jest rozdzielny we współrzędnych Boyera-Lindquista. Korzystając z teorii Hamiltona-Jacobiego można wyprowadzić czwartą stałą ruchu znaną jako stała Cartera .

Artykuł z 1967 roku wprowadzający współrzędne Boyera-Lindquista był pośmiertną publikacją Roberta H. Boyera, który zginął w strzelaninie na wieży University of Texas w 1966 roku .

Element linii

Element liniowy czarnej dziury o całkowitym równoważniku masy , momencie pędu i ładunku we współrzędnych Boyera-Lindquista i jednostkach naturalnych ( ) to ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle J}$${\displaystyle Q}$${\ Displaystyle G = c = 1}$

${\ Displaystyle ds ^ {2} = - {\ Frac {\ Delta} {\ rho ^ {2}}} \ lewo (dt-a \ sin ^ {2} \ theta \ d \ phi \ prawej) ^ { 2}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}{\Big (}\left(r^{2}+a^{2}\right)\,d \phi -a\,dt{\Big )}^{2}+{\frac {\rho ^{2}}{\Delta }}dr^{2}+\rho ^{2}\,d\theta ^{2}}$

gdzie

${\ Displaystyle \ Delta = r ^ {2} -2Mr + a ^ {2} + Q ^ {2}}$zwany wyróżnikiem ,

${\ Displaystyle \ rho ^ {2} = r ^ {2} + a ^ {2} \ cos ^ {2} \ teta }$

i

${\ Displaystyle a = {\ Frac {J} {M}},}$nazywany parametrem Kerr .

Należy zauważyć, że w jednostkach naturalnych , i wszyscy mają jednostki długości. Ten element linii opisuje metrykę Kerra-Newmana . Tutaj, należy interpretować jako masę na czarną dziurę, tak jak widziana przez obserwatora, w nieskończoności, jest interpretowane jako krętu , a na ładunek elektryczny . To wszystko ma być stałymi parametrami, utrzymywanymi na stałym poziomie. Nazwa dyskryminatora wynika z tego, że występuje on jako dyskryminator równania kwadratowego ograniczającego czasowy ruch cząstek krążących wokół czarnej dziury, czyli definiującego ergosferę. ${\ Displaystyle M}$${\displaystyle a}$${\displaystyle Q}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle J}$${\displaystyle Q}$

Transformacja współrzędnych ze współrzędnych Boyera-Lindquista , , na współrzędne kartezjańskie , , jest dana (dla ) przez: ${\ Displaystyle r}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle m\do 0}$${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} x = {\ sqrt {r ^ {2} + a ^ {2}}} \ sin \ theta \ cos \ phi \ \ y & = {\ sqrt {r ^ {2} + a^{2}}}\sin \theta \sin \phi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}}$

Vierbein

W vierbein jeden formularze można odczytać bezpośrednio z elementu liniowego:

${\ Displaystyle \ sigma ^ {0}= {\ Frac {\ sqrt {\ Delta}} {\ rho}} \ lewo (dt-a \ sin ^ {2} \ theta \ d \ phi \ prawej)}$

${\ Displaystyle \ sigma ^ {1} = {\ Frac {\ rho} {\ sqrt {\ Delta}}} dr}$

${\ Displaystyle \ sigma ^ {2} = \ rho \, d \ theta}$

${\ Displaystyle \ sigma ^ {3} = {\ Frac {\ sin \ theta} {\ rho}} {\ Duży (} \ lewo (r ^ {2} + a ^ {2} \ po prawej) \ d \ phi -a\,dt{\duży )}}$

tak, że element liniowy jest podany przez

${\ Displaystyle ds ^ {2} = \ sigma ^ {a} \ otimes \ sigma ^ {b} \ eta _ {ab}}$

gdzie jest metryka Minkowskiego z płaską przestrzenią . ${\displaystyle \eta_{ab}}$

Połączenie obrotowe

Skręcanie połączenie wirowania jest określona ${\ Displaystyle \ omega ^ {ab}}$

${\ Displaystyle d \ sigma ^ {a} + \ omega ^ {ab} \ klin \ sigma ^ {c} \ eta _ {bc} = 0}$

Contorsion napinacz daje różnicę pomiędzy związku z skrętny, jak i odpowiadającego związku bez skręcania. Zgodnie z konwencją, rozmaitości Riemanna są zawsze określane jako geometrie wolne od skręceń; skręcanie jest często używane do określania równoważnych, płaskich geometrii.

Połączenie obrotowe jest przydatne, ponieważ zapewnia pośredni punkt drogi do obliczenia dwupostaciowej krzywizny :

${\ Displaystyle R ^ {ab} = d \ omega ^ {ab} + \ omega ^ {ac} \ klin \ omega ^ {db} \ eta _ {cd}}$

Jest to również najbardziej odpowiednia forma opisu sprzężenia z polami spinorowymi i otwiera drzwi do formalizmu twistorów .

Wszystkie sześć elementów połączenia spinowego nie znika. To są:

${\ Displaystyle \ omega ^ {01} = {\ Frac {1} {\ rho ^ {3}}} \ lewo [{\ Frac {-2Mr ^ {2} + 2rQ ^ {2} + a ^ {2}] [M+r+(Mr)\cos 2\theta ]}{2{\sqrt {\Delta }}}}\,\sigma ^{0}+ra\sin \theta \,\sigma ^{3}\right ]}$

${\ Displaystyle \ omega ^ {02} = {\ Frac {a \ cos \ theta} {\ rho ^ {3}}} \ lewo [a \ sin \ theta \, \ sigma ^ {0}+ {\ sqrt { \Delta }}\,\sigma ^{3}\prawo]}$

${\ Displaystyle \ omega ^ {03} = {\ Frac {a} {\ rho ^ {3}}} \ lewo [r \ sin \ theta \, \ sigma ^ {1} - {\ sqrt {\ delta}} \cos \theta \,\sigma ^{2}\right]}$

${\ Displaystyle \ omega ^ {12} = {\ Frac {1} {\ rho ^ {3}}} \ lewo [a ^ {2} \ sin \ theta \ cos \ theta \ \ sigma ^ {1} + r{\sqrt {\Delta }}\,\sigma ^{2}\prawo]}$

${\ Displaystyle \ omega ^ {13} = {\ Frac {r} {\ rho ^ {3}}} \ lewo [a \ sin \ theta \, \ sigma ^ {0}+ {\ sqrt {\ delta}} \,\sigma ^{3}\prawo]}$

${\ Displaystyle \ omega ^ {23} = {\ Frac {\ łóżeczko \ theta} {\ rho ^ {3}}} \ lewo [a {\ sqrt {\ delta}} \ grzech \ teta \ \ sigma ^ { 0}+(r^{2}+a^{2})\,\sigma ^{3}\right]}$

Tensory Riemanna i Ricciego

Tensor Riemanna napisany w całości jest dość gadatliwy; można go znaleźć w Fre. Ricci tensor przybiera formę przekątnej:

${\ Displaystyle {\ mbox {Ric}} = {\ Frac {Q ^ {2}} {\ rho ^ {4}}} {\ zacząć {bmatrix} 1 i 0 i 0 i 0 \ \ 0 i 1 i 0 i 0 \ \ 0 i 0 i 1 i 0 \ \ 0 i 0 i 0 i 1 \\ \end{bmatryca}}}$

Zwróć uwagę na lokalizację wpisu minus jeden: pochodzi on całkowicie z wkładu elektromagnetycznego. Mianowicie, gdy tensor naprężeń elektromagnetycznych ma tylko dwie nieznikające składowe: i , to odpowiedni tensor energii i pędu przyjmuje postać ${\ Displaystyle F_ {ab}}$${\ Displaystyle F_ {01}}$${\ Displaystyle F_ {23}}$

${\ Displaystyle T ^ {\ mbox {Maxwell}} = {\ Frac {F_ {01} ^ {2} + F_ {23} ^ {2}} {4}} {\ zacząć {bmatrix} 1 i 0 i 0 i 0 \ \ 0 i - 1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatryca}}}$

Porównanie tego z tensorem energii-pędu dla pola grawitacyjnego prowadzi do rozwiązania elektropróżniowego Kerra-Newmana .

Bibliografia

• Shapiro, SL; Teukolski SA (1983). Czarne dziury, białe karły i gwiazdy neutronowe: Fizyka obiektów kompaktowych . Nowy Jork: Wiley. str. 357. Numer ISBN 9780471873167.