Krzywa Watta - Watt's curve

Krzywa Watta z parametrami a = 2,1, b = 2,2 i c = 0,6

Krzywa Watta z parametrami a = 3,1, b = 1,1 i c = 3,0

Krzywa Watta z parametrami a = 1, b = i c = 1${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

W matematyce, Krzywa Watta to tricircular samolot krzywa algebraiczna od stopnia szóstego . Jest generowany przez dwa okręgi o promieniu b z oddalonymi od siebie środkami o 2 a (przyjmowane jako (± a , 0). Odcinek linii o długości 2 c jest dołączany do punktu na każdym z okręgów, a środek linii segment wyznacza krzywą Watta, ponieważ okręgi obracają się częściowo tam i z powrotem lub całkowicie wokół. Powstał w związku z pionierskimi pracami Jamesa Watta nad maszyną parową.

Równanie krzywej można podać we współrzędnych biegunowych jako

${\ Displaystyle r ^ {2} = b ^ {2} - \ lewo [a \ sin \ theta \ pm {\ sqrt {c ^ {2} -a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta}} \ right] ^ {2}.}$

Pochodzenie

Współrzędne biegunowe

Równanie biegunowe krzywej można wyprowadzić w następujący sposób: Pracując na płaszczyźnie zespolonej , niech środki okręgów będą na a i −a , a odcinek łączący będzie miał punkty końcowe w −a + be ^{i  λ} i a + be ^{i ρ} . Niech kąt nachylenia segmentu będzie ψ, a jego środek w miejscu re ^{i θ} . Następnie punkty końcowe są również określone przez re ^{i θ} ± ce ^{i ψ} . Daje to ustawienie wyrażeń dla tych samych punktów równych sobie

${\ Displaystyle a + być ^ {i \ rho} = re ^ {i \ theta} + ce ^ {i \ psi}. \,}$

${\ Displaystyle -a + być ^ {i \ lambda} = re ^ {i \ teta} -ce ^ {i \ psi} \,}$

Dodaj je i podziel przez dwa, aby otrzymać

${\ Displaystyle re ^ {i \ theta} = {\ tfrac {b} {2}} (e ^ {i \ rho} + e ^ {i \ lambda}) = b \ cos ({\ tfrac {\ rho - \ lambda} {2}}) e ^ {i {\ tfrac {\ rho + \ lambda} {2}}}.}$

Porównanie promieni i argumentów daje

${\ Displaystyle r = b \ cos \ alfa, \ \ theta = {\ tfrac {\ rho + \ lambda} {2}} \ {\ mbox {gdzie}} \ \ alpha = {\ tfrac {\ rho - \ lambda } {2}}.}$

Podobnie, odejmowanie pierwszych dwóch równań i dzielenie przez 2 daje

${\ Displaystyle ce ^ {i \ psi} -a = {\ tfrac {b} {2}} (e ^ {i \ rho} -e ^ {i \ lambda}) = ib \ sin \ alpha e ^ {i \ theta}.}$

pisać

${\ Displaystyle a = a \ cos \ theta \ e ^ {i \ theta} -ia \ sin \ theta \ e ^ {i \ theta}. \,}$

Następnie

${\ Displaystyle ce ^ {i \ psi} = ib \ sin \ alpha e ^ {i \ theta} + a \ cos \ theta \ e ^ {i \ theta} -ia \ sin \ theta \ e ^ {i \ theta } = (a \ cos \ theta \ + i (b \ sin \ alpha -a \ sin \ theta)) e ^ {i \ theta},}$

${\ Displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta + (b \ sin \ alfa -a \ sin \ teta) ^ {2}, \,}$

${\ Displaystyle b \ sin \ alpha = a \ sin \ theta \ pm {\ sqrt {c ^ {2} -a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta}}, \,}$

${\ Displaystyle r ^ {2} = b ^ {2} \ cos ^ {2} \ alpha = b ^ {2} -b ^ {2} \ sin ^ {2} \ alpha = b ^ {2} - \ left [a \ sin \ theta \ pm {\ sqrt {c ^ {2} -a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta}} \ right] ^ {2}., \,}$

współrzędne kartezjańskie

Rozwinięcie równania biegunowego daje

${\ Displaystyle r ^ {2} = b ^ {2} - (a ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ + c ^ {2} -a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta \ pm 2a \ sin \ theta {\ sqrt {c ^ {2} -a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta}}), \,}$

${\ Displaystyle r ^ {2} -a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} + 2a ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta = \ pm 2a \ sin \ theta {\ sqrt {c ^ {2} -a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta}}), \,}$

${\ Displaystyle (r ^ {2} -a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2} + 4a ^ {2} (r ^ {2} -a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2}) \ sin ^ {2} \ theta + 4a ^ {4} \ sin ^ {4} \ theta = 4a ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta ( c ^ {2} -a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta), \,}$

${\ Displaystyle (r ^ {2} -a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2} + 4a ^ {2} (r ^ {2} -b ^ {2} ) \ sin ^ {2} \ theta = 0, \,}$

${\ Displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) (x ^ {2} + y ^ {2} -a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2 } + 4a ^ {2} y ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2} -b ^ {2}) = 0. \,}$

Niech d ² = a ² + b ² - c ² upraszcza to do

${\ Displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) (x ^ {2} + y ^ {2} -d ^ {2}) ^ {2} + 4a ^ {2} y ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2} -b ^ {2}) = 0. \,}$

Forma krzywej

Konstrukcja wymaga czworoboku o bokach 2 a , b , 2 c , b . Każdy bok musi być mniejszy niż suma pozostałych boków, więc krzywa jest pusta (przynajmniej w płaszczyźnie rzeczywistej), chyba że a < b + c i c < b + a .

Krzywa ma punkt przecięcia na początku, jeśli istnieje trójkąt o bokach a , b i c . Biorąc pod uwagę poprzednie warunki, oznacza to, że krzywa przecina początek wtedy i tylko wtedy, gdy b < a + c . Jeśli b = a + c, wówczas dwie gałęzie krzywej spotykają się na początku wspólną styczną pionową, co czyni z niej punkt poczwórny.

Biorąc pod uwagę b < a + c , kształt krzywej jest określony przez względną wielkość b i d . Jeśli d jest urojone, to znaczy jeśli a ² + b ² < c ^2, to krzywa ma postać ósemki. Jeśli d wynosi 0, to krzywa jest ósemką z dwoma odgałęzieniami krzywej mającymi wspólną poziomą styczną w początku. Jeśli 0 < d < b, to krzywa ma dwa dodatkowe podwójne punkty w ± d i krzywa przecina się w tych punktach. W tym przypadku ogólny kształt krzywej przypomina precla. Jeśli d = b, to a = c, a krzywa rozkłada się na okrąg o promieniu b i lemniscate Bootha , krzywą w kształcie ósemki. Szczególnym przypadkiem tego jest a = c , b = √2 c, co daje lemniscate Bernoulliego . Wreszcie, jeśli d > b, wówczas punkty ± d są nadal rozwiązaniami równania kartezjańskiego krzywej, ale krzywa nie przecina tych punktów i są to węzły . Krzywa ponownie ma kształt ósemki, chociaż kształt jest zniekształcony, jeśli d jest blisko b .

Biorąc pod uwagę b > a + c , kształt krzywej jest określony przez względne rozmiary a i c . Jeśli a < c, to krzywa ma postać dwóch pętli, które przecinają się przy ± d . Jeśli a = c, to krzywa rozkłada się na okrąg o promieniu b i owal Bootha . Jeśli a > c, to krzywa w ogóle nie przecina osi x i składa się z dwóch spłaszczonych owali.

Połączenie Watta

Gdy krzywa przecina początek, początek jest punktem przegięcia i dlatego styka się rzędu 3 ze styczną. Jeśli jednak a ² = b ² + < c ^2, to styczna ma kontakt rzędu 5 ze styczną, innymi słowy, krzywa jest bliskim przybliżeniem prostej. To jest podstawa połączenia Watta.

Zobacz też

• Czteropunktowy układ zawieszenia
• Połączenie Watta

Bibliografia

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Krzywa Watta” . MathWorld .
• O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , „Watt's Curve” , archiwum MacTutor History of Mathematics , University of St Andrews.
• Kataloński E. (1885). „Sur la Courbe de Watt”. Mateza . V : 154.
• Rutter, John W. (2000). Geometria krzywych . CRC Press. pp.  73ff. ISBN 1-58488-166-6.