Projekcja wektorowa - Vector projection

Projekcji wektora wektora A (albo na) niezerowy wektor b , czasami oznaczany (znanego również jako składnika wektora lub rozmiar wektora z w kierunku b ), jest rzut prostopadły z na w linii prostej równoległej do b . Jest to wektor równoległy do b , zdefiniowany jako: ${\ displaystyle \ operatorname {proj} _ {\ mathbf {b}} \ mathbf {a}}$

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {1} = a_ {1} \ mathbf {\ hat {b}} \,}$

gdzie jest skalarem, zwanym rzutem skalarnym z a na b , a b̂ jest wektorem jednostkowym w kierunku b . ${\ displaystyle a_ {1}}$

Z kolei odwzorowanie skalarne definiuje się jako:

${\ Displaystyle a_ {1} = \ lewo \ | \ mathbf {a} \ prawo \ | \ cos \ theta = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {\ kapelusz {b}} \,}$

gdzie operator ⋅ oznacza iloczyn skalarny , ‖ ‖ jest długość od i θ jest kąt pomiędzy i b .

Co w końcu daje:

${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {1} = \ lewo (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {\ kapelusz {b}} \ prawo) \ mathbf {\ kapelusz {b}} = {\ Frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}} {\ frac {\ mathbf {b}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}} = {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ | ^ {2}}} {\ mathbf {b}} = {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {b}}} {\ mathbf {b}} ~.}$

Rzut skalarny jest równy długości rzutu wektora, ze znakiem minus, jeśli kierunek rzutu jest przeciwny do kierunku b . Składnik wektora lub wektorów zdecydowany z a prostopadłą do B , zwany również odrzucenie wektor z z b (oznaczone ) jest prostopadły rzut na płaszczyźnie (lub ogólnie, hiperpłaszczyznę ) prostopadłej do b . Zarówno rzut a _{1, jak} i odrzucenie a ₂ wektora a są wektorami, a ich suma jest równa a , co oznacza, że ​​odrzucenie jest dane wzorem: ${\ displaystyle \ operatorname {oproj} _ {\ mathbf {b}} \ mathbf {a}}$${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {2} = \ mathbf {a} - \ mathbf {a} _ {1}.}$

Notacja

Zwykle odwzorowanie wektora jest oznaczone pogrubioną czcionką (np. A ₁ ), a odpowiednie odwzorowanie skalarne zwykłą czcionką (np. A ₁ ). W niektórych przypadkach, zwłaszcza w pisma, występ Wektor jest również określana za pomocą diakrytykę powyżej lub poniżej tej literze (na przykład, lub do ₁ ). Rzutowanie wektora a na b i odpowiadające mu odrzucenie są czasami oznaczone odpowiednio przez a _{∥ b} i a _{⊥ b} . ${\ displaystyle {\ vec {a}} _ {1}}$

Definicje oparte na kącie θ

Projekcja skalarna

Projekcja skalarna a na b jest skalarem równym

${\ Displaystyle a_ {1} = \ lewo \ | \ mathbf {a} \ prawo \ | \ cos \ theta}$

gdzie θ jest kątem między a i b .

Odwzorowanie skalarne może służyć jako współczynnik skali do obliczenia odpowiedniego odwzorowania wektora.

Projekcja wektorowa

Rzutowanie wektora a na b jest wektorem, którego wielkość jest odwzorowaniem skalarnym a na b w tym samym kierunku co b . Mianowicie definiuje się go jako

${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {1} = a_ {1} \ mathbf {\ kapelusz {b}} = (\ lewo \ | \ mathbf {a} \ prawo \ | \ cos \ theta) \ mathbf {\ kapelusz {b}}}$

gdzie jest odpowiednim odwzorowaniem skalarnym, jak zdefiniowano powyżej, i jest wektorem jednostkowym o tym samym kierunku co b : ${\ displaystyle a_ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {b}}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {\ kapelusz {b}} = {\ Frac {\ mathbf {b}} {\ lewo \ | \ mathbf {b} \ prawo \ |}} \,}$

Odrzucenie wektora

Z definicji odrzucenie wektora a na b wynosi:

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {2} = \ mathbf {a} - \ mathbf {a} _ {1}}$

W związku z tym,

${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {2} = \ mathbf {a} - \ lewo (\ lewo \ | \ mathbf {a} \ prawo \ | \ cos \ theta \ prawej) \ mathbf {\ kapelusz {b} }}$

Definicje wyrażone w a i b

Gdy θ nie jest znana, cosinus funkcji θ można obliczyć jako a i b , stosując następującą właściwość iloczynu skalarnego a ⋅ b

${\ Displaystyle {\ Frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ lewo \ | \ mathbf {a} \ prawo \ | \ lewo \ | \ mathbf {b} \ prawo \ |}} = \ cos \ theta}$

Projekcja skalarna

Dzięki powyższej własności iloczynu skalarnego definicja odwzorowania skalarnego staje się:

${\ Displaystyle a_ {1} = \ lewo \ | \ mathbf {a} \ prawo \ | \ cos \ theta = \ lewo \ | \ mathbf {a} \ prawo \ | {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}} = {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf { b}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}}.}$

Staje się to w dwóch wymiarach

${\ Displaystyle a_ {1} = {\ Frac {\ mathbf {a} _ {x} \ mathbf {b} _ {x} + \ mathbf {a} _ {y} \ mathbf {b} _ {y}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}}.}$

Projekcja wektorowa

Podobnie definicja rzutu wektora a na b wygląda następująco:

${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {1} = a_ {1} \ mathbf {\ kapelusz {b}} = {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ lewo \ | \ mathbf {b} \ right \ |}} {\ frac {\ mathbf {b}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}},}$

który jest równoważny albo

${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {1} = \ lewo (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {\ kapelusz {b}} \ prawo) \ mathbf {\ kapelusz {b}},}$

lub

${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {1} = {\ Frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ lewo \ | \ mathbf {b} \ prawo \ | ^ {2}}} {\ mathbf {b}} = {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {b}}} {\ mathbf {b}} ~.}$

Odrzucenie skalarne

W dwóch wymiarach odrzucenie skalarne jest równoważne rzutowi a na , który jest obrócony o 90 ° w lewo. W związku z tym, ${\ displaystyle \ mathbf {b} ^ {\ perp} = {\ początek {pmatrix} - \ mathbf {b} _ {y} & \ mathbf {b} _ {x} \ koniec {pmatrix}}}$${\ displaystyle \ mathbf {b} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {b} _ {x} & \ mathbf {b} _ {y} \ end {pmatrix}}}$

${\ Displaystyle a_ {2} = \ lewo \ | \ mathbf {a} \ prawo \ | \ sin \ theta = {\ Frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} ^ {\ perp}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}} = {\ frac {\ mathbf {a} _ {y} \ mathbf {b} _ {x} - \ mathbf {a} _ {x} \ mathbf { b} _ {y}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}}.}$

Taki iloczyn skalarny nazywany jest „iloczynem skalarnym perp”.

Odrzucenie wektora

Zgodnie z definicją,

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {2} = \ mathbf {a} - \ mathbf {a} _ {1}}$

W związku z tym,

${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {2} = \ mathbf {a} - {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {b}} } {\ mathbf {b}}.}$

Nieruchomości

Projekcja skalarna

Odwzorowanie skalarne a na b jest skalarem, który ma znak ujemny, jeśli 90 stopni < θ ≤ 180 stopni . Zbiega się z długością ‖ c ‖ rzutu wektora, jeśli kąt jest mniejszy niż 90 °. Dokładniej:

• a ₁ = ‖ a ₁ ‖ jeśli 0 ° ≤ θ ≤ 90 °,
• a ₁ = −‖ a ₁ ‖, jeśli 90 ° < θ ≤ 180 °.

Projekcja wektorowa

Rzutowanie wektora a na b jest wektorem a _1, który jest zerowy lub równoległy do b . Dokładniej:

• a ₁ = 0, jeśli θ = 90 °,
• a ₁ i b mają ten sam kierunek, jeżeli 0 ° ≤ θ <90 °,
• a ₁ i b mają przeciwne kierunki, jeżeli 90 ° < θ ≤ 180 °.

Odrzucenie wektora

Odrzucenie wektora a na b jest wektorem a _2, który jest zerowy lub ortogonalny do b . Dokładniej:

• a ₂ = 0 jeśli θ = 0 ° lub θ = 180 °,
• a ₂ jest prostopadłe do b, jeśli 0 < θ <180 °,

Reprezentacja macierzy

Rzut ortogonalny można przedstawić za pomocą macierzy odwzorowania. Aby rzutować wektor na wektor jednostkowy a = ( a _x , a _y , a _z ), należałoby go pomnożyć przez tę macierz projekcji:

${\ Displaystyle P _ {\ mathbf {a}} = \ mathbf {a} \ mathbf {a} ^ {\ tekstyf {T}} = {\ zaczynać {bmatrix} a_ {x} \\ a_ {y} \\ a_ {z} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_ {x} & a_ {y} & a_ {z} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} a_ {x} ^ {2} & a_ { x} a_ {y} & a_ {x} a_ {z} \\ a_ {x} a_ {y} & a_ {y} ^ {2} & a_ {y} a_ {z} \\ a_ {x} a_ {z} & a_ {y} a_ {z} & a_ {z} ^ {2} \\\ end {bmatrix}}}$

Używa

Projekcja wektor jest ważne działanie na bakterie Gram-Schmidt orthonormalization z przestrzeni wektorowej bazy . Jest również używany w twierdzeniu o osi rozdzielającej do wykrywania, czy dwa wypukłe kształty przecinają się.

Uogólnienia

Ponieważ pojęcia długości wektora i kąta między wektorami można uogólnić na dowolną n- wymiarową wewnętrzną przestrzeń iloczynu , dotyczy to również pojęć ortogonalnego rzutu wektora, rzutu wektora na inny i odrzucenia wektora z innego .

W niektórych przypadkach iloczyn skalarny pokrywa się z iloczynem skalarnym. Ilekroć nie pokrywają się, iloczyn wewnętrzny jest używany zamiast iloczynu skalarnego w formalnych definicjach rzutowania i odrzucania. W przypadku trójwymiarowej wewnętrznej przestrzeni iloczynu pojęcia rzutowania wektora na inny i odrzucania wektora z innego można uogólnić na pojęcia rzutowania wektora na płaszczyznę i odrzucenia wektora z płaszczyzny. Rzut wektora na płaszczyznę jest rzutem prostopadłym na tę płaszczyznę. Odrzucenie wektora z płaszczyzny jest jego prostopadłym rzutem na prostą prostopadłą do tej płaszczyzny. Oba są wektorami. Pierwsza jest równoległa do płaszczyzny, druga jest ortogonalna.

Dla danego wektora i płaszczyzny suma rzutowania i odrzucania jest równa pierwotnemu wektorowi. Podobnie, w przypadku wewnętrznych przestrzeni iloczynów o więcej niż trzech wymiarach, pojęcia rzutowania na wektor i odrzucania z wektora można uogólnić na pojęcia rzutowania na hiperpłaszczyznę i odrzucenia z hiperpłaszczyzny . W algebrze geometrycznej można je dalej uogólniać na pojęcia rzutowania i odrzucania ogólnego wielowektora na / z dowolnego odwracalnego k- ostrza.

Zobacz też

• Projekcja skalarna
• Notacja wektorowa

Bibliografia

Linki zewnętrzne

• Rzutowanie wektora na płaszczyznę