Nierówność zmienna - Variational inequality

W matematyce , A wariacyjna nierówność jest nierówność udziałem funkcjonalne , które muszą być rozwiązane dla wszystkich możliwych wartości danej zmiennej należących zwykle do wypukłej zestawu . Matematyczna teoria wariacyjnych nierówności został pierwotnie opracowany do czynienia z równowagi problemów właśnie z problemem Signorini : w tym modelu problemu, funkcjonalny zaangażowany uzyskano jako pierwszej odmianie z zajętego energii potencjalnej . Ma więc pochodzenie wariacyjne , przywołane nazwą ogólnego problemu abstrakcyjnego. Od tego czasu możliwość zastosowania teorii została rozszerzona o problemy z ekonomii , finansów , optymalizacji i teorii gier .

Historia

Pierwszym problemem związanym z nierównością wariacyjną był problem Signorini , postawiony przez Antonio Signorina w 1959 r. I rozwiązany przez Gaetano Fichera w 1963 r., Zgodnie z piśmiennictwem ( Antman 1983 , s. 282–284) i ( Fichera 1995 ): pierwsze artykuły autorstwa Teoria była ( Fichera 1963 ) i ( Fichera 1964a ), ( Fichera 1964b ). Później Guido Stampacchia udowodnił swoje uogólnienie na twierdzenie Lax – Milgrama w ( Stampacchia 1964 ) w celu zbadania problemu regularności dla równań różniczkowych cząstkowych i ukuł nazwę „nierówność wariacyjna” dla wszystkich problemów związanych z nierównościami tego rodzaju. Georges Duvaut zachęcał swoich doktorantów do studiowania i rozwijania prac Fichery po wzięciu udziału w konferencji w Brixen w 1965 roku, na której Fichera przedstawił swoje studium problemu Signorini, jak Antman 1983 , s. 283 doniesienia: w ten sposób teoria ta stała się szeroko znana w całej Francji . Również w 1965 roku Stampacchia i Jacques-Louis Lions rozszerzyli wcześniejsze wyniki ( Stampacchia 1964 ), ogłaszając je w artykule ( Lions & Stampacchia 1965 ): pełne dowody ich wyników pojawiły się później w artykule ( Lions & Stampacchia 1967 ).

Definicja

Idąc za Antmanem (1983 , s. 283), formalna definicja nierówności wariacyjnej jest następująca.

Definicja 1. Biorąc pod uwagę przestrzeń Banacha , A podzbiorem od i funkcjonalny od do podwójnej przestrzeni przestrzeni , wariacyjnego problemu nierówności jest problem rozwiązać dla zmiennej należącej do następującej nierówności : ${\ displaystyle {\ boldsymbol {E}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {K}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {E}}}$${\ displaystyle F \ colon {\ boldsymbol {K}} \ do {\ boldsymbol {E}} ^ {\ ast}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {K}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {E}} ^ {\ ast}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {E}}}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {K}}}$

${\ displaystyle \ langle F (x), yx \ rangle \ geq 0 \ qquad \ forall y \ in {\ boldsymbol {K}}}$

gdzie jest parowanie dualności . ${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle \ colon {\ boldsymbol {E}} ^ {\ ast} \ times {\ boldsymbol {E}} \ to \ mathbb {R}}$

Ogólnie rzecz biorąc, problem nierówności wariacyjnych można sformułować w dowolnej skończonej - lub nieskończenie - wymiarowej przestrzeni Banacha . Trzy oczywiste kroki w badaniu problemu są następujące:

1. Udowodnij istnienie rozwiązania: ten krok implikuje matematyczną poprawność problemu, pokazując, że istnieje przynajmniej rozwiązanie.
2. Udowodnij wyjątkowość danego rozwiązania: krok ten implikuje fizyczną poprawność problemu, pokazując, że rozwiązanie może być użyte do reprezentacji zjawiska fizycznego. Jest to szczególnie ważny krok, ponieważ większość problemów modelowanych przez zmienne nierówności ma podłoże fizyczne.
3. Znaleźć rozwiązanie.

Przykłady

Problem znalezienia minimalnej wartości funkcji o wartościach rzeczywistych zmiennej rzeczywistej

Jest to standardowy przykład problem zgłoszony przez Antman (1983 , s. 283): rozważmy problem ze znalezieniem minimalną wartość o różniczkowalnej funkcji na przedziale domkniętym . Niech będzie punktem, w którym występuje minimum. Mogą wystąpić trzy przypadki: ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle I = [a, b]}$${\ displaystyle x ^ {\ ast}}$${\ displaystyle I}$

1. jeśli wtedy ${\ Displaystyle a <x ^ {\ ast} <b,}$${\ Displaystyle f ^ {\ prime} (x ^ {\ ast}) = 0;}$
2. jeśli wtedy ${\ Displaystyle x ^ {\ ast} = a,}$${\ Displaystyle f ^ {\ prime} (x ^ {\ ast}) \ geq 0;}$
3. jeśli wtedy ${\ Displaystyle x ^ {\ ast} = b,}$${\ Displaystyle f ^ {\ prime} (x ^ {\ ast}) \ równoważnik 0.}$

Te niezbędne warunki można podsumować jako problem znalezienia takich, że ${\ Displaystyle x ^ {\ ast} \ in I}$

${\ Displaystyle f ^ {\ prime} (x ^ {\ ast}) (yx ^ {\ ast}) \ geq 0 \ quad}$ dla ${\ displaystyle \ quad \ forall y \ in I.}$

Bezwzględne minimum należy szukać między rozwiązaniami (jeśli więcej niż jednym) poprzedniej nierówności : zauważ, że rozwiązanie jest liczbą rzeczywistą , a zatem jest to nierówność zmienno- wymiarowa o skończonych wymiarach .

Ogólna nierówność wariacyjna o skończonych wymiarach

Preparat stanowi ogólny problem w to: dali podzbiór z i mapowanie The skończony - trójwymiarowy Problem związany z nierówności wariacyjna składa znalezienia wymiarową wektor należącej do tak, że ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle F \ dwukropek K \ do \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle \ langle F (x), yx \ rangle \ geq 0 \ qquad \ forall y \ in K}$

gdzie jest standardowym produktem wewnętrzna na przestrzeni wektorowej . ${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ razy \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Nierówność wariacyjna dla problemu Signorini

Z historycznego badania ( Fichera 1995 ) Gaetano Fichera opisuje genezę jego rozwiązania problemu Signorini : problem polega na znalezieniu elastyczny równowagi konfiguracji danego anizotropowego niejednorodnego sprężystego , który leży w podgrupie z trój wymiarowego euklidesowej przestrzeń, której granica jest spoczywająca na sztywnej powierzchni pozbawionej tarcia i poddana tylko jej siłom masowym . Rozwiązanie tego problemu nie istnieje i jest unikalny (w ściśle określonych założeń) w zestawie z dopuszczalnych przesunięć tj zestaw przemieszczenia wektorów spełniających systemu niejednoznacznych warunków granicznych , wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {u}} ({\ boldsymbol {x}}) = \ lewo (u_ {1} ({\ boldsymbol {x}}), u_ {2} ({\ boldsymbol {x}}) , u_ {3} ({\ boldsymbol {x}}) \ right)}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle \ częściowe A}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} _ {\ Sigma}}$

${\ Displaystyle B ({\ boldsymbol {u}}, {\ boldsymbol {v}}) - F ({\ boldsymbol {v}}) \ geq 0 \ qquad \ forall {\ boldsymbol {v}} \ in {\ mathcal {U}} _ {\ Sigma}}$

gdzie i są następującymi funkcjami , zapisanymi w notacji Einsteina${\ Displaystyle B ({\ boldsymbol {u}}, {\ boldsymbol {v}})}$${\ Displaystyle F ({\ boldsymbol {v}})}$

${\ Displaystyle B ({\ boldsymbol {u}}, {\ boldsymbol {v}}) = - \ int _ {A} \ sigma _ {ik} ({\ boldsymbol {u}}) \ varepsilon _ {ik} ({\ boldsymbol {v}}) \, \ mathrm {d} x}$ ,    ,    ${\ Displaystyle F ({\ boldsymbol {v}}) = \ int _ {A} v_ {i} f_ {i} \, \ mathrm {d} x + \ int _ {\ częściowe A \ setminus \ Sigma} \! \! \! \! \! v_ {i} g_ {i} \, \ mathrm {d} \ sigma}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {u}}, {\ boldsymbol {v}} \ in {\ mathcal {U}} _ {\ Sigma}}$

gdzie, dla wszystkich , ${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} \ in A}$

• ${\ displaystyle \ Sigma}$ jest powierzchnią styku (lub bardziej ogólnie zestawem kontaktowym ),
• ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {f}} ({\ boldsymbol {x}}) = \ lewo (f_ {1} ({\ boldsymbol {x}}), f_ {2} ({\ boldsymbol {x}}) , f_ {3} ({\ boldsymbol {x}}) \ right)}$ jest siłą ciała przyłożoną do ciała,
• ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {g}} ({\ boldsymbol {x}}) = \ lewo (g_ {1} ({\ boldsymbol {x}}), g_ {2} ({\ boldsymbol {x}}) , g_ {3} ({\ boldsymbol {x}}) \ right)}$ jest siłą powierzchniową przyłożoną do , ${\ Displaystyle \ częściowe A \! \ setminus \! \ Sigma}$
• ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} = {\ boldsymbol {\ varepsilon}} ({\ boldsymbol {u}}) = \ lewo (\ varepsilon _ {ik} ({\ boldsymbol {u}}) \ prawo ) = \ left ({\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ częściowe u_ {i}} {\ częściowe x_ {k}}} + {\ frac {\ częściowe u_ {k}} {\ częściowe x_ {i}}} \ right) \ right)}$ jest nieskończenie małym tensorem odkształcenia ,
• ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = \ lewo (\ sigma _ {ik} \ prawej)}$ jest tensorem naprężenia Cauchy'ego , zdefiniowanym jako

${\ Displaystyle \ sigma _ {ik} = - {\ Frac {\ częściowe W} {\ częściowe \ varepsilon _ {ik}}} \ qquad \ forall ja, k = 1,2,3}$

gdzie jest sprężysta energia potencjalna i jest tensorem sprężystości . ${\ Displaystyle W ({\ boldsymbol {\ varepsilon}}) = a_ {ikjh} ({\ boldsymbol {x}}) \ varepsilon _ {ik} \ varepsilon _ {jh}}$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {a}} ({\ boldsymbol {x}}) = \ lewo (a_ {ikjh} ({\ boldsymbol {x}}) \ prawej)}$

Zobacz też

• Teoria komplementarności
• Nierówność różnicowo-wariacyjna
• Rozszerzone programowanie matematyczne dla problemów równowagi
• Programowanie matematyczne z ograniczeniami równowagi
• Problem z przeszkodami
• Przewidywany układ dynamiczny
• Problem Signorini
• Jednostronny kontakt

Bibliografia

Historyczne odniesienia

• Antman, Stuart (1983), „Wpływ elastyczności w analizie: rozwój współczesny”, Bulletin of the American Mathematical Society , 9 (3): 267–291, doi : 10.1090 / S0273-0979-1983-15185-6 , MR   0714990 , Zbl   0533.73001 . Artykuł historyczny o owocnym współdziałaniu teorii sprężystości i analizy matematycznej : stworzenie teorii nierówności wariacyjnych przez Gaetano Fichera jest opisane w §5, strony 282–284.
• Duvaut, Georges (1971), „Problèmes unilatéraux en mécanique des milieux continus” , Actes du Congrès international des mathématiciens, 1970 , ICM Proceedings , Mathématiques appliquées (E), Histoire et Enseignement (F) - Tom 3, Paryż : Gauthier-Villars , ss. 71–78, zarchiwizowane z oryginału (PDF) w dniu 2015-07-25 , pobrane 2015-07-25 . Krótka ankieta badawcza opisująca obszar nierówności wariacyjnych, a dokładnie podobszar problemów mechaniki kontinuum z jednostronnymi ograniczeniami.
• Fichera, Gaetano (1995), „La nascita della teoria delle disequazioni variazionali ricordata dopo trent'anni”, Incontro scienceo italo-spagnolo. Roma, 21 ottobre 1993 , Atti dei Convegni Lincei (w języku włoskim), 114 , Roma : Accademia Nazionale dei Lincei , s. 47–53 . Narodziny teorii nierówności wariacyjnych, zapamiętanej trzydzieści lat później (tytuł w tłumaczeniu na język angielski), to artykuł historyczny opisujący początki teorii nierówności wariacyjnych z punktu widzenia jej założyciela.

Prace naukowe

• Facchinei Francisco; Pang, Jong-Shi (2003), Finite Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems, Vol. 1 , Springer Series in Operations Research, Berlin - Heidelberg - Nowy Jork : Springer-Verlag , ISBN   0-387-95580-1 , Zbl   1062.90001
• Facchinei Francisco; Pang, Jong-Shi (2003), Finite Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems, Vol. 2 , Springer Series in Operations Research, Berlin - Heidelberg - Nowy Jork : Springer-Verlag , ISBN   0-387-95581-X , Zbl   1062.90001
• Fichera, Gaetano (1963), "Sul problema elastostatico di Signorini con ambigue condizioni al contorno", Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , 8 (w języku włoskim), 34 (2): 138–142 , Zbl   0128.18305 . " O problemie elastostatycznym Signorini z niejednoznacznymi warunkami brzegowymi " (tytuł w tłumaczeniu angielskim) to krótka notatka badawcza zapowiadająca i opisująca rozwiązanie problemu Signorini.
• Fichera, Gaetano (1964a), "Problemi elastostatici con vincoli unilaterali: il problema di Signorini con ambigue condizioni al contorno", Memorie della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , 8 (w języku włoskim), 7 (2 ): 91–140, Zbl   0146.21204 . „ Problemy elastostatyczne z jednostronnymi ograniczeniami: problem Signorina z niejednoznacznymi warunkami brzegowymi ” (angielskie tłumaczenie tytułu) to pierwsza praca, w której udowodniono istnienie i twierdzenie o niepowtarzalności dla problemu Signorina.
• Fichera, Gaetano (1964b), „Elastostatic problems with unilateral constraints: the Signorini problem with ambiguous boundary conditions”, Seminari dell'istituto Nazionale di Alta Matematica 1962–1963 , Rzym : Edizioni Cremonese, s. 613–679 . Angielskie tłumaczenie ( Fichera 1964a ).
• Głowiński, Roland ; Lions, Jacques-Louis ; Trémolières, Raymond (1981), Numeryczna analiza nierówności wariacyjnych. Tłumaczenie z języka francuskiego , Studies in Mathematics and its Applications, 8 , Amsterdam - Nowy Jork - Oxford : North-Holland , s. Xxix + 776, ISBN   0-444-86199-8 , MR   0635927 , Zbl   0463.65046
• Kinderlehrer, David ; Stampacchia, Guido (1980), Wprowadzenie do nierówności wariacyjnych i ich zastosowań , czysta i stosowana matematyka, 88 , Boston - Londyn - Nowy Jork - San Diego - Sydney - Tokio - Toronto : Academic Press , ISBN   0-89871-466-4 , Zbl   0457.35001 .
• Lions, Jacques-Louis ; Stampacchia, Guido (1965), "Inéquations variationnelles non coercives" , Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences , 261 : 25–27, Zbl   0136.11906 , dostępne w Gallica . Ogłoszenie wyników pracy ( Lions & Stampacchia 1967 ).
• Lions, Jacques-Louis ; Stampacchia, Guido (1967), „Variational inequalities” , Communications on Pure and Applied Mathematics , 20 (3): 493–519, doi : 10.1002 / cpa.3160200302 , Zbl   0152.34601 , zarchiwizowane z oryginału 05.01.2013 Link zewnętrzny w |journal= ( pomoc ) . Ważny artykuł opisujący abstrakcyjne podejście autorów do teorii nierówności wariacyjnych.
• Roubíček, Tomáš (2013), Nonlinear Partial Differential Equations with Applications , ISNM. International Series of Numerical Mathematics, 153 (wyd. 2), Bazylea – Boston – Berlin: Birkhäuser Verlag , pp. Xx + 476, doi : 10.1007 / 978-3-0348-0513-1 , ISBN   978-3-0348-0512-4 , MR   3014456 , Zbl   1270.35005 .
• Stampacchia, Guido (1964), "Formes bilineaires coercitives sur les ensembles convexes" , Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences , 258 : 4413–4416, Zbl   0124.06401 , dostępne w Gallica . Artykuł zawierający uogólnienie twierdzenia Laxa-Milgrama dokonane przez Stampacchię .

Linki zewnętrzne

• Panagiotopoulos, PD (2001) [1994], „Variational inequalities” , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Alessio Figalli, w sprawie globalnych homogenicznych rozwiązań problemu Signorini ,