Węzeł torusowy - Torus knot

Węzeł torusowy 3D (3,−7)- .

Nagroda EureleA pokazująca węzeł torusowy (2,3).

(2,8) link do torusa

W teorii węzłów , ą węzeł torus jest specjalnym rodzajem węzeł , który znajduje się na powierzchni w unknotted torusa w R ³ . Podobnie, połączenie torusa to połączenie, które w ten sam sposób leży na powierzchni torusa. Każdy węzeł torusa jest określony przez parę liczb całkowitych względnie pierwszych p i q . Połączenie torusowe powstaje, jeśli p i q nie są względnie pierwsze (w takim przypadku liczba składowych wynosi gcd ( p, q )). Torus węzeł jest trywialne (odpowiednik węzłów trywialnych) tylko wtedy, gdy zarówno p lub q jest równe 1 lub -1. Najprostszym nietrywialnym przykładem jest węzeł (2,3)-torus, znany również jako węzeł koniczyny .

węzeł (2,−3)-torus, znany również jako leworęczny węzeł koniczyny

Reprezentacja geometryczna

Węzeł torusowy może być renderowany geometrycznie na wiele sposobów, które są topologicznie równoważne (patrz Właściwości poniżej), ale geometrycznie różne. Konwencja zastosowana w tym artykule i jego liczbach jest następująca.

Węzeł ( p , q ) torusa nawija się q razy wokół okręgu wewnątrz torusa i p razy wokół jego osi symetrii obrotowej . {Uwaga, to użycie ról p i q jest sprzeczne z tym, co pojawia się na: http://mathworld.wolfram.com/TorusKnot.html Jest również niezgodne z „Listą” węzłów torusowych poniżej i ze zdjęciami, które pojawiają się w: "36 Torus Knots", Atlas węzłów.} Jeśli p i q nie są względnie pierwsze, to mamy połączenie torusowe z więcej niż jednym składnikiem.

Kierunek, w którym pasma węzła owijają się wokół torusa, również podlega różnym konwencjom. Najczęściej splotki tworzą prawoskrętną śrubę dla pq > 0 .

Węzeł ( p , q )-torus może być podany przez parametryzację

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane} x & = r \ cos (p \ phi ) \ \ y& = r \ sin (p \ phi ) \ \ z & = - \ sin (q \ phi ) \ koniec {wyrównane}}}$

gdzie i . Leży na powierzchni torusa podanego przez (we współrzędnych cylindrycznych ). ${\displaystyle r=\cos(q\phi)+2}$${\displaystyle 0<\phi <2\pi}$${\ Displaystyle (r-2) ^ {2} + z ^ {2} = 1}$

Możliwe są również inne parametryzacje, ponieważ węzły są definiowane aż do odkształcenia ciągłego. Ilustracje dla węzłów (2,3)- i (3,8)-torus można uzyskać, biorąc , a w przypadku węzła (2,3)-torus dodatkowo odejmując odpowiednio i od powyższych parametryzacji x i y . Ta ostatnia uogólnia płynnie na dowolne względnie pierwsze p,q spełniające . ${\displaystyle r=\cos(q\phi)+4}$${\displaystyle 3\cos((pq)\phi)}$${\displaystyle 3\sin((pq)\phi)}$${\displaystyle p<q<2p}$

Nieruchomości

Schemat węzła (3,−8)-torus.

Torus węzeł trywialne IFF albo p lub q jest równe 1 lub -1.

Każdy nietrywialny węzeł torusowy jest pierwszy i chiralny .

Węzeł torusowy ( p , q ) jest równoważny węzłowi torusowemu ( q , p ). Można to udowodnić, przesuwając pasma na powierzchni torusa. Węzeł torusowy ( p ,− q ) jest awersem (odbiciem lustrzanym ) węzła torusowego ( p , q ). Węzeł torusowy (− p ,− q ) jest równoważny węzłowi torusowemu ( p , q ) z wyjątkiem odwróconej orientacji.

Węzeł (3, 4) torusa na niezawiniętej powierzchni torusa i jego warkoczowe słowo

Dowolny ( p , q ) węzeł torusowy może być wykonany z zamkniętego warkocza z p splotów. Odpowiednie słowo warkocz to

${\ Displaystyle (\ sigma _ {1} \ sigma _ {2} \ cdots \ sigma _ {p-1}) ^ {q}.}$

(Ta formuła zakłada powszechną konwencję, że generatory warkoczy to skręty w prawo, za którymi nie ma miejsca na stronie Wikipedii o warkoczach).

Liczba przejście z ( p , q ) torusa węzeł z p , q > 0, jest przez

c = min(( p −1) q , ( q −1) p ).

Rodzaju z węzłem torusa z p , q > 0

${\ Displaystyle g = {\ Frac {1} {2}} (p-1) (q-1).}$

Alexander wielomian z węzłem torusa jest

${\ Displaystyle {\ Frac {(t ^ {pq} -1) (t-1) {(t ^ {p} -1) (t ^ {q} -1)}}.}$

Jones wielomian od a (praworęczny) torus węzeł jest dana przez

${\ Displaystyle t ^ {(p-1) (q-1)/2} {\ Frac {1-t ^ {p + 1}-t ^ {q + 1} + t ^ {p + q}} 1-t^{2}}}.}$

Uzupełnieniem węzła torusowego w 3-sferze jest rozgałęźnik z włóknami Seiferta , nałożony na dysk dwoma pojedynczymi włóknami.

Niech Y będzie p- złożoną czapką z krążkiem usuniętym z wnętrza, Z będzie q- złożoną czapką z krążkiem usuniętym z wnętrza, a X będzie przestrzenią ilorazową uzyskaną przez zidentyfikowanie Y i Z wzdłuż ich okręgu granicznego. Dopełnienie węzła ( p , q ) - deformacji węzła torusa cofa się do przestrzeni X . Dlatego grupa węzłów węzła torusowego ma prezentację

${\ Displaystyle \ langle x, y \ mid x ^ {p} = y ^ {q} \ rangle.}$

Węzły torusowe są jedynymi węzłami, których grupy węzłów mają nietrywialne centrum (które jest nieskończenie cykliczne, generowane przez element w powyższej prezentacji). ${\ Displaystyle x ^ {p} = y ^ {q}}$

Współczynnik rozciągania węzła torusowego ( p , q ) jako krzywej w przestrzeni euklidesowej wynosi Ω(min( p , q )), więc węzły torusowe mają nieograniczone współczynniki rozciągania. Doktorant John Pardon zdobył Nagrodę Morgana 2012 za badania dowodzące tego wyniku, które rozwiązały problem pierwotnie postawiony przez Michaiła Gromowa .

Połączenie ze złożonymi hiperpowierzchniami

Węzły torusowe ( p , q ) powstają przy rozważaniu połączenia izolowanej złożonej osobliwości hiperpowierzchniowej. Jeden przecina złożoną hiperpowierzchnię z hipersferą , wyśrodkowaną w izolowanym punkcie osobliwym i o wystarczająco małym promieniu, aby nie obejmowała ani nie napotykała żadnych innych punktów osobliwych. Przecięcie daje podrozmaitość hipersfery.

Niech p i q będą względnie pierwszymi liczbami całkowitymi, większymi lub równymi dwóm. Rozważmy funkcję holomorficzną podaną przez Niech będzie zbiorem takich, że Biorąc pod uwagę liczbę rzeczywistą , definiujemy rzeczywistą trzy sferę jako podaną przez Funkcja ma izolowany punkt krytyczny w od wtedy i tylko wtedy , gdy Tak więc rozważamy strukturę zbliżoną do In aby to zrobić, rozważmy przecięcie To przecięcie jest tak zwanym ogniwem osobliwości Łącze , gdzie p i q są względnie pierwsze i oba są większe lub równe dwa, jest dokładnie ( p , q )−torus węzeł. ${\ Displaystyle f: \ mathbb {C} ^ {2} \ do \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle f (w, z): = w ^ {p} + z ^ {q}}.$${\ Displaystyle V_ {f} \ podzbiór \ mathbb {C} ^ {2}}$${\ Displaystyle (W, Z) \ w \ mathbb {C} ^ {2}}$${\ Displaystyle f (w, z) = 0.}$${\ Displaystyle 0 <\ varepsilon \ ll 1,}$${\ Displaystyle \ mathbb {S} _ {\ varepsilon} ^ {3} \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {4} \ hookrightarrow \ mathbb {C} ^ {2}}$${\ Displaystyle | w | ^ {2} + | z | ^ {2} = \ varepsilon ^ {2}.}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle (0,0) \ w \ mathbb {C} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ częściowe f / \ częściowe w = \ częściowe f / \ częściowe z = 0}$${\displaystyle w=z=0.}$${\ Displaystyle V_ {f}}$${\ Displaystyle (0,0) \ w \ mathbb {C} ^ {2}}.$${\ Displaystyle V_ {f} \ czapka \ mathbb {S} _ {\ varepsilon} ^ {3} \ podzbiór \ mathbb {S} _ {\ varepsilon} ^ {3}.}$${\ Displaystyle f (w, z) = w ^ {p} + z ^ {q}}.$${\ Displaystyle f (w, z) = w ^ {p} + z ^ {q}}$

Lista

(36,3) torus link

Rysunek po prawej to łącze torusa (72,4) .

• Unknot , 3 ₁ węzeł (3,2), 5 ₁ węzeł (5,2), 7 ₁ węzeł (7,2), 8 ₁₉ węzeł (4,3), 9 ₁ węzeł (9,2), 10 ₁₂₄ węzeł (5,3)

Tabela nr	AB	Obraz	P	Q	Krzyż #
0	0 1				0
3a1	3 1		3	2	3
5a2	5 1		5	2	5
7a7	7 1		7	2	7
8n3	8 19		4	3	8
9a41	9 1		9	2	9
10n21	10 124		5	3	10
11a367			11	2	11
13a4878			13	2	13
			7	3	14
			5	4	15
			15	2	15
			8	3	16
			17	2	17
			19	2	19
			10	3	20
			7	4	21
			21	2	21
			11	3	22
			23	2	23
			6	5	24
			25	2	25
			13	3	26
			9	4	27
			27	2	27
			7	5	28
			14	3	28
			29	2	29
			31	2	31
			8	5	32
			16	3	32
			11	4	33
			33	2	33
			17	3	34
			7	6	35
			35	2	35
			9	5	36
			8	7	48
			9	7	54
			9	8	63

g -węzeł torusowy

G torusa węzeł jest zamknięta krzywa narysowane na g torusa . Bardziej technicznie, jest to homeomorficzny obraz koła w S³, który można zrealizować jako podzbiór uchwytu z rodzaju g w S³ (którego uzupełnieniem jest również uchwyt z rodzaju g ). Jeśli łącze jest podzbiorem uchwytu genus two, jest to łącze podwójnego torusa .

W przypadku drugiego rodzaju najprostszym przykładem węzła podwójnego torusa, który nie jest węzłem torusowym, jest węzeł ósemkowy .

Zobacz też

• Naprzemienny węzeł
• Węzeł satelitarny
• Węzeł hiperboliczny
• Irracjonalne nawijanie torusa
• Topopolis

Bibliografia

Linki zewnętrzne

• „ 36 węzłów torusowych ”, Atlas węzłów .
• Weisstein, Eric W. „Torus Węzeł” . MatematykaŚwiat .
• Renderer węzła torusowego w Actionscript
• Zabawa z PQ-Torus Knot