Shannon falkowej - Shannon wavelet

W analizy funkcjonalnej , A Shannon falkowe może być zarówno rzeczywistej lub zespolonej typu. Analiza sygnału o idealnych filtrów pasmowych określa rozkład zwany falach Shannon (lub oscylacji falach ). Systemy Haar i Sinc są duals Fouriera siebie.

Prawdziwe Shannon falki

Prawdziwe Shannon falki

Transformaty Fouriera z falki macierzystej Shannon jest dana przez:

${\ Displaystyle \ psi ^ {(\ OperatorName {Sha})} (W) = \ prod \ lewo ({\ \ pi / 2}, {\ pi}} \ prawo Frac {n-3) + \ prod \ lewo ( {\ Frac {W + 3 \ pi / 2}, {\ pi}} \ prawej).}$

gdzie (znormalizowane) funkcja bramy jest określona

${\ Displaystyle \ prod (x) = {\ przypadków rozpoczynają {1}, {i \ mbox {if}} {| x | \ równoważnik 1/2} \\ 0 & {\ mbox {if}} {\ mbox {inaczej}}. \\\ końcowych {przypadków}}}$

Wyrażenie analityczne rzeczywistym Shannon falki można znaleźć poprzez odwrotny transformaty Fouriera :

${\ Displaystyle \ psi ^ {(\ OperatorName {Sha})} (t) = \ OperatorName {sinc} \ lewo ({\ Frac {T} {2}} \ prawej) \ cdot \ bo \ lewo ({\ Frac {3 \ pi t} {2}} \ prawej)}$

lub alternatywnie

${\ Displaystyle \ psi ^ {(\ OperatorName {Sha})} (t) = 2 \ cdot \ OperatorName {} sinc (2t-1) - \ OperatorName {sinc} (t)}$

gdzie

${\ Displaystyle \ OperatorName {sinc} (t) = {\ Frac {\ sin {\ pi t}} {\ pi t}}}$

jest zwykle funkcją sinc , który pojawia się w twierdzeniu próbkowania Shannona .

Ten falkowe należy do -class z różniczkowalności , ale zmniejsza się powoli, w nieskończoności, a nie ograniczone obsługę , ponieważ ograniczony co do pasma sygnału nie może być ograniczony. ${\ Displaystyle C ^ {\ infty}}$

Funkcja skalowania dla Shannon MRA (lub oscylacji -MRA) jest wyrażona przez funkcje próbkowania:

${\ Displaystyle \ cp ^ {(Sha)} (t) = {\ Frac {\ sin \ pi t} {\ pi t}} = \ OperatorName {} sinc (T).}$

Kompleks Shannon falki

W przypadku złożonych ciągłego Waveleta falkowej Shannon określa

${\ Displaystyle \ psi ^ {(CSha)} (t) = \ {OperatorName sinc} (t) \ cdot e ^ {- J2 \ pi t}}$,

Referencje

• SG Mallat, falkowej Tour Signal Processing , Academic Press, 1999, ISBN  0-12-466606-X
• CS Burrus , RA Gopinath, H. Guo, Wprowadzenie do Wavelets i Wavelet Transforms: starter , Prentice Hall, 1988, ISBN  0-13-489600-9 .