Sagitta (geometria) - Sagitta (geometry)

W geometrii The sagitta (czasami w skrócie jako ugięcia ) o kołowym łuku jest odległością od środka łuku do środka podstawy. Jest szeroko stosowany w architekturze przy obliczaniu łuku koniecznego do rozpięcia określonej wysokości i odległości, a także w optyce, gdzie jest używany do określania głębokości zwierciadła sferycznego lub soczewki. Nazwa pochodzi bezpośrednio od łacińskiego sagitta , co oznacza strzałę.

Formuły

W następujących równaniach s oznacza Sagitta (głębokość lub wysokość łukowej), r jest równe promienia na kole , a L Długość cięciwy obejmującym podstawy łuku. Jak ja/2a r − s to dwa boki trójkąta prostokątnego z r jako przeciwprostokątną , twierdzenie Pitagorasa daje nam

${\ Displaystyle r ^ {2} = \ lewo ({\ Frac {l} {2}} \ po prawej) ^ {2} + \ po lewej (rs \ po prawej) ^ {2}.}$

Można to zmienić, aby uzyskać dowolny z pozostałych trzech:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane} s & = r-{\ sqrt {r ^ {2}-{\ lewo ({\ Frac {l} {2}} \ prawej) ^ {2}}}} \ \ [5px]l&=2{\sqrt {2rs-s^{2}}},\\[5px]r&={\frac {s^{2}+\left({\frac {l}{2}} \right)^{2}}{2s}}={\frac {s}{2}}+{\frac {l^{2}}{8s}}.\end{wyrównany}}}$

Strzałkę można również obliczyć z funkcji wersinowej dla łuku o kącie Δ = 2 θ i pokrywającego się z wersinem dla okręgów jednostkowych

${\ Displaystyle s = r \ operatorname {versin} \ theta = r \ lewo (1- \ cos \ theta \ prawo) = 2 r \ sin ^ {2} {\ Frac {\ theta} {2}}.}$

Przybliżenie

Gdy strzałka jest mała w porównaniu do promienia, można ją przybliżyć wzorem

${\ Displaystyle s \ około {\ Frac {l ^ {2}} {8r}}.}$

Alternatywnie, jeśli strzałka jest mała i znana jest strzałka, promień i długość cięciwy, można je wykorzystać do oszacowania długości łuku za pomocą wzoru

${\ Displaystyle a \ około l + {\ Frac {2 s ^ {2}} {r}} \ około l + {\ Frac {8 s ^ {2}} {3 l}}}$

gdzie a jest długością łuku ; Formuła ta była znana chińskiemu matematykowi Shen Kuo , a dokładniejszą formułę zawierającą także strzałkę opracował dwa wieki później Guo Shoujing .

Aplikacje

Architekci, inżynierowie i wykonawcy używają tych równań do tworzenia „spłaszczonych” łuków, które są używane w zakrzywionych ścianach, łukowych sufitach, mostach i wielu innych zastosowaniach.

Sagitta ma również zastosowanie w fizyce, gdzie jest używana wraz z długością cięciwy do obliczenia promienia krzywizny przyspieszanej cząstki. Jest to wykorzystywane zwłaszcza w eksperymentach z komorami pęcherzykowymi, gdzie służy do wyznaczania pędów rozpadu cząstek. Podobnie historycznie strzałka jest również wykorzystywana jako parametr w obliczaniu poruszających się ciał w układzie dośrodkowym. Ta metoda jest stosowana w Principia Newtona .

Zobacz też

• Segment kołowy
• Versine

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Obliczanie strzałki łuku