Bezpieczne Prime - Safe prime

Bezpieczne Prime jest liczbą pierwszą z postaci 2 s + 1, gdzie s jest również liczbą pierwszą. (Z drugiej strony, głównym P jest pierwsza Germain Zofia ). Pierwsze są bezpieczne bodźce

5 , 7 , 11 , 23 , 47 , 59 , 83 , 107 , 167 , 179 , 227 , 263 , 347, 359, 383, 467, 479, 503, 563, 587, 719, 839, 863, 887, 983 1019, 1187, 1283, 1307, 1319, 1367, 1439, 1487, 1523, 1619, 1823, 1907, ... (ciąg A005385 w OEIS )

Z wyjątkiem 7, bezpieczne pierwsza Q ma postać 6, k  - 1, lub równoważnie q ≡ 5 ( mod 6) - jak p > 3 (CF Zofia pierwsza Germain , drugi akapit). Podobnie, z wyjątkiem 5, bezpieczne pierwsza Q ma postać 4, k  - 1, lub równoważnie q ≡ 3 (mod 4) - trywialny ważne, ponieważ ( P  - 1) / 2 musi oceniać nieparzystej liczby naturalnej . Łączenie obu postaci przy użyciu LCM (6,4), stwierdzimy, że bezpieczna pierwsza P > 7 musi również być w postaci 12 K 1 lub równoważnie q ≡ 11 (model 12). Wynika z tego, że 3 (także 12) jest kwadratowa pozostałość mod Q do dowolnego bezpiecznego głównego Q > 7 (W ten sposób 12 nie jest pierwiastkiem pierwotnym dowolnego bezpiecznego głównego Q > 7, a tylko bezpieczne bodźce, które również pełne bodźce reptend w bazie 12 są 5 i 7)

Aplikacje

Te liczby pierwsze nazywane są „bezpieczne”, ponieważ od ich stosunku do silnych bodźców . Doskonałym liczba q jest silny prime jeśli q + 1 i q - 1 obie mają kilka dużych czynników pierwszych. Dla bezpiecznego prime q = 2 p + 1 , liczba q - 1 naturalnie ma duży prime czynnik, a mianowicie p , a więc bezpieczny prime q spełnia część kryteriów bycia silnym prime. Te prowadzące razy niektórych sposobach na czynniki liczbę z Q jako główny czynnik zależą częściowo od rozmiaru głównych czynników q - 1 . To prawda, na przykład z metodą P-1 .

Sejf liczbami pierwszymi są również ważne w kryptografii z powodu ich stosowania w logarytm dyskretny opartych technik, takich jak Protokół Diffiego-Hellmana . Jeżeli 2 p + 1 jest bezpieczny pierwsza, multiplikatywna grupa liczb modulo 2 p + 1 zawiera podgrupę dużego głównego celu . Jest to zwykle ta pierwsza podgrupa rzędu jest to pożądane, a powód stosowania bezpiecznych liczb pierwszych jest tak, że moduł jest tak mała, jak to możliwe w stosunku do p .

Sejf primes posłuszni pewne kongruencji może być używany do generowania liczb pseudolosowych użycia w symulacji Monte Carlo .

Sejf liczby pierwsze są bardziej czasochłonne niż szukać silnych bodźców, iz tego powodu były one mniej używane. Jednak, jak komputery dostać szybciej, bezpiecznych liczb pierwszych są wykorzystywane bardziej. Znalezienie 500-cyfrowy bezpieczne Prime, jak jest teraz całkiem praktyczne. Problemem jest to, że bezpieczne liczb pierwszych conjecturally mają taką samą niską gęstość jako bliźniaczych liczb pierwszych. Na przykład najmniejsza K tak, że 2 25 + k jest bezpieczny pierwsza to K = 1989, co oznacza, że badanie to znalezienie wymaga około 1989 numerów pierwszości. Oprócz ich małą gęstość, są łatwiejsze do znalezienia niż silne bodźce, na które programy są o wiele prostsze. Nie jest konieczne, aby próba faktoryzacji p - 1. (Jeśli p - 1 trudno jest czynnik, następnie p zostaje odrzucony, a p + 2 jest wypróbowany ten jest powtarzany aż do. P . - 1 czynniki łatwo Nastąpi to szybciej niż p stałaby się bezpieczny podstawowym, średnio, bo liczby pierwsze p , dla których p . - 1 czynniki łatwo są dość gęsty) Wszystko to jest możliwe dzięki temu, że są niezwykle szybki testy probabilistyczne dla pierwszości, takie jak Millera-Rabina pierwszości testu .

dalsze właściwości

Nie ma specjalnego test pierwszości bezpiecznych liczb pierwszych drodze jest dla liczb pierwszych Fermata i liczb pierwszych Mersenne . Jednak kryterium Pocklington użytkownika mogą być wykorzystane do udowodnienia pierwszości o 2 p +1 jeden raz udowodnił pierwszości z p .

Z wyjątkiem 5, nie ma liczb pierwszych Fermat, które są również bezpieczne liczb pierwszych. Od bodźce Fermat są postaci F = 2, n  + 1, wynika, że ( M  - 1) / 2 jest potęgą dwóch .

Z wyjątkiem 7, nie ma liczb pierwszych Mersenne, które są również bezpieczne liczb pierwszych. Wynika to z oświadczeniem, że wszystkie powyżej bezpiecznych liczb pierwszych z wyjątkiem 7 są postaci 6 k  - 1. Liczby Mersenne'a są postaci 2 m  - 1, ale 2 m  - 1 = 6 K  - 1 oznaczałby, że 2 m jest podzielna przez 6, co jest niemożliwe.

Podobnie jak każdy termin wyjątkiem ostatniego z łańcucha Cunninghama pierwszego rodzaju jest najlepszym Sophie Germain, więc każdy termin wyjątkiem pierwszego takiego łańcucha jest bezpieczny prime. Bezpieczne bodźce z końcówką 7, to znaczy, w postaci 10 n  + 7 To ostatnie terminy w tych łańcuchach, kiedy występuje, ponieważ 2 (10 n  + 7) = 20 + 1 n  + 15 jest podzielna przez 5.

Jeśli bezpieczny prime q jest przystający do 7 modulo 8, to jest to dzielnik z numerem Mersenne ze swoim dopasowanym Sophie Germain prime jako wykładnik.

Jeżeli Q > 7 jest bezpieczny pierwszymi a Q dzieli 3 ( q -1) / 2 - 1 (Wynika to z faktu, że 3 jest kwadratowa pozostałość mod q ).

Dokumentacja

Począwszy od 2017 roku, największy znany bezpieczny pierwsza to 2618163402417 · 2 1290000 - 1, a następnie przez 18 543 637 900 515 × 2 666 668 - 1 . Te liczby pierwsze i odpowiadające największym znanym Sophie Germain prime znaleziono w październiku 2016 i kwietniu 2012 r.

W dniu 16 czerwca 2016 roku, Thorsten Kleinjung Claus Diem, Arjen K. Lenstra Christine Priplata i Colin Stahlke ogłosił obliczanie logarytmu dyskretnego modulo do 232-cyfrowy (768-bit) bezpieczne zagruntować przy użyciu sita pole numer algorytmu. Zobacz Dyskretne rekordy logarytmu .

Referencje

Linki zewnętrzne