Logika trafności — Relevance logic

Znaczenie logiczny , zwany również istotne logiczny , to rodzaj nie- klasycznej logiki wymagające poprzedzające i Wynikający z konsekwencji do relevantly podobne. Można je postrzegać jako rodzinę logik substrukturalnych lub modalnych . Jest to zazwyczaj, ale nie powszechnie zwany odpowiednią logikę przez brytyjskich i australijskich, zwłaszcza, logików i znaczenie logiki American logików.

Logika istotności ma na celu uchwycenie aspektów implikacji, które są ignorowane przez operator „ istotnej implikacji ” w klasycznej logice prawdziwościowo-funkcjonalnej , a mianowicie pojęcie relewancji między poprzednikiem a warunkiem warunkowym prawdziwej implikacji. Pomysł ten nie jest nowy: CI Lewis doprowadził do wynalezienia logiki modalnej, a konkretnie ścisłej implikacji , na tej podstawie, że logika klasyczna przyznaje paradoksy materialnej implikacji, takie jak zasada, że fałsz implikuje każde twierdzenie . Stąd „jeśli jestem osłem, to dwa i dwa równa się cztery” jest prawdziwe w tłumaczeniu jako implikacja materialna, ale wydaje się intuicyjnie fałszywa, ponieważ prawdziwa implikacja musi wiązać ze sobą poprzednik i następnik jakimś pojęciem istotności. A to, czy mówca jest osłem, czy nie, nie ma żadnego znaczenia dla tego, czy dwa i dwa to cztery.

W jaki sposób logika relewancji formalnie ujmuje pojęcie relewancji? Jeśli chodzi o ograniczenie syntaktyczne dla rachunku zdań , konieczne jest, ale niewystarczające, aby przesłanki i wniosek miały wspólne formuły atomowe (formuły, które nie zawierają żadnych spójników logicznych ). W rachunku predykatów istotność wymaga współdzielenia zmiennych i stałych między przesłankami a wnioskiem. Można to zapewnić (wraz z silniejszymi warunkami) m.in. poprzez nałożenie pewnych restrykcji na zasady systemu potrąceń naturalnych. W szczególności, naturalna dedukcja w stylu Fitch może być dostosowana do adekwatności poprzez wprowadzenie znaczników na końcu każdego wiersza zastosowania wnioskowania wskazującego przesłanki istotne dla wnioskowania. Rachunki sekwencyjne w stylu Gentzen można modyfikować, usuwając reguły osłabiające, które pozwalają na wprowadzanie dowolnych formuł po prawej lub lewej stronie sekwencji .

Godną uwagi cechą logik relewancji jest to, że są logikami parakonsystentnymi : istnienie sprzeczności nie spowoduje „ eksplozji ”. Wynika to z faktu, że warunek warunkowy ze sprzecznym poprzednikiem, który nie dzieli z następnikiem żadnych liter zdaniowych lub orzeczniczych, nie może być prawdziwy (ani wyprowadzalny).

Historia

Logika relewancji została zaproponowana w 1928 r. przez radzieckiego filozofa Iwana E. Orłowa (1886 – ok. 1936) w jego ściśle matematycznej pracy „Logika zgodności twierdzeń” opublikowanej w Matematicheskii Sbornik. Podstawowa idea istotnej implikacji pojawia się w logice średniowiecznej, a pewne pionierskie prace wykonali w latach pięćdziesiątych Ackermann , Moh i Church . Czerpiąc z nich, Nuel Belnap i Alan Ross Anderson (wraz z innymi) napisali magnum opus tematu Entailment: The Logic of Relevance and Necessity w latach 70. (drugi tom zostanie opublikowany w latach 90.). Skupili się zarówno na systemach wynikania, jak i systemach relewancji, gdzie implikacje tych pierwszych mają być zarówno istotne, jak i konieczne.

Aksjomaty

Wczesne zmiany w logice trafności koncentrowały się na silniejszych systemach. Rozwój semantyki Routley-Meyer wydobył szereg słabszych logik. Najsłabszą z tych logik jest logika relewancji B. Jest ona zaaksjomatyzowana z następującymi aksjomatami i regułami.

1. ${\ Displaystyle A \ do A}$
2. ${\displaystyle A\land B\do A}$
3. ${\ Displaystyle A \ ziemia B \ do B}$
4. ${\ Displaystyle (A\do B)\land (A\do C)\do (A\do B\land C)}$
5. ${\ Displaystyle A \ do A \ lub B}$
6. ${\ Displaystyle B \ do A \ lub B}$
7. ${\ Displaystyle (A\do C)\land (B\do C)\do (A\lub B\do C)}$
8. ${\displaystyle A\land (B\lor C)\to (A\land B)\lor (A\land C)}$
9. ${\ Displaystyle \ nie \ nie A \ nie A}$

Zasady są następujące.

1. ${\ Displaystyle A, A \ do B \ vdash B}$
2. ${\ Displaystyle A, B \ vdash A \ ziemia B}$
3. ${\ Displaystyle A\do B\vdash (C\do A)\do (C\do B)}$
4. ${\ Displaystyle A \ do B \ vdash (B \ do C) \ do (A \ do C)}$
5. ${\ Displaystyle A \ do B \ vdash \ nie B \ nie \ nie A}$

Silniejszą logikę można uzyskać, dodając dowolny z następujących aksjomatów.

1. ${\ Displaystyle (A\do B)\do (\nie B\do \nieA)}$
2. ${\ Displaystyle (A\do B)\land (B\do C)\do (A\do C)}$
3. ${\ Displaystyle (A\do B)\do ((B\do C)\do (A\do C))}$
4. ${\ Displaystyle (A\do B)\do ((C\do A)\do (C\do B))}$
5. ${\ Displaystyle (A\do (A\do B))\do (A\do B)}$
6. ${\displaystyle (A\land (A\do B))\do B}$
7. ${\ Displaystyle (A \ do \ nie do A) \ do \ nie do A}$
8. ${\ Displaystyle (A\do (B\do C))\do (B\do (A\do C))}$
9. ${\ Displaystyle A\do ((A\do B)\do B)}$
10. ${\ Displaystyle ((A\do A)\do B)\do B}$
11. ${\ Displaystyle A \ lub \ l nie A}$
12. ${\displaystyle A\do (A\do A)}$

Istnieje kilka godnych uwagi logik silniejszych niż B, które można uzyskać, dodając aksjomaty do B w następujący sposób.

• Dla DW dodaj aksjomat 1.
• Dla DJ, dodaj aksjomaty 1, 2.
• Dla TW dodaj aksjomaty 1, 2, 3, 4.
• Dla RW dodaj aksjomaty 1, 2, 3, 4, 8, 9.
• Dla T dodaj aksjomaty 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11.
• Dla R dodaj aksjomaty 1-11.
• Dla E dodaj aksjomaty 1-7, 10, 11 , i , gdzie jest zdefiniowane jako .${\ Displaystyle ((A\do A)\land (B\do B)\do C)\do C}$${\ Displaystyle \ Box A \ ziemia \ Box B \ do \ Box (A \ ziemia B)}$${\ Displaystyle \ Box A}$${\ Displaystyle (A\do A)\do A}$
• Dla RM dodaj wszystkie dodatkowe aksjomaty.

Modele

Modele Routleya-Meyera

Standardową teorią modeli logiki relewancji jest semantyka trójskładnikowo-relacyjna Routleya-Meyera opracowana przez Richarda Routleya i Roberta Meyera . Ramka Routley-Meyer F dla języka zdań jest czwórką (W,R,*,0), gdzie W jest zbiorem niepustym, R jest relacją trójskładnikową na W, a * jest funkcją od W do W, i . Model Routleya-Meyera M to układ Routleya-Meyera F wraz z wartościowaniem , który przypisuje wartość prawdy każdemu zdaniu atomowemu względem każdego punktu . W przypadku ram Routley-Meyer obowiązują pewne warunki. Zdefiniuj jako . ${\ Displaystyle 0 \ w W}$${\ Displaystyle \ Vdash}$${\displaystyle a\w W}$${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle R0ab}$

• ${\displaystyle a\leq a}$.
• Jeśli i , to .${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle b\leq c}$${\displaystyle a\leq c}$
• Jeśli i , to .${\displaystyle d\leq a}$${\ Displaystyle Rabc}$${\ Displaystyle Rdbc}$
• ${\ Displaystyle a ^ {**} = a}$.
• Jeśli , to .${\displaystyle a\leq b}$${\ Displaystyle b ^ {*} \ leq a ^ {*}}$

Napisz a się wskazywać, że formuła jest prawdziwa, czy nie jest prawdą, odpowiednio, w punkcie w . Ostatnim warunkiem w modelach Routley-Meyer jest warunek dziedziczności. ${\ Displaystyle M, a \ Vdash A}$${\displaystyle M,a\nVdash A}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle a}$${\ Displaystyle M}$

• Jeśli i , to dla wszystkich atomowych zdań .${\displaystyle M,a\Vdash p}$${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle M,b\Vdash p}$${\displaystyle p}$

Za pomocą argumentu indukcyjnego można wykazać, że dziedziczność rozciąga się na złożone formuły, stosując poniższe warunki prawdziwości.

• Jeśli i , to dla wszystkich formuł .${\ Displaystyle M, a \ Vdash A}$${\displaystyle a\leq b}$${\ Displaystyle M, b \ Vdash A}$${\ Displaystyle A}$

Warunki prawdy dla złożonych formuł są następujące.

• ${\ Displaystyle M a \ Vdash A \ ziemia B \ iff M a \ Vdash A}$ oraz ${\ Displaystyle M, a \ Vdash B}$
• ${\ Displaystyle M, a \ Vdash A \ lub B \ iff M, a \ Vdash A}$ lub ${\ Displaystyle M, a \ Vdash B}$
• ${\ Displaystyle M a \ Vdash A \ do B \ if \ dla wszystkich b, c ((Rabc \ ziemia M b \ Vdash A) \ Prawa strzałka M c \ Vdash B)}$
• ${\ Displaystyle M a \ Vdash \ l nie A \ jeśli M a ^ {*} \ nVdash A}$

Formuła obowiązuje w modelu na wszelki wypadek . Wzór posiada na ramie IFF A posiada w każdym modelu . Formuła jest prawidłowa w klasie ramek, jeśli A obowiązuje w każdej ramce w tej klasie. Klasa wszystkich ramek Routley-Meyer spełniających powyższe warunki potwierdza tę logikę relewancji B. Można uzyskać ramki Routley-Meyer dla innych logik relewancji, nakładając odpowiednie ograniczenia na R i na *. Te warunki są łatwiejsze do określenia przy użyciu niektórych standardowych definicji. Niech być zdefiniowany jako , i niech być zdefiniowany jako . Niektóre warunki ramowe i aksjomaty, które sprawdzają, są następujące. ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M, 0 \ Vdash A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle (F, \ Vdash )}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle Rabcd}$${\ Displaystyle \ istnieje x (Rabx \ Land Rxcd)}$${\ Displaystyle Ra (BC) d}$${\ Displaystyle \ istnieje x (Rbcx \ Land Raxd)}$

Nazwa	Stan ramy	Aksjomat
Pseudo-modus ponens	${\ Displaystyle Raaa}$	${\displaystyle (A\land (A\do B))\do B}$
Prefiks	${\ Displaystyle Rabcd \ Strzałka w prawo Ra (BC) d}$	${\ Displaystyle (A\do B)\do ((C\do A)\do (C\do B))}$
Przyrostek	${\ Displaystyle Rabcd \ Rightarrow Rb (ac) d}$	${\ Displaystyle (A\do B)\do ((B\do C)\do (A\do C))}$
Skurcz	${\ Displaystyle Rabc \ Rightarrow Rabbc}$	${\ Displaystyle (A\do (A\do B))\do (A\do B)}$
Sylogizm spójny	${\ Displaystyle Rabc \ Prawostrzałka Ra (ab) c}$	${\ Displaystyle (A\do B)\land (B\do C)\do (A\do C)}$
Twierdzenie	${\ Displaystyle Rabc \ Rightarrow Rbac}$	${\ Displaystyle A\do ((A\do B)\do B)}$
E aksjomat	${\ Displaystyle Ra0a}$	${\ Displaystyle ((A\do A)\do B)\do B}$
Połącz aksjomat	${\displaystyle Rabc\rightarrow a\leq c}$ lub ${\displaystyle b\leq c}$	${\displaystyle A\do (A\do A)}$
Redukcja	${\ Displaystyle Raa ^ {*} a}$	${\ Displaystyle (A \ do \ nie do A) \ do \ nie do A}$
Antyteza	${\ Displaystyle Rabc \ Rightarrow Rac ^ {*} b ^ {*}}$	${\ Displaystyle (A\do B)\do (\nie B\do \nieA)}$
Wykluczono środek	${\ Displaystyle 0 ^ {*} \ równoważnik 0}$	${\ Displaystyle A \ lub \ l nie A}$
Ścisłe osłabienie implikacji	${\displaystyle 0\leq a}$	${\ Displaystyle A\do (B\do B)}$
Osłabiający	${\displaystyle Rabc\rightarrow b\leq c}$	${\ Displaystyle A\do (B\do A)}$

Ostatnie dwa warunki potwierdzają formy osłabienia, których logika istotności została pierwotnie opracowana, aby uniknąć. Uwzględniono je, aby pokazać elastyczność modeli Routley-Meyer.

Modele operacyjne

Modele Urquharta

Modele operacyjne dla wolnych od negacji fragmentów logiki relewancji zostały opracowane przez Alasdaira Urquharta w swojej pracy doktorskiej oraz w kolejnych pracach. Intuicyjna idea modeli operacyjnych polega na tym, że punkty w modelu są fragmentami informacji, a połączenie informacji wspierającej warunek warunkowy z informacją wspierającą jego poprzednik daje informacje wspierające następnik. Ponieważ modele operacyjne generalnie nie interpretują negacji, w tej sekcji rozważymy tylko języki z trybem warunkowym, koniunkcją i alternatywą.

Ramka operacyjna to triple , gdzie jest niepustym zestawem , i jest operacją binarną on . Ramki mają warunki, z których niektóre mogą zostać usunięte w celu modelowania różnych logik. Warunki zaproponowane przez Urquharta do modelowania warunkowego logiki istotności R są następujące. ${\ Displaystyle F}$${\displaystyle (K,\cdot ,0)}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle 0 \ w K}$${\displaystyle \cdot}$${\ Displaystyle K}$

• ${\displaystyle x\cdot x=x}$
• ${\ Displaystyle (x \ cdot r) \ cdot z = x \ cdot (r \ cdot z)}$
• ${\ Displaystyle x \ cdot y = r \ cdot x}$
• ${\ Displaystyle 0 \ cdot x = x}$

W tych warunkach ramą operacyjną jest sprzężenie-semilatacja .

Model operacyjny to rama z wartościowaniem, która odwzorowuje pary punktów i twierdzenia atomowe na wartości prawdziwe, T lub F. można rozszerzyć do wartościowania na złożonych formułach w następujący sposób. ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle \ Vdash}$

• ${\ Displaystyle M, a \ Vdash p \ iff V (a, p) = T}$, dla zdań atomowych
• ${\ Displaystyle M a \ Vdash A \ ziemia B \ iff M a \ Vdash A}$ oraz ${\ Displaystyle M, a \ Vdash B}$
• ${\ Displaystyle M, a \ Vdash A \ lub B \ iff M, a \ Vdash A}$ lub ${\ Displaystyle M, a \ Vdash B}$
• ${\ Displaystyle M, a \ Vdash A \ do B \ iff \ forall b (M, b \ Vdash A \ Prawa strzałka M, a \ cdot b \ Vdash B)}$

Formuła obowiązuje w modelu iff . Formuła jest ważna w klasie modeli, jeśli znajduje się w każdym modelu . ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M, 0 \ Vdash A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle M \ w C}$

Warunkowy fragment R jest poprawny i kompletny w odniesieniu do klasy modeli półsieciowych. Logika z koniunkcją i alternatywą jest odpowiednio silniejsza niż warunkowy, koniunkcyjny i alternatywny fragment R. W szczególności wzór jest ważny dla modeli operacyjnych, ale jest nieważny w R. Logika generowana przez modele operacyjne dla R ma pełną system dowodu aksjomatycznego, dzięki Kit Fine i Geraldowi Charlwoodowi. Charlwood dostarczył także naturalnego systemu dedukcji dla logiki, który okazał się odpowiednikiem systemu aksjomatycznego. Charlwood wykazał, że jego naturalny system dedukcji jest odpowiednikiem systemu dostarczonego przez Daga Prawitza . ${\displaystyle (A\do (B\lub C))\land (B\do C)\do (A\do C)}$

Semantyka operacyjne mogą być dostosowane do modelu warunkowego E dodając niepusty zbiór światów oraz relację dostępności on do klatek. Relacja dostępności musi być zwrotna i przechodnia, aby uchwycić ideę, że warunek E ma konieczność S4. Oceny następnie odwzorowują trójki zdań atomowych, punktów i światów na wartości prawdziwościowe. Warunek prawdziwości dla warunkowego zostaje zmieniony na następujący. ${\ Displaystyle W}$${\displaystyle \leq}$${\ Displaystyle W \ razy W}$

• ${\ Displaystyle M, a, w \ Vdash A \ do B \ if \ forall b, \ forall w '\ geq w (M, b, w' \ Vdash A \ Rightarrow M, a \ cdot b, w '\ Vdash B)}$

Semantykę operacyjną można dostosować do modelowania warunkowego T przez dodanie relacji na . Relacja musi spełniać następujące warunki. ${\displaystyle \leq}$${\ Displaystyle K \ razy K}$

• ${\displaystyle 0\leq x}$
• Jeśli i , to${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle y\leq z}$${\displaystyle x\leq z}$
• Jeśli , to${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle x\cdot z\leq r\cdot z}$

Warunek prawdziwości dla warunkowego zostaje zmieniony na następujący.

• ${\ Displaystyle M a \ Vdash A \ do B \ if \ forall b ((a \ leq b \ ziemia M b \ Vdash A) \ Prawa strzałka M a \ cdot b \ Vdash B)}$

Istnieją dwa sposoby modelowania logiki istotności bez skurczu TW i RW za pomocą modeli operacyjnych. Pierwszym sposobem jest odrzucenie warunku, który . Drugi sposób polega na zachowaniu warunków półsieciowych na ramkach i dodaniu do ramki binarnej relacji rozłączności. W przypadku tych modeli warunki prawdy dla warunkowego są zmieniane na następujące, z dodatkiem porządkowania w przypadku TW. ${\displaystyle x\cdot x=x}$${\ Displaystyle J}$

• ${\ Displaystyle M, a \ Vdash A \ do B \ iff \ forall b ((Jab \ ziemia M b \ Vdash A) \ Prawa strzałka M a \ cdot b \ Vdash B)}$

Modele Humberstone

Urquhart wykazał, że logika semi-sieciowa dla R jest odpowiednio silniejsza niż dodatni fragment R. Lloyd Humberstone dostarczył wzbogacenie modeli operacyjnych, które pozwoliły na inny warunek prawdziwości dla alternatywy. Otrzymana klasa modeli generuje dokładnie dodatni fragment R.

Ramka operacyjna to poczwórka , gdzie jest niepustym zestawem , a { , } to operacje binarne na . Niech być zdefiniowany jako . Warunki ramek są następujące. ${\ Displaystyle F}$${\displaystyle (K,\cdot,+,0)}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle 0 \ w K}$${\displaystyle \cdot}$${\displaystyle +}$${\ Displaystyle K}$${\displaystyle a\leq b}$${\ Displaystyle \ istnieje x (a + x = b)}$

Model operacyjny to rama z wartościowaniem, która odwzorowuje pary punktów i twierdzenia atomowe na wartości prawdziwe, T lub F. można rozszerzyć do wartościowania na złożonych formułach w następujący sposób. ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle \ Vdash}$

• ${\ Displaystyle M, a \ Vdash p \ iff V (a, p) = T}$, dla zdań atomowych
• ${\ Displaystyle M, a + b \ Vdash p \ iff M, a \ Vdash p}$ oraz ${\displaystyle M,b\Vdash p}$
• ${\ Displaystyle M a \ Vdash A \ ziemia B \ iff M a \ Vdash A}$ oraz ${\ Displaystyle M, a \ Vdash B}$
• ${\ Displaystyle M, a \ Vdash A \ lub B \ iff M, a \ Vdash A}$lub lub ; oraz${\ Displaystyle M, a \ Vdash B}$${\ Displaystyle \ istnieje b, c (a = b + c}$${\ Displaystyle M, b \ Vdash A}$${\ Displaystyle M, c \ Vdash B)}$
• ${\ Displaystyle M, a \ Vdash A \ do B \ iff \ forall b (M, b \ Vdash A \ Prawa strzałka M, a \ cdot b \ Vdash B)}$

Formuła obowiązuje w modelu iff . Formuła jest ważna w klasie modeli, jeśli znajduje się w każdym modelu . ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M, 0 \ Vdash A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle M \ w C}$

Pozytywny fragment R jest poprawny i kompletny w stosunku do klasy tych modeli. Semantyka Humberstone'a może być dostosowana do modelowania różnych logik poprzez pominięcie lub dodanie warunków ramek w następujący sposób.

System	Warunki ramowe
b	1, 5-9, 14	${\displaystyle x\leq x\cdot 0}$ ${\ Displaystyle (x \ cdot r) \ cdot z \ leq r \ cdot (x \ cdot z)}$ ${\ Displaystyle (x \ cdot r) \ cdot z \ leq x \ cdot (r \ cdot z)}$ ${\ Displaystyle x \ cdot r \ leq (x \ cdot r) \ cdot r}$ ${\ Displaystyle (y + z) \ cdot x = r \ cdot x + z \ cdot x}$ ${\displaystyle x\cdot x=x}$
TW	1, 11, 12, 5-9, 14
EW	1, 10, 11, 5-9, 14
RW	1-3, 5-9
T	1, 11, 12, 13, 5-9, 14
mi	1, 10, 11, 13, 5-9, 14
r	1-9
RM	1-3, 5-9, 15

Modele algebraiczne

Niektóre logiki trafność można podawać modeli algebraicznych, takich jak logika R. struktury algebraiczne R są de monoids Morgan , które są sextuples gdzie ${\displaystyle (D,\land,\lor,\lnot,\circ,e)}$

• ${\displaystyle (D,\land,\lor,\lnot )}$jest siatką rozdzielczą z jednoargumentową operacją, przestrzegającą praw, a jeśli to ;${\ Displaystyle \ nie}$${\ Displaystyle \ nie \ nie x = x}$${\displaystyle x\leq y}$${\ Displaystyle \ nie r \ leq \ nie x}$
• ${\displaystyle e\w d}$, operacja binarna jest przemienna ( ) i asocjacyjna ( ) , czyli jest monoidem abelowym z tożsamością ;${\displaystyle \circ}$${\displaystyle x\circ y=y\circ x}$${\displaystyle (x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)}$${\displaystyle e\circ x=x}$${\displaystyle (D,\circ ,e)}$ ${\displaystyle e}$
• monoid jest uporządkowany w sieci i spełnia ;${\ Displaystyle x \ circ (y \ lor z) = (x \ circ y) \ lor (x \ circ z)}$
• ${\displaystyle x\leq x\circ x}$; oraz
• jeśli , to .${\displaystyle x\circ y\leq z}$${\ Displaystyle x \ circ \ nie z \ leq \ nie y}$

Operacja interpretująca warunek R jest zdefiniowana jako . Monoid de Morgana jest siatką residuacyjną , spełniającą następujący warunek residuacji. ${\displaystyle x\do y}$${\ Displaystyle \ nie (x \ okrąg \ nie y)}$

${\displaystyle x\circ y\leq z\iff x\leq y\do z}$

Interpretacja to homomorfizm od języka zdań do monoidu de Morgana, taki, że ${\displaystyle v}$${\ Displaystyle M}$

• ${\ Displaystyle v (p) \ w D}$ dla wszystkich atomowych propozycji,
• ${\ Displaystyle v (\ nie A) = \ nie v (A)}$
• ${\ Displaystyle v (A \ lub B) = v (A) \ lub v (B)}$
• ${\ Displaystyle v (A \ ziemia B) = v (A) \ ziemia v (B)}$
• ${\ Displaystyle v (A\ do B) = v (A) \ do v (B)}$

Mając monoid de Morgana i jego interpretację , można powiedzieć, że na wszelki wypadek formuła się trzyma . Formuła jest ważna na wypadek, gdyby miała wszystkie interpretacje na wszystkich monoidach de Morgana. Logika R jest solidna i kompletna dla monoidów de Morgana. ${\ Displaystyle M}$${\displaystyle v}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle v}$${\displaystyle e\leq v(A)}$${\ Displaystyle A}$

Zobacz też

• Non sequitur (logika)
• Odpowiedni system typu , o substructural System typ

Bibliografia

Bibliografia

• Alan Ross Anderson i Nuel Belnap , 1975. Entailment: logika istotności i konieczności, tom. ja . Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton. ISBN  0-691-07192-6
• ------- i JM Dunn, 1992. Entailment: logika istotności i konieczności, tom. II , Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton.
• Mares, Edwin i Meyer, RK, 2001, „Relevant Logics”, w Goble, Lou, red., The Blackwell Guide to Philosophical Logic . Blackwella.
• Richard Routley, Val Plumwood, Robert K. Meyer i Ross T. Brady. Właściwa logika i ich rywale . Ridgeview, 1982.
• R. Brady (red.), Relevant Logics and their Rivals (tom II) , Aldershot: Ashgate, 2003.
• Urquhart, Alasdair (1972). „Semantyka dla odpowiednich logik” (PDF) . Dziennik Logiki Symbolicznej . 37 : 159-169. doi : 10.2307/2272559 .
• Alasdair Urquhart. Semantyka entailmentu . Praca doktorska, Uniwersytet w Pittsburghu, 1972.
• Katalin Bimbó , Logika relewancji, w Philosophy of Logic , D. Jacquette (red.), (tom 5 Handbook of the Philosophy of Science , D. Gabbay, P. Thagard, J. Woods (red.)), Elsevier (North -Holandia), 2006, s. 723-789.
• J. Michael Dunn i Greg Restall. Logika trafności. W Handbook of Philosophical Logic , tom 6, F. Guenthner i D. Gabbay (red.), Dordrecht: Kluwer, 2002, s. 1–136.
• Stephen Read, Relevant Logic , Oxford: Blackwell, 1988.
• Humberstone, Lloyd (1987). „Semantyka operacyjna dla pozytywnego R” . Notre Dame Journal of Formal Logic . 29 (1): 61–80. doi : 10.1305/ndjfl/1093637771 .

Zewnętrzne linki

• Stanford Encyclopaedia of Philosophy : „ Logika relewancji ” – Edwin Mares.
• „ Logika istotności ” – J. Michael Dunn i Greg Restall
• Relevant Logic – Stephen Read