Ułamek algebraiczny - Algebraic fraction

W Algebra An frakcja algebraiczna jest frakcja której licznik, jak i mianownik są wyrażenie algebraiczne . Dwa przykłady ułamków algebraicznych to i . Ułamki algebraiczne podlegają tym samym prawom co ułamki arytmetyczne . ${\ Displaystyle {\ Frac {3x} {x ^ {2}+2x-3}}}$${\ Displaystyle {\ Frac {\ sqrt {x + 2}} {x ^ {2}-3}}}$

Racjonalne frakcja jest algebraiczna frakcja której licznik, jak i mianownik są zarówno wielomianów . Jest to zatem ułamek wymierny, ale nie dlatego, że licznik zawiera funkcję pierwiastka kwadratowego. ${\ Displaystyle {\ Frac {3x} {x ^ {2}+2x-3}}}$${\ Displaystyle {\ Frac {\ sqrt {x + 2}} {x ^ {2}-3}}}$

Terminologia

We frakcji algebraiczną , dzielna nazywa się licznik i dzielnik b nazywa się mianownika . Licznik i mianownik nazywamy terminami ułamka algebraicznego. ${\ Displaystyle {\ tfrac {a} {b}}}$

Kompleks frakcja jest ułamkiem których licznik i mianownik lub oba zawiera frakcję. Prosta część nie zawiera frakcji albo w liczniku i mianowniku. Ułamek jest najniższy, jeśli jedynym wspólnym dzielnikiem licznika i mianownika jest 1.

Wyrażenie, które nie jest w formie ułamkowej, jest wyrażeniem całkowitym . Wyrażenie całkowe można zawsze zapisać w postaci ułamkowej, nadając mu mianownik 1. Wyrażenie mieszane jest sumą algebraiczną jednego lub większej liczby wyrażeń całkowych i jednego lub większej liczby wyrażeń ułamkowych.

Ułamki wymierne

Jeśli wyrażenia a i b są wielomianami , ułamek algebraiczny nazywany jest ułamkiem algebraicznym wymiernym lub po prostu ułamkiem wymiernym . Ułamki wymierne są również znane jako wyrażenia wymierne. Ułamek wymierny nazywamy właściwym jeśli , a niewłaściwym inaczej. Na przykład ułamek wymierny jest właściwy, a ułamki wymierne i są niewłaściwe. Każdy niewłaściwy ułamek wymierny może być wyrażony jako suma wielomianu (ewentualnie stałego) i właściwego ułamka wymiernego. W pierwszym przykładzie ułamka niewłaściwego mamy ${\ Displaystyle {\ tfrac {f (x)} {g (x)}}}$${\ Displaystyle \ stopnie f (x) <\ stopnie g (x)}$${\ Displaystyle {\ tfrac {2x} {x ^ {2}-1}}}$${\ Displaystyle {\ tfrac {x ^ {3} + x ^ {2} +1} {x ^ {2} -5 x + 6}}}$${\ Displaystyle {\ tfrac {x ^ {2}-x + 1} {5x ^ {2} + 3}}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {x ^ {3} + x ^ {2} +1} {x ^ {2}-5x + 6}} = (x + 6) + {\ Frac {24x-35} {x ^{2}-5x+6}},}$

gdzie drugi wyraz jest właściwym ułamkiem wymiernym. Suma dwóch ułamków wymiernych własnych jest również ułamkiem wymiernym właściwym. Odwrotny proces wyrażania właściwego ułamka wymiernego jako sumy dwóch lub więcej ułamków nazywa się rozkładaniem go na ułamki częściowe . Na przykład,

${\ Displaystyle {\ Frac {2x} {x ^ {2} -1}} = {\ Frac {1} {x-1}} + {\ Frac {1} {x + 1}}}.}$

Tutaj dwa terminy po prawej stronie nazywane są ułamkami częściowymi.

Ułamki niewymierne

Frakcja irracjonalna jest taki, który zawiera zmienną pod wykładnik frakcyjnej. Przykładem ułamka niewymiernego jest

${\ Displaystyle {\ Frac {x ^ {1/2} - {\ tfrac {1} {3}} {x ^ {1/3} -x ^ {1/2}}}.}$

Proces przekształcania ułamka niewymiernego w ułamek wymierny jest znany jako racjonalizacja . Każdy ułamek irracjonalny, w którym rodniki są jednomianami, można zracjonalizować, znajdując najmniejszą wspólną wielokrotność indeksów pierwiastków i zastępując zmienną inną zmienną z najmniejszą wspólną wielokrotnością jako wykładnikiem. W podanym przykładzie najmniejsza wspólna wielokrotność wynosi 6, stąd możemy zastąpić otrzymanie ${\ Displaystyle x = z ^ {6}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {z ^ {3}-{\ tfrac {1} {3}} a}{z ^ {2}-z ^ {3}}}.}$

Bibliografia

• Brink, Raymond W. (1951). „IV. Ułamki” . Algebra Kolegium .