Prawie holomorficzna forma modułowa - Almost holomorphic modular form

W matematyce , prawie holomorficznymi forma modularna , zwane również prawie holomorficznymi forma modularna , są uogólnieniem form modularnych , które są wielomiany w 1 / IM (t) o współczynnikach będących holomorficznymi funkcje τ. Quasimodular forma jest holomorficzna częścią niemal holomorficzna formie modułowej. Prawie holomorficzna Modułowa forma jest określana przez jego holomorficzna części, więc operacja biorąc udział holomorficzna daje izomorfizm między przestrzeniami prawie holomorficznych form modularnych i form quasimodular. Archetypowym przykłady postaci quasimodular to seria Eisenstein e ₂ (τ) (The holomorficzny część prawie holomorficznej Modularny e ₂ (t), - 3 / πIm (τ)), oraz pochodne postaci modułowych.

W odniesieniu do teorii reprezentacji formy modułowe odpowiada w przybliżeniu najwyższych wektorów wagi niektórych reprezentacji serii oddzielnych SL ₂ ( R ), zaś formy prawie holomorficznymi lub quasimodular odpowiadać mniej więcej innych (nie koniecznie największej masie) wektorów takich przedstawień.

definicje

W celu uproszczenia zapisu ta część traktuje przypadek niż 1; rozszerzenie na wyższych poziomach jest bardzo proste.

Poziom 1 prawie holomorficzny Modularny jest funkcją F na górnej połowie płaszczyzny z właściwościami:

• F przekształca jak modułowego postać: dla pewnej liczby całkowitej K zwany masy dla wszystkich elementów SL ₂ ( Z ).${\ Displaystyle f ((A \ tau + B) / (C \ tau + d)) = (C \ tau + d) ^ {k} f (\ tau)}$
• Jako funkcja P = E ^{2π i τ} , f jest wielomianem 1 / IM (t) ze współczynnikami holomorficznymi funkcje q .

Poziom 1 forma quasimodular określa się stały okres prawie holomorficznej modułowej (traktowanej jako wielomian 1 / Im (τ)).

Struktura

Pierścień prawie holomorficznymi postaci modułowych poziomu 1 jest wielomianem pierścień na liczbach zespolonych w trzech generatorów . Podobnie pierścień quasimodular formy Poziom 1 jest wielomianem pierścień na liczbach zespolonych w trzech generatorów . ${\ Displaystyle E_ {2} (\ tau) -3 / \ pi \ Im (\ tau), e_ {4} (\ tau), e_ {6} (\ tau)}$${\ Displaystyle E_ {2} (\ tau) E_ {4} (\ tau) E_ {6} (\ tau)}$

Formy Quasimodular mogą być interpretowane jako sekcje niektórych pakietach strumieniowych .

Pochodne

Ramanujana zauważyć, że pochodną o dowolnej postaci quasimodular inny quasimodular postaci. Na przykład,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {1} {2 \ Pi I}} {\ Frac {dE_ {2}} {d \ tau}} & = {\ Frac {E_ {2} ^ {2 } -E_ {4}} {12}} \\ [6PT] {\ Frac {1} {2 \ pi} {i} \ Frac {dE_ {4}} {d \ tau}} & = {\ Frac { E_ {2}, {4} E_ -E_ {6}}, {3}} \\ [6PT] {\ Frac {1} {2 \ pi} {i} \ Frac {dE_ {6}} {d \ tau} i} = {\ Frac E_ {{2}, {6} E_ -E_ {4} ^ {2}, {2}}} \ koniec {wyrównane}}}$

A pole wytwarzane przez quasimodular postaci pewnego stopnia ma stopień TRANSCENDENCJA 3 a C oznacza to, że każda forma quasimodular spełnia pewne nieliniowe równanie różniczkowe rzędu 3. Na przykład, seria Eisenstein E ₂ ta spełnia równanie Chazy (z dokładnością do kilku stałe).

Referencje

• Movasati, Hossein (2012), "Quasi-modułowe formy dołączone do krzywych eliptycznych, ja" , Ann. Math. Blaise Pascal , 19 (2): 307-377, MR  3.025.138
• Zagier Don (2008), "eliptyczne formy modułowe i ich zastosowania", w Ranestad Kristian, The 1-2-3 form modułowych. Zajęcia w szkole letniej w Nordfjordeid, Norwegia, czerwiec 2004 , Universitext, z Bruinier Jan Hendrik; van der Geer Gerard; Trudniejsze Gunter, Berlin: Springer-Verlag ., Strony 1-103, doi : 10.1007 / 978-3-540-74119-0 , ISBN  978-3-540-74117-6 , MR  2409678 , Zbl  1197,11047