Połączenie projekcyjne - Projective connection

W geometrii różniczkowej , A rzutowa połączenie jest typu związku Cartan na różniczkowej kolektora .

Struktura połączenia rzutowego jest modelowana na geometrii przestrzeni rzutowej , a nie na przestrzeni afinicznej odpowiadającej połączeniu afinicznym . Podobnie jak połączenia afiniczne, połączenia rzutowe definiują również geodezję . Jednak te geodezyjne nie są sparametryzowane afinicznie . Są one raczej parametryzacją projekcyjną, co oznacza, że ​​na ich preferowaną klasę parametryzacji oddziałuje grupa ułamkowych przekształceń liniowych .

Podobnie jak połączenie afiniczne, połączenia rzutowe mają powiązane skręcanie i krzywiznę.

Przestrzeń rzutowana jako geometria modelu

Pierwszym krokiem w definiowaniu dowolnego połączenia Cartana jest rozważenie przypadku płaskiego: w którym połączenie odpowiada formie Maurera-Cartana na jednorodnej przestrzeni .

W ustawieniu rzutowym podstawową rozmaitością M przestrzeni jednorodnej jest przestrzeń rzutowa RP ^n, którą będziemy reprezentować przez jednorodne współrzędne [ x ₀ ,..., x _n ]. Grupa symetrii M to G = PSL( n +1, R ). Niech H będzie grupą izotropową punktu [1,0,0,...,0]. Zatem M = G / H przedstawia M jako jednorodną przestrzeń.

Pozwolić być z algebry Lie z G i że z H . Zauważ, że . Jako matrycy w stosunku do jednorodnej podstawy , zawiera śladowe wolne ( n + 1) x ( n macierzy +1): ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {s}} {\ mathfrak {l}} (n + 1 {\ mathbb {R}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\ Displaystyle \ lewo ({\ zacząć {macierz} \ lambda & v ^ {i} \ \ w_ {j} i a_ {j} ^ {i} \ koniec {macierz}} \ po prawej), \ quad (v ^ {i })\in {\mathbb {R} }^{1\times n},(w_{j})\in {\mathbb {R} }^{n\times 1},(a_{j}^{i })\in {\mathbb {R} }^{n\times n},\lambda =-\sum _{i}a_{i}^{i}}$.

I składa się ze wszystkich tych macierzy z ( w _j ) = 0. Względem powyższej reprezentacji macierzowej, forma Maurera-Cartana G jest układem 1-form (ζ, α _j , α _j ⁱ , α ⁱ ) spełniającym równania strukturalne ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

d ζ + Σ _i α ⁱ ∧α _i = 0

d α _j + α _j ∧ζ + Σ _k α _j ^k ∧α _k = 0

d α _j ⁱ + α ⁱ ∧α _j + Σ _k α _k ⁱ ∧α _j ^k = 0

d α ⁱ + ζ∧α ⁱ + Σ _k α ^k ∧α _k ⁱ = 0

Struktury rzutowe na rozmaitościach

Struktura rzutowa to geometria liniowa na rozmaitości, w której dwa pobliskie punkty są połączone linią (tj. geodezja niesparametryzowana ) w unikalny sposób. Co więcej, nieskończenie małe sąsiedztwo każdego punktu jest wyposażone w klasę ramek projekcyjnych . Według Cartana (1924)

Une variété (ou espace) à connexion projective est une variété numérique qui, au voisinage immédiat de chaque point, présente tous les caractères d'un espace projectif et douée de plus d'une loi permetants de le racord morceaux qui entourent deux points infiniment voisins. ...

Analytiquement, on choisira, d'une manière d'ailleurs arbitraire, dans l'espace projectif attaché à chaque point a de la variété, un repére définissant un system de coordonnées projectives. ... Le raccord entre les espaces projekty attachés à deux points infiniment voisins a et a' se traduira analytiquement par une transformation homographique. ...

Jest to analogiczne do koncepcji Cartana połączenia afinicznego , w którym pobliskie punkty są w ten sposób połączone i mają afiniczny układ odniesienia, który jest przenoszony z jednego do drugiego (Cartan, 1923):

La variété sera dite A "związek affine" lorsqu'on aura defini, d'une Manière d'ailleurs arbitraire, une loi permettant de l'un repérer par rapport à l'autre les espaces powinowatych przywiązuje deux wskazuje infiniment voisins quelconques m et m' de la variété; cete loi permettra de dire que tel point de l'espace affine attaché au point m' à tel point de l'espace affine attaché au point m , que tel vecteur du premier espace es parallèle ou équipollent à tel vecteur du second espace.

We współczesnym języku struktura rzutowa na n- rozmaitości M jest geometrią Cartana modelowaną na przestrzeni rzutowej, gdzie ta ostatnia jest postrzegana jako jednorodna przestrzeń dla PSL( n +1, R ). Innymi słowy jest to pakiet PSL( n +1, R ) wyposażony w

• połączenie PSL( n +1, R ) (połączenie Cartan )
• redukcja grupy strukturalnej do stabilizatora punktu w przestrzeni rzutowej

tak, że forma lutu indukowana przez te dane jest izomorfizmem.

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Ü. Lumiste (2001) [1994], „Projective connection” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press