Twierdzenie Poyntinga - Poynting's theorem

W elektrodynamiki , twierdzenie poyntinga jest stwierdzenie zachowania energii dla pola elektromagnetycznego ,, w postaci równania różniczkowego cząstkowego opracowany przez brytyjski fizyk John Henry Poynting . Twierdzenie Poyntinga jest analogiczne do twierdzenia praca-energia w mechanice klasycznej i matematycznie podobne do równania ciągłości , ponieważ wiąże energię zmagazynowaną w polu elektromagnetycznym z pracą wykonaną nad rozkładem ładunku (tj. obiektem naładowanym elektrycznie) poprzez energię strumień .

Oświadczenie

Ogólny

Słowem, twierdzenie to bilans energetyczny:

Szybkość transferu energii (na jednostkę objętości) od obszaru powierzchni jest równa szybkości pracy wykonanej w rozkładzie ładunku plus strumienia energii opuszczeniu tego regionu.

Drugie stwierdzenie może również wyjaśnić twierdzenie - "Spadek energii elektromagnetycznej w jednostce czasu w określonej objętości jest równy sumie pracy wykonanej przez siły pola i netto strumienia na jednostkę czasu".

Matematycznie,

gdzie ∇ • S jest odchylenie od wektora Poyntinga (przepływ energii) i J • E oznacza szybkość, z których pola działają na naładowanego przedmiotu ( J jest gęstość prądu odpowiadającym ruchowi ładunku, E jest polem elektrycznym , oraz • jest iloczynem skalarnym ). Gęstość energii U , przy założeniu, że nie ma elektryczne lub magnetyczne, polaryzowalność , jest dana wzorem:

${\ Displaystyle u = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (\ epsilon _ {0} \ mathbf {e} \ cdot \ mathbf {e} + {\ Frac {1} {\ mu _ {0} }}\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} \prawo)}$

gdzie B jest indukcją magnetyczną . Korzystając z twierdzenia o dywergencji , twierdzenie Poyntinga można przepisać w postaci całkowej :

gdzie jest granica objętości V . Kształt objętości jest dowolny, ale ustalony do obliczeń. ${\ Displaystyle \ częściowe V \!}$

Inżynieria elektryczna

W kontekście elektrotechniki twierdzenie to jest zwykle zapisywane z wyrazem gęstości energii u rozszerzonym w następujący sposób, co przypomina równanie ciągłości :

${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {S} + \ epsilon _ {0} \ mathbf {E} \ cdot {\ Frac {\ częściowy \ mathbf {E}} {\ częściowy t}} + {\ Frac {\ mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\częściowy \mathbf {B} }{\częściowy t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0, }$

gdzie

• ε ₀ jest stałą elektryczną, a μ ₀ jest stałą magnetyczną .
• ${\ Displaystyle \ epsilon _ {0} \ mathbf {e} \ cdot {\ frac {\ częściowy \ mathbf {e}} {\ częściowy t}}}$jest gęstością mocy biernej napędzającej narastanie pola elektrycznego,
• ${\displaystyle {\frac {\mathbf {B}}{\mu_{0}}}\cdot {\frac {\częściowy \mathbf {B}}{\częściowy t}}}$jest gęstością mocy biernej napędzającej narastanie pola magnetycznego, oraz
• ${\ Displaystyle \ mathbf {J} \ cdot \ mathbf {E}}$jest gęstością energii elektrycznej rozpraszanej przez siłę Lorentza działającą na nośniki ładunku.

Pochodzenie

Podczas gdy zasada zachowania energii i prawo siły Lorentza mogą dać ogólną postać twierdzenia, równania Maxwella są dodatkowo wymagane do wyprowadzenia wyrażenia na wektor Poyntinga, a tym samym uzupełnienia twierdzenia.

Twierdzenie Poyntinga

Biorąc pod uwagę powyższe stwierdzenie w słowach - w twierdzeniu są trzy elementy, które polegają na zapisywaniu transferu energii (w jednostce czasu) jako całki objętości :

1. Ponieważ u jest gęstością energii, całkowanie po objętości obszaru daje całkowitą energię U zmagazynowaną w regionie, a następnie wzięcie (częściowej) pochodnej czasu daje szybkość zmiany energii:
   $${\ Displaystyle U = \ int _ {V} u \, dV \ \rightarrow \ {\ Frac {\ częściowy U} {\ częściowy t}} = {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ int _ {V}u\,dV=\int _{V}{\frac {\częściowy u}{\częściowy t}}dV.}$$

   
2. Strumień energii opuszczający region jest całką powierzchniową wektora Poyntinga, a używając twierdzenia o dywergencji można to zapisać jako całkę objętościową:
   $${\ Displaystyle \ oint _ {\ częściowy V} \ mathbf {S} \ cdot d \ mathbf {A} = \ int _ {V} \ nabla \ cdot \ mathbf {S} dV}.$$

   
3. Lorentza siła gęstość F na rozkład obciążenia, zintegrowany na objętość, aby uzyskać całkowitą siłę F , jest
   $${\ Displaystyle \ mathbf {f} = \ rho \ mathbf {E} + \ mathbf {J} \ razy \ mathbf {B} \ \ rightarrow \ \ int _ {V} \ mathbf {f} dV = \ mathbf {F } =\int _{V}(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} )dV,}$$

   
   gdzie ρ jest gęstością ładunku rozkładu, a v jego prędkością . Ponieważ tempo pracy wykonanej przez siłę wynosi${\ Displaystyle \ mathbf {J} = \ rho \ mathbf {v}}$
   $${\ Displaystyle \ mathbf {F} \ cdot {\ Frac {d \ mathbf {R}} {dt}} = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} = \ int _ {V} \ lewo (\ rho \mathbf {E} \cdot \mathbf {v} +\rho \mathbf {v} \times \mathbf {B} \cdot \mathbf {v} \right)dV\ \rightarrow \ \mathbf {F} \cdot \ mathbf {v} =\int _{V}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} dV}$$

   

Tak więc, z zasady zachowania energii, równanie bilansowe dla przepływu energii w jednostce czasu jest integralną postacią twierdzenia:

${\ Displaystyle - \ int _ {V} {\ Frac {\ częściowe u} {\ częściowe t}} dV = \ int _ {V} \ nabla \ cdot \ mathbf {S} dV + \ int _ {V} \ mathbf {J} \cdot \mathbf {E} dV,}$

a ponieważ objętość V jest dowolna, dotyczy to wszystkich tomów, co oznacza

${\ Displaystyle - {\ Frac {\ częściowy u}{\ częściowy t}} = \ nabla \ cdot \ mathbf {S} + \ mathbf {J} \ cdot \ mathbf {E}}$

czyli twierdzenie Poyntinga w postaci różniczkowej.

Poynting wektor

Z twierdzenia można znaleźć rzeczywistą postać wektora Poyntinga S. Pochodna po czasie gęstości energii (stosując regułę iloczynu dla iloczynów wektorowych z kropkami ) wynosi

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy u}{\ częściowy t}} = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (\ mathbf {e} \ cdot {\ Frac {\ częściowy \ mathbf {D}} {\częściowy t}}+\mathbf {D} \cdot {\frac {\częściowy \mathbf {E} }{\częściowy t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\częściowy \mathbf {B } }{\częściowy t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\częściowy \mathbf {H} }{\częściowy t}}\right)=\mathbf {E} \cdot {\frac {\ częściowy \mathbf {D} }{\częściowy t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\częściowy \mathbf {B} }{\częściowy t}},}$

wykorzystanie relacji konstytutywnych

${\ Displaystyle \ mathbf {D} = \ epsilon _ {0} \ mathbf {E} , \ quad \ mathbf {H} = {\ Frac {\ mathbf {B}} }{\ mu _ {0}}}}$

Pochodne cząstkowe po czasie sugerują użycie dwóch równań Maxwella . Biorąc iloczyn skalarny tego równania Maxwella Faradaya z H :

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy \ mathbf {B}} {\ częściowy t}} = - \ nabla \ razy \ mathbf {e} \ \ rightarrow \ \ mathbf {H} \ cdot {\ Frac {\ częściowy \ mathbf {B} }{\częściowy t}}=-\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} ,}$

następnie biorąc iloczyn skalarny równania Maxwella-Ampère'a z E :

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy \ mathbf {D} }{\ częściowy t}} + \ mathbf {J} = \ nabla \ razy \ mathbf {H} \ \ rightarrow \ \ mathbf {E} \ cdot {\ frac {\partial \mathbf {D} }{\częściowy t}}+\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} =\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H} .}$

Zebranie dotychczasowych wyników daje:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} - \ nabla \ cdot \ mathbf {S} & = {\ Frac {\ częściowy u} {\ częściowy t}} + \ mathbf {J} \ cdot \ mathbf {E} \\ &=\left(\mathbf {H} \cdot {\frac {\częściowy \mathbf {B} }{\częściowy t}}+\mathbf {E} \cdot {\frac {\częściowy \mathbf {D} } {\partial t}}\right)+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} \\&=\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H} -\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} ,\\\end{wyrównany}}}$

następnie, używając tożsamości wektora rachunku :

${\ Displaystyle \ nabla \ cdot (\ mathbf {E} \ razy \ mathbf {H}) = \ mathbf {H} \ cdot (\ nabla \ razy \ mathbf {E}) - \ mathbf {E} \ cdot (\ nabla \times \mathbf {H} ),}$

daje wyrażenie dla wektora Poyntinga:

${\ Displaystyle \ mathbf {S} = \ mathbf {E} \ razy \ mathbf {H}}$

co fizycznie oznacza, że ​​transfer energii pod wpływem zmiennych w czasie pól elektrycznych i magnetycznych jest prostopadły do ​​pól

Wektor Poyntinga w mediach makroskopowych

W ośrodku makroskopowym efekty elektromagnetyczne są opisywane przez pola uśrednione przestrzennie (makroskopowe). Wektor Poyntinga w pożywce makroskopowej można zdefiniować zgodnie z teorią mikroskopową w taki sposób, że uśredniony przestrzennie mikroskopijny wektor Poyntinga jest dokładnie przewidywany przez formalizm makroskopowy. Wynik ten jest ściśle słuszny w granicach małych strat i pozwala na jednoznaczną identyfikację postaci wektora Poyntinga w elektrodynamice makroskopowej.

Alternatywne formy

Możliwe jest wyprowadzenie alternatywnych wersji twierdzenia Poyntinga. Zamiast wektora strumienia E × B jak powyżej, można zastosować ten sam styl wyprowadzania, ale zamiast tego wybrać formę Abrahama E × H , formę Minkowskiego D × B , a może D × H . Każdy wybór reprezentuje odpowiedź ośrodka propagacji na swój własny sposób: powyższa forma E × B ma tę właściwość, że reakcja zachodzi tylko z powodu prądów elektrycznych, podczas gdy forma D × H wykorzystuje tylko (fikcyjne) prądy monopolowe magnetyczne . Pozostałe dwie formy (Abraham i Minkowski) wykorzystują komplementarne kombinacje prądów elektrycznych i magnetycznych, aby przedstawić reakcje polaryzacji i magnetyzacji ośrodka.

Uogólnienie

Energią mechaniczną odpowiednikiem powyższego twierdzenia dla równania ciągłości energii elektromagnetycznej jest

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} u_ {m} (\ mathbf {r}, t) + \ nabla \ cdot \ mathbf {S} _ {m} (\ mathbf {r} , t)=\mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t),}$

gdzie u _m jest (mechaniczną) gęstością energii kinetycznej w układzie. Można ją opisać jako sumę energii kinetycznych cząstek α (np. elektronów w drucie), których trajektoria jest podana przez r _α ( t ):

${\ Displaystyle u_ {m} (\ mathbf {r}, t) = \ suma _ {\ alfa} {\ Frac {m_ {\ alfa}} {2}} {\ kropka {r}} _ {\ alfa} ^{2}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{\alpha }(t)),}$

gdzie S _m jest strumieniem ich energii lub „mechanicznym wektorem Poyntinga”:

${\ Displaystyle \ mathbf {S} _ {m} (\ mathbf {R}, t) = \ suma _ {\ alfa} {\ Frac {m_ {\ alfa}} {2}} {\ kropka {r}} _{\alpha }^{2}{\dot {\mathbf {r} }}_{\alpha }\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{\alpha }(t)).}$

Obydwa można połączyć za pomocą siły Lorentza , którą pola elektromagnetyczne wywierają na poruszające się naładowane cząstki (patrz wyżej), z następującym równaniem ciągłości energii lub prawem zachowania energii :

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ po lewej (u_ {e} + u_ {m} \ po prawej) + \ nabla \ cdot \ po lewej (\ mathbf {S} _ {e} + \ mathbf {S} _{m}\right)=0,}$

obejmujące oba rodzaje energii i konwersję jednego w drugi.

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Eric W. Weisstein „Twierdzenie Poyntinga” z ScienceWorld – zasób sieciowy Wolframa.