Potęga punktu - Power of a point

W płaszczyźnie podstawowej geometrii The power punktu jest liczba rzeczywista , która odzwierciedla względną odległość danego punktu z danego okręgu. Wprowadził go Jakob Steiner 1826.

W szczególności moc punktu w odniesieniu do okręgu o środku i promieniu jest określona przez ${\ Displaystyle \ Pi (P)}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$${\ Displaystyle O}$${\ Displaystyle r}$

${\ Displaystyle \ Pi (P) = | PO | ^ {2}-r ^ {2}.}$

Jeśli jest poza okręgiem, to , jeśli jest na okręgu, to a jeśli jest wewnątrz okręgu, to . ${\displaystyle P}$${\ Displaystyle \ Pi (P)> 0}$
${\displaystyle P}$${\ Displaystyle \ Pi (P) = 0}$
${\displaystyle P}$${\ Displaystyle \ Pi (P) <0}$

Z uwagi na twierdzenie Pitagorasa liczba ma proste znaczenie geometryczne pokazane na diagramie: Dla punktu poza okręgiem jest kwadratem odległości stycznej punktu do okręgu . ${\ Displaystyle \ Pi (P)}$${\displaystyle P}$${\ Displaystyle \ Pi (P)}$${\displaystyle |PT|}$${\displaystyle P}$${\displaystyle c}$

Punkty z równą mocą, izolinie z są okręgi koncentryczne do kręgu . ${\ Displaystyle \ Pi (P)}$${\displaystyle c}$

Steiner używał potęgi punktu do dowodu kilku stwierdzeń dotyczących okręgów, na przykład:

• Wyznaczenie okręgu, który przecina cztery okręgi pod tym samym kątem.
• Rozwiązanie problemu Apoloniusza
• Budowa okręgów Malfattiego : Dla danego trójkąta wyznacz trzy okręgi, które stykają się ze sobą i po dwa boki trójkąta.
• Sferyczna wersja problemu Malfattiego: Trójkąt jest sferyczny.

Niezbędnymi narzędziami do badania okręgów są radykalna oś dwóch okręgów i radykalny środek trzech okręgów.

Schemat zasilania zestawu kół dzieli płaszczyznę na obszary, w których koło minimalizuje moc jest stała.

Mówiąc bardziej ogólnie, francuski matematyk Edmond Laguerre zdefiniował moc punktu w odniesieniu do dowolnej krzywej algebraicznej w podobny sposób.

Właściwości geometryczne

Oprócz właściwości wymienionych w czołówce istnieją inne właściwości:

Okrąg ortogonalny

Dla dowolnego punktu poza okręgiem istnieją dwa punkty styczne na okręgu , które mają taką samą odległość do . Stąd koła o środku za pomocą przebiegów także i przecina ortogonalne: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$${\displaystyle T_{1},T_{2}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle P}$${\displaystyle o}$${\displaystyle P}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{2}}$${\displaystyle c}$

• Okrąg o środku i promieniu przecina okrąg prostopadle .${\displaystyle P}$${\ Displaystyle {\ sqrt {\ Pi (P)}}}$${\displaystyle c}$

Jeśli promień okręgu, którego środek jest inny niż jeden, otrzymujemy kąt przecięcia dwóch okręgów stosując prawo cosinusów (patrz diagram): ${\ Displaystyle \ rho}$${\displaystyle P}$${\ Displaystyle {\ sqrt {\ Pi (P)}}}$${\displaystyle \varphi}$

${\ Displaystyle \ rho ^ {2} + r ^ {2} -2 \ rho r \ cos \ varphi = | PO | ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ rightarrow \ \ cos \ varphi = {\ Frac {\ rho ^ {2} + r ^ {2} - | PO | ^ {2}} {2 \ rho r}} = {\ Frac {\ rho ^{2}-\Pi (P)}{2\rho r}}}$

( i są normalnymi do stycznych okręgu.) ${\displaystyle PS_{1}}$${\displaystyle MS_{1}}$

Jeśli leży w niebieskim kółku, to i zawsze różni się od . ${\displaystyle P}$${\ Displaystyle \ Pi (P) <0}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle 90^{\circ}}$

Jeśli podano kąt , to promień otrzymuje się , rozwiązując równanie kwadratowe ${\displaystyle \varphi}$${\ Displaystyle \ rho}$

${\ Displaystyle \ rho ^ {2} -2 \ rho r \ cos \ varphi - \ pi (P) = 0}$.

Twierdzenie o przecinających się siecznych, twierdzenie o przecinających się akordach

Dla twierdzenia o przecinających się siecznych i twierdzenia o akordach potęga punktu odgrywa rolę niezmiennika :

• Twierdzenie o przecinających się siecznych : Dla punktu na zewnątrz okręgu i punktów przecięcia siecznej z następującym stwierdzeniem jest prawdziwe: , stąd iloczyn jest niezależny od prostej . Jeśli jest styczna, to i stwierdzenie jest twierdzeniem tangens-secans .${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$${\displaystyle S_{1},S_{2}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle c}$${\ Displaystyle | PS_ {1} | \ cdot | PS_ {2} | = \ Pi (P)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle P_{1}=P_{2}}$
• Twierdzenie o przecinających się cięciwach : Dla punktu wewnątrz okręgui punktów przecięciasiecznejznastępującym stwierdzeniem jest prawdziwe:, stąd iloczyn jest niezależny od prostej.${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$${\displaystyle S_{1},S_{2}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle c}$${\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=-\Pi (P)}$${\displaystyle g}$

Oś radykalna

Niech będzie punktem i dwoma niekoncentrycznymi okręgami o środkach i promieniach . Punkt ma moc w stosunku do okręgu . Zbiór wszystkich punktów z to linia zwana osią radykalną . Zawiera możliwe punkty wspólne okręgów i jest prostopadła do prostej . ${\displaystyle P}$${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle O_{1},O_{2}}$${\displaystyle r_{1},r_{2}}$${\displaystyle P}$${\ Displaystyle \ Pi _ {i} (P)}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle P}$${\ Displaystyle \ Pi _ {1} (P) = \ Pi _ {2} (P)}$${\displaystyle {\overline {O_{1}O_{2}}}}$

Twierdzenie o sekansach, twierdzenie o akordach: wspólny dowód

Oba twierdzenia, w tym twierdzenie tangens-secans , można udowodnić jednolicie:

Niech będzie punktem, okręgiem z początkiem w środku i dowolnym wektorem jednostkowym . Parametry możliwych wspólnych punktów prostej (przechodzącej ) i okręgu można określić, wstawiając równanie parametryczne do równania okręgu: ${\displaystyle P:{\vec {p}}}$${\ Displaystyle c: {\ vec {x}} ^ {2}-r ^ {2} = 0}$${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle t_{1},t_{2}}$${\ Displaystyle g: {\ vec {x}} = {\ vec {p}} + t {\ vec {v}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle c}$

${\ Displaystyle ({\ vec {p}} + t {\ vec {v}}) ^ {2}-r ^ {2} = 0 \ quad \ rightarrow \ quad t ^ {2} + 2 t \; {\ vec {p}}\cdot {\vec {v}}+{\vec {p}}^{2}-r^{2}=0\ .}$

Z twierdzenia Viety wynika:

${\ Displaystyle t_ {1} \ cdot t_ {2} = {\ vec {p}} ^ {2}-r ^ {2} = \ pi (P)}$. (niezależnie od  !)${\displaystyle {\vec {v}}}$

${\ Displaystyle \ Pi (P)}$jest moc z szacunkiem dla koła . ${\displaystyle P}$${\displaystyle c}$

Z tego powodu otrzymuje się następujące oświadczenie za punkty : ${\ Displaystyle | {\ vec {v}} | = 1}$${\displaystyle S_{1},S_{2}}$

${\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=t_{1}t_{2}=\pi (P)\}$, jeśli jest poza okręgiem,${\displaystyle P}$

${\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=-t_{1}t_{2}=-\Pi (P)\}$, jeśli znajduje się wewnątrz okręgu ( różne znaki !).${\displaystyle P}$${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

W przypadku linii jest styczną i kwadratem odległości stycznej punktu do okręgu . ${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$${\displaystyle g}$${\ Displaystyle \ Pi (P)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle c}$

Punkty podobieństwa, wspólna potęga dwóch okręgów

Punkty podobieństwa

Punkty podobieństwa są podstawowym narzędziem do badań Steinera nad okręgami.

Biorąc pod uwagę dwa kręgi

${\ Displaystyle \ c_ {1}: ({\ vec {x}} - {\ vec {m}} _ {1}) -r_ {1} ^ {2} = 0, \ quad c_ {2}: ( {\vec {x}}-{\vec {m}}_{2})-r_{2}^{2}=0\}$.

Jednokładności ( podobieństwo ) , która odwzorowuje na wycinków (wstrząsy) promieniu do i ma swoje centrum na linii , bo . Jeśli środek znajduje się między współczynnikiem skali jest . W drugim przypadku . W każdym przypadku: ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$${\ Displaystyle Z: {\ vec {z}}}$${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$${\ Displaystyle \ sigma (M_ {1}) = M_ {2}}$${\ Displaystyle Z}$${\displaystyle M_{1},M_{2}}$${\displaystyle s=-{\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$${\displaystyle s={\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$

${\ Displaystyle \ sigma ({\ vec {m}} _ {1}) = {\ vec {z}} + s ({\ vec {m}} _ {1} - {\ vec {z}}) = {\vec {m}}_{2}}$.

Wstawianie i rozwiązywanie plonów: ${\displaystyle s=\pm {\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$${\displaystyle {\vec {z}}}$

${\displaystyle {\vec {z}}={\frac {r_{1}{\vec {m}}_{2}\mp r_{2}{\vec {m}}_{1}}{r_ {1}\mp r_{2}}}}$.

Punkt

• ${\ Displaystyle E: {\ vec {e}} = {\ Frac {r_ {1} {\ vec {m}} {2}-r_ {2} {\ vec {m}} _ {1}} r_{1}-r_{2}}}}$

nazywa się zewnętrznym punktem podobieństwa i

• ${\ Displaystyle I: {\ vec {i}} = {\ Frac {r_ {1} {\ vec {m}} _ {2} + r_ {2} {\ vec {m}} _ {1}} r_{1}+r_{2}}}}$

wewnętrzny punkt podobieństwa .

W przypadku jednego dostaje . W przypadku : jest punktem na nieskończoności linii i jest środkiem . W przypadku, gdy okręgi stykają się ze sobą w punkcie wewnątrz (oba okręgi po tej samej stronie wspólnej stycznej). W przypadku, gdy okręgi stykają się ze sobą w punkcie na zewnątrz (oba okręgi po różnych stronach wspólnej stycznej). ${\displaystyle M_{1}=M_{2}}$${\ Displaystyle E = I = M_ {i}}$
${\displaystyle r_{1}=r_{2}}$${\ Displaystyle \ E}$${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$${\ Displaystyle I}$${\displaystyle M_{1},M_{2}}$
${\displaystyle r_{1}=|EM_{1}|}$${\ Displaystyle E}$
${\displaystyle r_{1}=|IM_{1}|}$${\ Displaystyle I}$

Ponadto:

• Jeśli okręgi leżą rozłączne (dyski nie mają wspólnych punktów), zewnętrzne wspólne styczne spotykają się w , a wewnętrzne w .${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle I}$
• Jeśli jeden okrąg jest zawarty w drugim , punkty leżą w obu okręgach.${\displaystyle E,I}$
• Pary są sprzężeniem harmonicznym rzutowym : ich stosunek krzyżowy wynosi .${\displaystyle M_{1},M_{2};E,I}$${\ Displaystyle (M_ {1}, M_ {2}; E, I) = -1}$

Twierdzenie Monge'a mówi: Zewnętrzne punkty podobieństwa trzech rozłącznych okręgów leżą na linii.

Wspólna moc dwóch kręgów

Niech będą dwa okręgi, ich zewnętrzny punkt podobieństwa i linia przechodząca przez , która spotyka się z dwoma okręgami w czterech punktach . Z definiującej właściwości punktu otrzymuje się ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\ Displaystyle E}$${\displaystyle g}$${\ Displaystyle E}$${\displaystyle G_{1},H_{1},G_{2},H_{2}}$${\ Displaystyle E}$

${\ Displaystyle {\ Frac {| EG_ {1} |} {| EG_ {2} |}} = {\ Frac {R_ {1}} {r_ {2}}} = {\ Frac {| EH_ {1} |}{|EH_{2}|}}\ }$

${\displaystyle \rightarrow \ |EG_{1}|\cdot |EH_{2}|=|EH_{1}|\cdot |EG_{2}|\}$

a z twierdzenia o siecznych (patrz wyżej) dwa równania

${\ Displaystyle | EG_ {1} | \ cdot | EH_ {1} | = \ Pi _ {1} (E), \ quad | EG_ {2} | \ cdot | EH_ {2} | = \ Pi _ {2} }(MI).}$

Połączenie tych trzech równań daje:

${\ Displaystyle \ Pi _ {1} (E) \ cdot \ Pi _ {2} (E) = | EG_ {1} | \ cdot | EH_ {1} | \ cdot | EG_ {2} | \ cdot | EH_ {2}|}$

${\ Displaystyle \ qquad \ qquad \ qquad \ = | EG_ {1} | ^ {2} \ cdot | EH_ {2} | ^ {2} = | EG_ {2} | ^ {2} \ cdot | EH_ {1} }|^{2}\ .}$

Stąd:

• ${\ Displaystyle | EG_ {1} | \ cdot | EH_ {2} | = | EG_ {2} | \ cdot | EH_ {1} | = {\ sqrt {\ pi _ {1} (e) \ cdot \ pi _{2}(E)}}\ }$(niezależnie od linii  !).${\displaystyle g}$

Analogiczne stwierdzenie dotyczące wewnętrznego punktu podobieństwa jest również prawdziwe. ${\ Displaystyle I}$

Niezmienniki są nazywane przez Steinera wspólną potęgą obu kręgów ( gemeinschaftliche Potenz der beiden Kreise bezüglich ihrer Ęhnlichkeitspunkte ). ${\ Displaystyle \ {\ sqrt {\ pi _ {1} (e) \ cdot \ pi _ {2} (e)}}, \ {\ sqrt {\ pi _ {1} (ja) \ cdot \ pi _ {2}(I)}}\ }$

Pary i punkty są punktami antyhomologicznymi . Pary i są homologiczne . ${\displaystyle G_{1},H_{2}}$${\displaystyle H_{1},G_{2}}$${\displaystyle G_{1},G_{2}}$${\displaystyle H_{1},H_{2}}$

Wyznaczenie okręgu, czyli stycznej do dwóch okręgów

Przez drugą sieczną przez : ${\ Displaystyle E}$

${\displaystyle |EH_{1}|\cdot |EG_{2}|=|EH'_{1}|\cdot |EG'_{2}|}$

Z twierdzenia o siecznych otrzymujemy:

Cztery punkty leżą na okręgu.${\displaystyle H_{1},G_{2},H'_{1},G'_{2}}$

I analogicznie:

Cztery punkty również leżą na kole.${\displaystyle G_{1},H_{2},G'_{1},H'_{2}}$

Ponieważ radykalne linie trzech kręgów spotykają się na radykalnej (patrz: artykuł radykalna linia), otrzymujemy:

Seanse spotykają się na radykalnej osi danych dwóch kręgów.${\ Displaystyle {\ overline {H_ {1}H'_ {1}}}, \; {\ overline {G_ {2}G'_ {2}}}}$

Przesuwając sieczną dolną (patrz rysunek) w kierunku górnej, czerwone kółko staje się okręgiem, czyli stycznym do obu podanych okręgów. Środek okręgu stycznego stanowi punkt przecięcia linii . W punktach siecznych stają się styczne . Styczne przecinają się na linii radykalnej (na schemacie żółtym). ${\ Displaystyle {\ overline {M_ {1}H_ {1}}}, {\ overline {M_ {2}G_ {2}}}}$${\ Displaystyle {\ overline {H_ {1}H'_ {1}}}, {\ overline {G_ {2}G'_ {2}}}}$${\displaystyle H_{1},G_{2}}$${\displaystyle p}$

Podobne rozważania generują drugi okrąg styczny, który w punktach styka się z podanymi okręgami (patrz diagram). ${\displaystyle G_{1},H_{2}}$

Wszystkie okręgi styczne do podanych okręgów można znaleźć po zróżnicowaniu linii . ${\displaystyle g}$

Stanowiska ośrodków

Jeżeli jest środkiem i promieniem okręgu, czyli stycznym do podanych okręgów w punktach , to: ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ rho}$${\displaystyle H_{1},G_{2}}$

${\displaystyle \rho =|XM_{1}|-r_{1}=|XM_{2}|-r_{2}}$

${\displaystyle \rightarrow \ |XM_{2}|-|XM_{1}|=r_{2}-r_{1}.}$

Stąd: centra leżą na hiperboli z

ogniska ,${\displaystyle M_{1},M_{2}}$

odległość wierzchołków ,${\displaystyle 2a=r_{2}-r_{1}}$

centrum jest centrum ,${\ Displaystyle M}$${\displaystyle M_{1},M_{2}}$

mimośród liniowy und${\ Displaystyle c = {\ tfrac {| M_ {1} M_ {2} |} {2}}}$

${\ Displaystyle \ b ^ {2} = e ^ {2}-a ^ {2} = {\ tfrac {| M_ {1} M_ {2} | ^ {2} - (r_ {2}-r_ {1} })^{2}}{4}}}$.

Rozważania na zewnętrznych okręgach stycznych prowadzą do wyniku analogowego:

Jeżeli jest środkiem i promieniem okręgu, czyli stycznym do podanych okręgów w punktach , to: ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ rho}$${\displaystyle G_{1},H_{2}}$

${\ Displaystyle \ rho = | XM_ {1} | + r_ {1} = | XM_ {2} | + r_ {2}}$

${\displaystyle \rightarrow \ |XM_{2}|-|XM_{1}|=-(r_{2}-r_{1}).}$

Ośrodki leżą na tej samej hiperboli, ale na prawej gałęzi.

Zobacz także Problem Apoloniusza .

Władza względem kuli

Ideę potęgi punktu w stosunku do koła można rozciągnąć na sferę. Twierdzenia o siecznych i akordach są również prawdziwe dla kuli i można je udowodnić dosłownie, tak jak w przypadku koła.

Produkt Darboux

Potęga punktu jest szczególnym przypadkiem iloczynu Darboux pomiędzy dwoma okręgami, który jest podany przez

${\ Displaystyle \ lewo | A_ {1} A_ {2} \ po prawej | ^ {2} -r_ {1} {2} - r_ {2} ^ {2} \,}$

gdzie A ₁ i A ₂ są środkami dwóch okręgów, a r ₁ i r ₂ są ich promieniami. Potęga punktu powstaje w szczególnym przypadku, gdy jeden z promieni wynosi zero.

Jeśli te dwa okręgi są prostopadłe, iloczyn Darboux znika.

Jeśli te dwa okręgi się przecinają, to ich iloczyn Darboux to

${\displaystyle 2r_{1}r_{2}\cos \varphi \,}$

gdzie φ jest kątem przecięcia (patrz sekcja okrąg ortogonalny ).

Twierdzenie Laguerre'a

Laguerre zdefiniował potęgę punktu P względem krzywej algebraicznej stopnia n jako iloczyn odległości od punktu do przecięcia okręgu przez punkt z krzywą, podzieloną przez n- tą potęgę średnicy d . Laguerre wykazał, że liczba ta jest niezależna od średnicy ( Laguerre 1905 ). W przypadku, gdy krzywa algebraiczna jest kołem, nie jest to tożsame z potęgą punktu względem koła zdefiniowanego w dalszej części tego artykułu, ale różni się od niego współczynnikiem d ² .

Bibliografia

• Coxeter, HSM (1969), Wprowadzenie do geometrii (2nd ed.), New York: Wiley.
• Darboux, Gaston (1872), „Sur les relations entre les groupes de points, de cercles et de sphéres dans le plan et dans l'espace”, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 1 : 323-392.
• Laguerre, Edmond (1905), Oeuvres de Laguerre: Géométrie (po francusku), Gauthier-Villars et fils, s. 20
• Steiner Jakob (1826), "Einige geometrische Betrachtungen", Journal für die Reine und angewandte Mathematik , 1 : 161-184.
• Berger , Marcel (1987), Geometria I , Springer , ISBN 978-3-540-11658-5

Dalsza lektura

• Ogilvy CS (1990), Wycieczki w geometrii , Dover Publications, s.  6-23 , ISBN 0-486-26530-7
• Coxeter HSM , Greitzer SL (1967), Geometria Revisited , Waszyngton : MAA , str. 27-31, 159-160, ISBN 978-0-88385-619-2
• Johnson RA (1960), Zaawansowana geometria euklidesowa: elementarny traktat o geometrii trójkąta i koła (przedruk wydania z 1929 r. przez Houghton Miflin ed.), New York: Dover Publications, s. 28-34, ISBN 978-0-486-46237-0

Linki zewnętrzne

• Jacob Steiner i moc punktu w zbieżności
• Weisstein, Eric W. „Moc koła” . MatematykaŚwiat .
• Twierdzenie o przecinających się akordach przy przecięciu węzła
• Twierdzenie o przecinających się akordach z interaktywną animacją
• Twierdzenie o przecinających się sekwencjach z interaktywną animacją