Pozostałość Poincaré - Poincaré residue

W matematyce The pozostałość Poincare to uogólnienie do kilku skomplikowanych zmiennych i złożonych kolektora teorii, z pozostałości w słup z teorii funkcji . To tylko jedno z wielu możliwych rozszerzeń.

Biorąc pod uwagę hiperpowierzchni określony przez stopień wielomianu i racjonalnego postać a na kijem porządku na , to możemy zbudować klasę kohomologii . Jeśli odzyskamy klasyczną konstrukcję pozostałości. ${\ Displaystyle X \ podzbiór \ mathbb {P} ^ {n}}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$ ${\ displaystyle k> 0}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Res} (\ omega) \ in H ^ {n-1} (X; \ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle n = 1}$

Konstrukcja historyczna

Kiedy Poincaré po raz pierwszy wprowadził reszty, badał całki okresu formy

${\ displaystyle {\ underset {\ Gamma} {\ iint}} \ omega}$ dla ${\ Displaystyle \ Gamma \ in H_ {2} (\ mathbb {P} ^ {2} -D)}$

gdzie była racjonalna forma różniczkowa z biegunami wzdłuż dzielnika . Potrafił dokonać redukcji tej całki do całki formy ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle \ int _ {\ gamma} {\ text {Res}} (\ omega)}$ dla ${\ Displaystyle \ gamma \ w H_ {1} (D)}$

gdzie , wysyłając do granicy solidnej rury wokół gładkiego miejsca dzielnika. Gdyby ${\ Displaystyle \ Gamma = T (\ gamma)}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ Displaystyle D ^ {*}}$

${\ Displaystyle \ omega = {\ Frac {q (x, y) dx \ klin dy} {p (x, y)}}}$

na wykresie afinicznym, gdzie jest nieredukowalny stopień i (więc nie ma biegunów na linii w nieskończoności, ^{strona 150} ). Następnie podał wzór na obliczenie tej pozostałości jako ${\ Displaystyle p (x, y)}$ ${\ displaystyle N}$ ${\ Displaystyle \ deg q (x, y) \ równoważnik N-3}$

${\ Displaystyle {\ tekst {Res}} (\ omega) = - {\ Frac {qdx} {\ częściowe p / \ częściowe y}} = {\ Frac {qdy} {\ częściowe p / \ częściowe x}}}$

które są formami kohomologicznymi.

Budowa

Wstępna definicja

Biorąc pod uwagę układ we wstępie, niech będzie przestrzenią meromorficznych form, na których mają bieguny rzędu do . Zauważ, że standardowa różnica wysyła ${\ Displaystyle A_ {k} ^ {p} (X)}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle d}$

{\ Displaystyle d: A_ {k-1} ^ {p-1} (X) \ do A_ {k} ^ {p} (X)}

Definiować

{\ Displaystyle {\ mathcal {K}} _ {k} (X) = {\ Frac {A_ {k} ^ {p} (X)} {dA_ {k-1} ^ {p-1} (X) }}}

jako racjonalne grupy kohomologii de-Rham . Tworzą filtrację

${\ Displaystyle {\ mathcal {K}} _ {1} (X) \ podzbiór {\ mathcal {K}} _ {2} (X) \ podzbiór \ cdots \ podzbiór {\ mathcal {K}} _ {n} (X) = H ^ {n + 1} (\ mathbb {P} ^ {n + 1} -X)}$

odpowiadające filtracji Hodge'a.

Definicja pozostałości

Rozważmy cykl . Bierzemy rurkę wokół (która jest lokalnie izomorficzna ), która leży w dopełnieniem . Ponieważ jest to -cycle możemy zintegrować racjonalną postać a i uzyskać numer. Jeśli napiszemy to jako ${\ displaystyle (n-1)}$ ${\ Displaystyle \ gamma \ in H_ {n-1} (X; \ mathbb {C})}$ ${\ Displaystyle T (\ gamma)}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ Displaystyle \ gamma \ razy S ^ {1}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ omega}$

{\ Displaystyle \ int _ {T (-)} \ omega: H_ {n-1} (X; \ mathbb {C}) \ do \ mathbb {C}}

następnie otrzymujemy liniową transformację na klasach homologii. Dualizm homologii / kohomologii oznacza, że jest to klasa kohomologii

{\ displaystyle \ operatorname {Res} (\ omega) \ in H ^ {n-1} (X; \ mathbb {C})}

które nazywamy pozostałością. Zauważ, że jeśli ograniczymy się do przypadku , jest to tylko standardowa reszta z analizy złożonej (chociaż rozszerzamy naszą postać meromorficzną na wszystkie z . Definicję tę można podsumować jako mapę ${\ displaystyle n = 1}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}}$

${\ Displaystyle {\ tekst {Res}}: H ^ {n + 1} (\ mathbb {P} ^ {n + 1} \ setminus X) \ do H ^ {n} (X)}$

Algorytm obliczeniowy tej klasy

Istnieje prosta rekurencyjna metoda obliczania reszt, która sprowadza się do klasycznego przypadku . Przypomnij sobie, że pozostałość a -form ${\ displaystyle n = 1}$ ${\ displaystyle 1}$

{\ displaystyle \ operatorname {Res} \ left ({\ frac {dz} {z}} + a \ right) = 1}

Jeśli weźmiemy pod uwagę wykres zawierający gdzie jest znikanie locus , możemy napisać meromorficznej postać a z bieguna jako ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle w}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle X}$

{\ displaystyle {\ frac {dw} {w ^ {k}}} \ wedge \ rho}

Następnie możemy to zapisać jako

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {(k-1)}} \ lewo ({\ Frac {d \ rho} {w ^ {k-1}}} + d \ lewo ({\ Frac {\ rho} {w ^ {k-1}}} \ right) \ right)}

To pokazuje, że dwie klasy kohomologii

{\ Displaystyle \ lewo [{\ Frac {dw} {w ^ {k}}} \ klin \ rho \ prawej] = \ lewo [{\ Frac {d \ rho} {(k-1) w ^ {k- 1}}} \ right]}

są równe. W ten sposób zmniejszyliśmy rząd bieguna, dlatego możemy użyć rekurencji, aby uzyskać biegun porządku i zdefiniować resztę as ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle \ omega}$